21.1一元二次方程重难点检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程重难点检测卷-数学九年级上册人教版 知识梳理 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 典例分析 1．一元二次方程4x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．0，﹣3 C．1，﹣3 D．1，0 【解答】解：一元二次方程4x2+x﹣3＝0的一次项系数，常数项分别是1、﹣3． 故选：C． 2．若x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解， ∴4﹣10+m＝0， ∴m＝6． 故选：D． 3．关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝1． 故选：B． 4．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是x＝1，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是x＝1， ∴1+m+3＝0， 解得m＝﹣4， 故选：A． 精选好题 一、单选题 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 3．若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 6．下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（    ） A．2或 B．3或 C．2 D． 8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将一元二次方程化成一般形式为 ． 10．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为 ． 11．如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 12．已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 13．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 14．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 三、解答题 15．将2x（x﹣1）＝x+4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项和常数项． 16．若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 17．已知m是方程x2−x−3=0的一个实数根，求代数式的值． 18．先化简，再求值：，其中x是方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3． （1）求m的值及方程的另一个根； （2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长． 20．阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B A B C A 1．D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项． 故选A． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即， ∴， 故选：A. 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足， 也是关于的方程（其中）的解， 或，解得或（负值舍去）， ， 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根． 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得，即， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，将已知根2代入一元二次方程即可求得k的值． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 12．1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 13． 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 14． 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 15．2x2﹣3x﹣4＝0，一次项为﹣3x，常数项为﹣4 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项以及常数项即可． 【详解】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣4＝0， 则一次项为﹣3x，常数项为﹣4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 16．m＝﹣2 【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴ 解得： 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键． 17．6． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2=m+3，则（m2-m）（m-+1）=（m+3-m）•，然后合并后进行乘法运算即可． 【详解】解：∵m是方程x2-x-3=0的一个实数根， ∴m2-m-3=0，即m2=m+3， ∴（m2-m）（m-+1）=（m+3-m）• =3× =3×2 =6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．， 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x2+x＝3代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式• • • ， 当x2+x﹣3＝0时， ∴x2+x＝3， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算． 19．（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或． 【分析】（1）把x=3代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0， 解得m=6， 当m=6时，原方程为x2-7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 即方程的另一根为4； （2）设此直角三角形的第三边长为a， 当4是直角边时， ∴a=； 当4是斜边时， a=； 故此直角三角形的第三边长为5或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及勾股定理，将方程的解代入原方程求出m的值是解题的关键． 20．（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$