专题04 数列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题4.1 数列 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：数列的概念 4 考点二：等差数列 6 通项公式 6 等差数列性质 7 等差数列求和公式 9 考点二：等比数列 12 通项公式 12 等比数列性质 14 等比数列求和公式 15 【真题演练】 19 【考纲要求】 内容：数列的概念、等差数列、等比数列。 要求：了解数列的有关概念； 了解数列与函数的关系； 理解数列的通项公式； 理解等差数列和等比数列的概念； 掌握等差数列和等比数列的通项公式、中项公式及前 n 项和公式； 能用数列知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 数列的概念 6 等差数列 6 14 等比数列 14 14 考向预测 1.等差数列的概念以及求和公式. 2.数列的概念. 【考点导图】 【知识清单】 2．数列的概念 (1)数列是按一定次序排列的一列数，一般用表示，记作． (2)数列中的每一个数都叫作这个数列的项，第1项又叫作首项，第n项记为. (3)一个数列中的第n项与项数n之间的关系，可以用一个公式来表示，这个公式叫作这个数列的通项公式. (4)数列的前n项和记作. 2．常用结论 数列的前n项和与的关系式：当n＝1时，；当n≥2时， 故与的关系式为： 3．等差数列的概念 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都是同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫作公差，通常用来表示． 定义表达式：.(常用此定义来判断或证明一个数列是否是等差数列) 4．等比数列的概念 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都为同一个不为0的常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫作公比，通常用来 表示，即(). 等比数列的定义表达式: 【注】①常用此定义来判断或证明一个数列是否是等比数列； ②一个数列为等比数列的必要条件是此数列各项均不为0； ③若一个数列是等比数列，则奇数项的符号一定相同，偶数项的符号一定相同． 5．等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 中项 等差中项 若成等差数列，则 等比中项 若成等比数列，则 前n项和 公式 ; 性质 数列为等差数列，公差为d，且p，q，m，n均为正整数: (1)若p＋q＝m＋n，则 . (2). 数列为等比数列，公比为q，且p，q，m，n均为正整数: (1)若p＋q＝m＋n，则 (2). 重要结论 若某三个数成等差数列，则可设这三个数分别为: 若某三个数成等比数列，则可设这三个数分别为: 【考点分类剖析】 考点一：数列的概念 例1．是数列，…的（ ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 2．若数列的通项公式为则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．已知数列的前n项和是，则（ ） A．9 B．16 C．31 D．33 2．已知数列的首项，且，则这个数列的第2项是（ ） A． B．3 C． D．6 3．已知数列，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 例2．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】 1．数列的前n项和 ，则 的值为（    ） A．121 B．122 C．123 D．124 2．若数列的通项公式为，则（    ） A．17 B．-17 C．0 D．9 考点二：等差数列 通项公式 例3.下列各数列中，成等差数列的是（    ） A．1，4，9，11，… B．2，2，2，2，… C．，3，4，10，… D．1，3，1，3，… 【变式探究】 1.已知等差数列的公差，且，则等于（    ） A． B． C． D． 等差数列性质 例4.在等差数列中，若，，则的值等于（    ） A．6 B． C． D． 【变式探究】 1．数列满足：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；若该数列第2项为27，则0是该数列的第（    ）项 A．11 B．10 C．8 D．9 2．等差数列中，首项，公差，则（    ） A．5 B．2 C．1 D．4 3．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 等差数列求和公式 例5.在等差数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．若等差数列的前n项和为，，，，则（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．若数列是等差数列，且和，是方程的两个根，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．已知等差数列的前n项和为，且，则等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．等差数列{}中，已知，则等于（    ） A．140 B．160 C．180 D．200 6．（    ） A． B． C． D． 7.已知等差数列的通项公式为，求： (1)是这个数列的第几项？ (2)求前10项的和． 8．已知数列为等差数列，且，公差. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前7项的和. 考点二：等比数列 通项公式 例6.下列不是等比数列的是（    ） A．0，0，0，0，… B．1，1，1，1… C．2，2，2，2… D．3，3，3，3… 【变式探究】 1．等比数列2，6，18，的第5项是（    ） A．24 B．72 C．162 D．256 2．数列中，有，，数列各项均不为零，则数列为（    ） A．等比数列 B．即是等差数列又是等比数列 C．等差数列 D．即不是等差数列又不是等比数列 3．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 等比数列性质 例7.在等比数列中，，，则（    ） A．8 B． C．8 D．16 2．2与18的等比中项是（    ） A．36 B． C．6 D． 【变式探究】 1．在等比数列中，，，则等于（    ） A．160 B．80 C．50 D．13 2．设4，，16三个数成等比数列，则x的值为（    ） A．8 B． C．10 D．或10 3．等比数列的公比是（    ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ） A．1 B．3 C． D． 等比数列求和公式 例8.在等比数列中，，，则的前5项和为（    ） A． B． C．11 D．31 2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】 1．等比数列中，前项和为，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．3 2．等比数列前n项和为，且成等差数列．若，则（    ）． A．7 B．8 C．15 D．16 3．等差数列中，，则的前6项和（    ） A．56 B．28 C．42 D．84 4．已知等比数列中，，，则该数列的前4项和（    ） A．21 B．24 C．45 D．75 5.在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．已知为等比数列，且． (1)求； (2)记为的前n项和，求． 7．设是首项，公差不为0的等差数列，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，且，求数列的前n项的和. 【真题演练】 1.（2021年高等职业教育分类考试数学第1题）在等差数列{an}中，a1=，公差，则a5的值为( ) A. B.2 C. D.3 2.（2022年高等职业教育分类考试数学第5题）已知等差数列的公差为2，，，成等比数列，则（ ） A. B. C.2 D.8 3.（2023年高等职业教育分类考试数学第11题）在等差数列中，， （I）求的值； （II）设的前n项和为，求n的值． 4．（2020年高等职业教育分类考试数学第11题）（本小题满分14分）在等比数列中，，公比． （I）求的值； （II）若的前k项和为31，求k的值． 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第11题）(本小题满分14分,(I)小问7分,(II)小问7分)在等比数列中中,求: (I)的公比; (II)的前8项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 数列 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：数列的概念 4 考点二：等差数列 6 通项公式 6 等差数列性质 7 等差数列求和公式 9 考点二：等比数列 12 通项公式 12 等比数列性质 14 等比数列求和公式 15 【真题演练】 19 【考纲要求】 内容：数列的概念、等差数列、等比数列。 要求：了解数列的有关概念； 了解数列与函数的关系； 理解数列的通项公式； 理解等差数列和等比数列的概念； 掌握等差数列和等比数列的通项公式、中项公式及前 n 项和公式； 能用数列知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 数列的概念 6 等差数列 6 14 等比数列 14 14 考向预测 1.等差数列的概念以及求和公式. 2.数列的概念. 【考点导图】 【知识清单】 2．数列的概念 (1)数列是按一定次序排列的一列数，一般用表示，记作． (2)数列中的每一个数都叫作这个数列的项，第1项又叫作首项，第n项记为. (3)一个数列中的第n项与项数n之间的关系，可以用一个公式来表示，这个公式叫作这个数列的通项公式. (4)数列的前n项和记作. 2．常用结论 数列的前n项和与的关系式：当n＝1时，；当n≥2时， 故与的关系式为： 3．等差数列的概念 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都是同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫作公差，通常用来表示． 定义表达式：.(常用此定义来判断或证明一个数列是否是等差数列) 4．等比数列的概念 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都为同一个不为0的常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫作公比，通常用来 表示，即(). 等比数列的定义表达式: 【注】①常用此定义来判断或证明一个数列是否是等比数列； ②一个数列为等比数列的必要条件是此数列各项均不为0； ③若一个数列是等比数列，则奇数项的符号一定相同，偶数项的符号一定相同． 5．等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 中项 等差中项 若成等差数列，则 等比中项 若成等比数列，则 前n项和 公式 ; 性质 数列为等差数列，公差为d，且p，q，m，n均为正整数: (1)若p＋q＝m＋n，则 . (2). 数列为等比数列，公比为q，且p，q，m，n均为正整数: (1)若p＋q＝m＋n，则 (2). 重要结论 若某三个数成等差数列，则可设这三个数分别为: 若某三个数成等比数列，则可设这三个数分别为: 【考点分类剖析】 考点一：数列的概念 例1．是数列，…的（ ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】根据观察法得到数列的通项，即可求解. 【详解】经观察可知，数列可化为， 数列通项为， 故是第8项. 故选：C. 2．若数列的通项公式为则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入数列通项公式，即可求解. 【详解】因为数列的通项公式为 所以 故选：C. 3．已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，2，3，4依次代入通项公式即可. 【详解】把，2，3，4依次代入通项公式， 得，， ，. 故选：A 【变式探究】 1．已知数列的前n项和是，则（ ） A．9 B．16 C．31 D．33 【答案】B 【分析】利用与的关系可求. 【详解】设数列的前n项和为，则， 则. 故选：B. 2．已知数列的首项，且，则这个数列的第2项是（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据递推公式求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故选：B. 3．已知数列，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】由数列的通项公式即可求是这个数列的第几项. 【详解】由题意得，数列的通项公式为，令，解得. 故选：C. 例2．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知：，可得时取最小值. 故选：B． 【变式探究】 1．数列的前n项和 ，则 的值为（    ） A．121 B．122 C．123 D．124 【答案】D 【分析】根据和的关系进行求解，. 【详解】由数列和的关系可得 则. 故选：D． 2．若数列的通项公式为，则（    ） A．17 B．-17 C．0 D．9 【答案】A 【分析】根据通项公式求出，据此可得结果. 【详解】数列的通项公式为， 所以， 所以. 故选：A 考点二：等差数列 通项公式 例3.下列各数列中，成等差数列的是（    ） A．1，4，9，11，… B．2，2，2，2，… C．，3，4，10，… D．1，3，1，3，… 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义判断选项即可. 【详解】A：数列为，第二项与第一项的差为3，第三项与第二项的差为5， 不是同一个常数，故A选项不是等差数列. B：数列为，从第二项起每一项与前一项的差都为0，故B选项是等差数列. C：数列为，第二项与第一项的差为5，第三项与第二项的差为1， 不是同一个常数，故C选项不是等差数列. D：数列，第二项与第一项的差为2，第三项与第二项的差为， 不是同一个常数，故D选项不是等差数列. 故选：B. 【变式探究】 1.已知等差数列的公差，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可得解. 【详解】因为等差数列的公差，且. 所以. 故选：. 等差数列性质 例4.在等差数列中，若，，则的值等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项性质易得答案. 【详解】因为等差数列，， 所以. 故选：A. 【变式探究】 1．数列满足：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；若该数列第2项为27，则0是该数列的第（    ）项 A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可解得 【详解】由题可知，该数列是等差数列，且公差， 又知， 则， 令， 解得， 故是该数列的第项 故选：A 2．等差数列中，首项，公差，则（    ） A．5 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】已知为等差数列，且，公差， 所以. 故选：C. 3．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求值. 【详解】等差数列中，， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 等差数列求和公式 例5.在等差数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知为等差数列， 且，，， 所以. 故选：D. 【变式探究】 1．若等差数列的前n项和为，，，，则（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列公式，并结合已知条件，可得出结果. 【详解】由，得，解得舍去. 故选：B. 2．若数列是等差数列，且和，是方程的两个根，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以， 又因为， 所以. 故选：D. 3．已知等差数列的前n项和为，且，则等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列的前n项和公式即可求值 【详解】已知为等差数列， 则有，得， 所以. 故选：A. 4．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】∵，， ∴． 故选：B 5．等差数列{}中，已知，则等于（    ） A．140 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，结合前项和公式即可求解. 【详解】在等差数列中， 因为， 所以. 则. 故选：D. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意可设， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 根据等差数列的前项和公式可得， . 所以. 故选：B. 7.已知等差数列的通项公式为，求： (1)是这个数列的第几项？ (2)求前10项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将数值代入数列通项公式求出即可. （2）由通项公式求出首项和第项，再代等差数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）由可得：， 则是这个数列的第项. （2）易知，， 则. 即数列的前10项的和为. 8．已知数列为等差数列，且，公差. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前7项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，所以， 所以， 当时，， 所以通项公式. （2）由等差数列的前项和公式得， ， 所以 考点二：等比数列 通项公式 例6.下列不是等比数列的是（    ） A．0，0，0，0，… B．1，1，1，1… C．2，2，2，2… D．3，3，3，3… 【答案】A 【分析】由等比数列的定义可知，非零常数列是等比数列，据此可判断. 【详解】由等比数列的定义可知，非零常数列是等比数列，且公比为1， 所以0，0，0，0，…不是等比数列. 故选：A 【变式探究】 1．等比数列2，6，18，的第5项是（    ） A．24 B．72 C．162 D．256 【答案】C 【分析】根据等比数列中的项求出公比及首项，再代入通项公式求第5项即可得解. 【详解】由题意得，等比数列公比为，且首项， 则第5项为. 故选：C. 2．数列中，有，，数列各项均不为零，则数列为（    ） A．等比数列 B．即是等差数列又是等比数列 C．等差数列 D．即不是等差数列又不是等比数列 【答案】A 【分析】由等比数列的定义即可判断 【详解】由题数列，，且数列各项均不为零， 故符合等比数列定义， 故数列为等比数列， 故选：A 3．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程求得两根，再结合等比数列下标性质解出，进一步判断正负即可解得. 【详解】解方程， 解得或, 或， 故， 解得， 又，即同号， 又则. 故选：D 4．数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列通项的计算即可解得. 【详解】观察可知，该数列是首项为，公比为的等比数列， 则 故选：B. 等比数列性质 例7.在等比数列中，，，则（    ） A．8 B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 由等比数列的性质可知，，所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 2．2与18的等比中项是（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由等比中项列式求解即可． 【详解】设2和18的等比中项为，则，解得． 故选：D． 【变式探究】 1．在等比数列中，，，则等于（    ） A．160 B．80 C．50 D．13 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式直接计算. 【详解】. 故选：B. 2．设4，，16三个数成等比数列，则x的值为（    ） A．8 B． C．10 D．或10 【答案】D 【分析】由等比数列的性质，可列方程解出. 【详解】因为4，，16三个数成等比数列， 所以，即， 解得或. 故选：D. 3．等比数列的公比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的定义即可得解. 【详解】由等比数列的定义可知. 故选:. 4．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求，结合等比中项的定义可得答案. 【详解】因为，所以与的等比中项是±3. 故选：D. 等比数列求和公式 例8.在等比数列中，，，则的前5项和为（    ） A． B． C．11 D．31 【答案】C 【分析】先求出等比数列的公比，再用等比数列求和公式即可. 【详解】为等比数列，，， 由，可得公比， 所以的前5项和为. 故选：C. 2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和的定义，结合通项公式即可得解. 【详解】，解得. 故选：B. 【变式探究】 1．等比数列中，前项和为，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式与前n项和公式表示，化简即可求得的值. 【详解】在等比数列中，， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 2．等比数列前n项和为，且成等差数列．若，则（    ）． A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】利用成等差数列，得出，再代入等比数列的通项公式求出公比q的值；接下来运用等比数列前n项和公式，即可得出. 【详解】因为成等差数列， 则， 又因为数列为等比数列，且， 则整理为，解得， 所以. 故选：C. 3．等差数列中，，则的前6项和（    ） A．56 B．28 C．42 D．84 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】因为等式数列中，， 所以. 故选：C. 4．已知等比数列中，，，则该数列的前4项和（    ） A．21 B．24 C．45 D．75 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和的公式计算即可. 【详解】由题可知，. 故选：C. 5.在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列递推式易得为等比数列，求出基本量，即可写出通项公式； （2）利用等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以. 6．已知为等比数列，且． (1)求； (2)记为的前n项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比即可求解. （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，且， 则， 解得， 所以. （2）因为， 所以. 7．设是首项，公差不为0的等差数列，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，且，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为等差数列，成等比数列求出公差，进而写出其通项公式. （2）由为等比数列结合条件求出和公比，再出等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）因为是首项，公差不为0的等差数列， 又成等比数列，可得， 解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）因为，， 又数列为等比数列，所以， 所以列的前n项的和. 【真题演练】 1.（2021年高等职业教育分类考试数学第1题）在等差数列{an}中，a1=，公差，则a5的值为( ) A. B.2 C. D.3 【答案】C 【解析】 因为在等差数列{an}中，a1=，公差，所以， 故答案为：C. 2.（2022年高等职业教育分类考试数学第5题）已知等差数列的公差为2，，，成等比数列，则（ ） A. B. C.2 D.8 【答案】A 【解析】 因为等差数列的公差为2，，，成等比数列，所以有。 故答案为：A. 3.（2023年高等职业教育分类考试数学第11题）在等差数列中，， （I）求的值； （II）设的前n项和为，求n的值． 【解析】 (1)在等差数列中，，可得,。 (2)由(1)可知，，所以，因为的前n项和为，所以，解得: 4．（2020年高等职业教育分类考试数学第11题）（本小题满分14分）在等比数列中，，公比． （I）求的值； （II）若的前k项和为31，求k的值． 【解析】 (1)在等比数列中，，公比可得,。 (2)由(1)可知，公比，所以，因为的前k项和为31，所以，解得: 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第11题）(本小题满分14分,(I)小问7分,(II)小问7分)在等比数列中中,求: (I)的公比; (II)的前8项和. 【解析】 (1)由在等比数列中，由等比数列的通项公式可知。 ，所以的公比。 (2)由(1)可知，公比，所以，由的前n项和可知的前8项和为：，所以的前8项和为510 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$