专题05 函数的概念及其表示（考点清单+知识导图+ 10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单05 函数的概念及其表示 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【清单02】函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【清单03】求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【考点题型一】求常规函数的定义域 【解题方法】使得函数有意义的范围 【例1-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数的定义域为 ． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域 【解题方法】对应关系“”作用下的整体取值范围相同 【例2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 【考点题型三】一次、二次、反比例函数的值域 【解题方法】画图法 【例3-1】（23-24高一上·北京朝阳·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·全国·单元测试）函数的值域为 【例3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）函数的值域是 ； （2）函数的值域是 . 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)，； (2)，． 【考点题型四】根式型值域 【解题方法】换元法 【例4-1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·辽宁锦州·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【例4-2】（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 . 【例4-3】（23-24高一·全国·课后作业）求函数的值域． 【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的值域. 【考点题型五】分式型值域 【解题方法】分离常数法，换元法，判别法 【例5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ． 【变式5-1】（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域 【例5-2】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【例5-3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域 【变式5-3】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的值域为 . 【考点题型六】求函数的解析式（待定系数法） 【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解 【例6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）根据下列条件，求函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足； 【变式6-1】（23-24高二下·河北秦皇岛）一次函数在上单调递增，且，则 . 【例6-2】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； 【变式6-2】（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； 【考点题型七】求函数的解析式（换元法） 【解题方法】换元法 【例7-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【变式7-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波）设函数，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·山东青岛）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】求函数的解析式（方程组（消去）法） 【解题方法】联立方程组消元 【例8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 【变式8-1】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足，求函数的解析式. 【例8-2】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 【考点题型九】赋值法求抽象函数的解析式 【解题方法】赋值法 【例9-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【变式9-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【例9-2】（2024·浙江温州·三模）定义在上的函数满足：，则 . 【变式9-2】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【考点题型十】函数概念中新定义题 【例10-1】（23-24高一上·广东广州·期中）对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数” (1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由； (2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【例10-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数h（x）与函数f（x），g（x）的定义域均相同，如果存在非零实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x），那么称h（x）是f（x），g（x）的生成函数，其中m，n称为生成系数. (1)若函数h（x）是函数f（x）=x2+x-3，g（x）=x的生成函数，且该函数是对称轴为y轴的二次函数，求h（）； (2)若函数h（x）=x2+x-1是函数f（x）=x2+ax，g（x）=3x+b（a，b∈R，ab≠0）的生成函数， ①求a+3b的取值范围； ②设函数F（x）=h（x）+f（x），x∈[0，3]，求F（x）的值域. 提升训练 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三下·全国·竞赛）当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 6．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 7．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江西）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 二、多选题 9．（21-22高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 14．（23-24高二下·安徽·期末）函数，满足． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 函数的概念及其表示 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【清单02】函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【清单03】求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【考点题型一】求常规函数的定义域 【解题方法】使得函数有意义的范围 【例1-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式1-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 【例1-2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足且，解得且. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由根式、分式的定义域，解不等式组得到定义域. 【详解】解不等式组得，故函数的定义域是． 故答案为：. 【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域 【解题方法】对应关系“”作用下的整体取值范围相同 【例2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 【例2-2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据题意，列出不等式求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 【考点题型三】一次、二次、反比例函数的值域 【解题方法】画图法 【例3-1】（23-24高一上·北京朝阳·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据二次函数的单调性可确定最值点，由此可得值域. 【详解】的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 的值域为. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高一上·全国·单元测试）函数的值域为 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】利用二次函数的单调性求出答案即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为， 所以当时 因为当时，时，即， 所以值域为 故答案为： 【例3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）函数的值域是 ； （2）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）利用不等式的性质即可得解； （2）利用配方法即可得解. 【详解】（1）， ，， 的值域为， （2）， 的值域为. 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)，； (2)，． 【答案】(1)图象见解析， (2)图象见解析， 【知识点】画出具体函数图象、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）做出函数的图象结合图象可得答案； （2）做出函数的图象结合图象可得答案. 【详解】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为； （2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为. 【考点题型四】根式型值域 【解题方法】换元法 【例4-1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【详解】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高一上·辽宁锦州·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出函数的定义域，设，得出的范围，将函数化为，由二次函数性质可得答案. 【详解】∵，∴，即函数的定义域为 .令， 则，∴， ∴，当且仅当时有最大值为1， 当时，或1满足. 故选：D 【例4-2】（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，转化为二次函数在定区间的值域，即得解 【详解】由题意，函数的定义域为 令 故 由于为开口向下的二次函数，对称轴为 故当时，，无最小值 故函数的值域是 故选：C 【变式4-2】（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，，换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案. 【详解】设则 所以 因为函数在上单调递增， 当，， 所以函数的值域为 故答案为：. 【例4-3】（23-24高一·全国·课后作业）求函数的值域． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，换元可得（），转化为二次函数在给定区间的值域问题，利用二次函数的性质即得解 【详解】令，则， 由及，得，所以， 则（）， 为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增 因此当时，；当时， 故函数的值域为． 【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2)， 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）由解析式可得的定义域； （2）利用换元法及（1）可得的值域. 【详解】（1）由得：，所以函数的定义域为； （2）令，则，，当时，，所给函数的值域为，. 【考点题型五】分式型值域 【解题方法】分离常数法，换元法，判别法 【例5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数，求得值域. 【详解】， 因为，所以，所以值域为. 故答案为：. 【变式5-1】（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法和反比例函数值域即可求得结果. 【详解】因为， 由反比例函数易知，所以， 所以函数的值域为． 【例5-2】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 【例5-3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】先分离常数，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 【变式5-3】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分式不等式 【分析】令，可得出，由可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出函数的值域. 【详解】令，可得，可得，即， 由，可得，解得， 所以，函数的值域为. 故答案为：. 【考点题型六】求函数的解析式（待定系数法） 【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解 【例6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）根据下列条件，求函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足； 【答案】(1) 【知识点】函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设，结合题意分析求解； 【详解】（1）设， 则， 所以，解得，所以. 【变式6-1】（23-24高二下·河北秦皇岛）一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决. 【详解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 【例6-2】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； 【答案】(1) 【知识点】求二次函数的解析式、二次函数的图象分析与判断、已知函数类型求解析式、一次函数的图像和性质 【分析】（1）应用待定系数法求解析式； 【详解】（1）由，设． 因为， 所以， 整理得， 则，解得． 所以． 【变式6-2】（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； 【答案】（1）； 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设，利用建立恒等式求解即可； 【详解】（1）设二次函数（）， 因为，所以. 由，得， 得， 所以，得，故. 【考点题型七】求函数的解析式（换元法） 【解题方法】换元法 【例7-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【详解】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 【变式7-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式. 【详解】因为，所以令，则， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以. 故选：D. 【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波）设函数，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，则可得，然后可得答案. 【详解】令，则可得 所以，所以 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题. 【变式7-2】（23-24高一上·山东青岛）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】设，换元得到，计算最小值得到答案. 【详解】，设 故 ，即当时，有最小值 故选： 【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误. 【考点题型八】求函数的解析式（方程组（消去）法） 【解题方法】联立方程组消元 【例8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】应用方程组法求解解析式. 【详解】由①， 用代替可得②， 由①②可得. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足，求函数的解析式. 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】用替换已知中的，解方程组即可求解. 【详解】因为， 用替换上式中的，得， 解方程组得. 【例8-2】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数方程组法求解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【变式8-2】（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式、求抽象函数的解析式 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 【考点题型九】赋值法求抽象函数的解析式 【解题方法】赋值法 【例9-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 【变式9-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 【例9-2】（2024·浙江温州·三模）定义在上的函数满足：，则 . 【答案】/0.5 【知识点】求函数值 【分析】依次赋值，得；赋值，得；最后赋值即可求解. 【详解】由题赋值，得， 所以由，得； 赋值，得，所以； 赋值，得. 故答案为：. 【变式9-2】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】设，表示出，结合已知，即可得出答案. 【详解】设， 由已知可得，， ， 所以， 所以，，即. 故选：B. 【考点题型十】函数概念中新定义题 【例10-1】（23-24高一上·广东广州·期中）对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数” (1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由； (2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】(1)是，，； (2)10 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）利用题目给定的定义，得到关于，的方程组，即可求解； （2）根据题目给定的定义，结合基本不等式的使用条件，求出，的值，得到函数的解析式，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，，又，，； 即， 则，解得， 综上，当，时，是函数，的“函数”，且，. （2）由题意得，，，，； 由基本不等式得：，当且仅当即时取等号， 又因为当且仅当时，取得最小值4，所以，得， 因此，， 则对任意正实数，，又， 故恒成立，可转化为恒成立， 因为，，且， 所以，当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号，所以. 故的最大值是10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【例10-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数h（x）与函数f（x），g（x）的定义域均相同，如果存在非零实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x），那么称h（x）是f（x），g（x）的生成函数，其中m，n称为生成系数. (1)若函数h（x）是函数f（x）=x2+x-3，g（x）=x的生成函数，且该函数是对称轴为y轴的二次函数，求h（）； (2)若函数h（x）=x2+x-1是函数f（x）=x2+ax，g（x）=3x+b（a，b∈R，ab≠0）的生成函数， ①求a+3b的取值范围； ②设函数F（x）=h（x）+f（x），x∈[0，3]，求F（x）的值域. 【答案】(1)0 (2)①； ②见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意，利用二次函数进行求解. （2）根据已知，利用基本不等式求解，通过分类讨论来研究二次函数的单调性，从而研究它的最值. 【详解】（1）设， 因为该函数是对称轴为y轴的二次函数， 所以， ∴， ∴ （2）①， ∴， 所以，即， 因为，所以，即，即， 令， 当时，且时，， 由基本不等式可知：（当且仅当时取等号，即时取等号）， 因为，所以，但是当时，还有一个实数解， 所以当时，且时，； 当时，， 由基本不等式可知：， （当且仅当时取等号，即时取等号），即， 所以的取值范围是； ②，， 函数对称轴为，，，， 当，即且时，函数在上单调递增，值域为； 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 值域为； 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递递增， 值域为； 当，即时，函数在上单调递减，值域为； 综上，当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为； 当且时，值域为. 提升训练 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 3．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 4．（2024高三下·全国·竞赛）当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的应用、一次函数的图像和性质、求二次函数的值域或最值 【分析】分别作出，，的图象，找到取得最小值时所对应的点，建立方程求解即可． 【详解】解：分别作出，，的图象， 根据，如下图： 由图象可得取得最小值时，点为，即为和的交点， ，解得：， 由图可知点在第二象限，， 故选：A． 5．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案. 【详解】中，令得， ， 故， 故， 其中，① ，② ，③ ……， ， 上面99个式子相加得， ， 令得， 中，令得， 故. 故选：C 6．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】通过赋值得，，由此即可得解. 【详解】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 7．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数新定义 【分析】根据题意，可知有实根，利用，可得的范围；又根据题意方程无实根，可得的范围，综合可得所求. 【详解】因为为函数的“不动点”， 则方程，即有实根， 则，解得， 方程可化为， 即， 分解因式得， 即， 因为函数的稳定点都是它的不动点， 上述满足上述方程的，都满足， 即满足， 所以方程无实根， 故，解得， 综上， 故选：C. 8．（23-24高三上·江西）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为①， 所以②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9．（21-22高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域不同判断A，根据对应法则不同判断B，根据定义域、对应法则相同判断CD. 【详解】与两个函数的定义域不一致， A中两个函数不表示同一个函数； 两个函数的对应关系不一致， B中两个函数不表示同一个函数； 与两个函数的定义域均为，对应关系也相同， C中两个函数表示同一个函数； D中的两个函数虽然自变量的选取字母不一致，但其对应关系和定义域是完全一样 的，两个函数表示的是同一个函数. 故选：CD. 10．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 11．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由的定义域为，则恒成立，对分类讨论计算即可得. 【详解】由的定义域为，则恒成立， 当时，，得，不符合要求，故舍去， 当时，有，解得， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 14．（23-24高二下·安徽·期末）函数，满足． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得． 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以， 所以， 当，； 当，， 由恒成立得：对一切实数恒成立． 当时，不等式为，不合题意； 当时，， 解得：； 综上所述：实数的取值范围为． （2）解：， ， ， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$