精品解析：重庆市西北狼联盟2024-2025学年高二上学期入学联考数学试题

西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 高二数学试题 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、单选题 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．则这组数据的第25百分位数是（ ） A. 123 B. 124 C. 125 D. 126 5. 若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 16 二、多选题 9. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是（ ） A. 若数据的方差，则所有数据均相同 B. 若数据的均值为3，则数据的均值为6 C. 数据的极差不小于数据的极差 D. 若数据的众数为78，则可以说总体中的众数为78 10. 若向量满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 弧长度为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 三棱锥的体积为5 三、填空题 12. 某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是______． 13. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______． 14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知复数满足，的虚部是2． （1）求复数； （2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC=120°，点E，F分别是线段PA，AD的中点． （1）求证：平面EBD； （2）若AB=2，求四棱锥P-DFBC的体积． 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 18. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 高二数学试题 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、单选题 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 2. 已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化复数代数形式，再求共轭复数，最后根据复数几何意义确定选项. 【详解】，对应点为,在第四象限，选D. 【点睛】本题考查共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 4. 已知一组数据：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．则这组数据的第25百分位数是（ ） A. 123 B. 124 C. 125 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】把数据按从小到大的顺序排列,可计算出这组数据的第25百分位数是第3项即可. 【详解】数据从小到大排列是： 121，123，124，125，125，126，127，128，129，130． 共10个数据，， 所以这组数据的第25百分位数是第3项，即124. 故选：B. 5. 若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况，可知D错误. 【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确； 由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确； 由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确； 由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误， 综上不正确的是D， 故选：D. 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以. 故选：C. 7. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果. 【详解】依题意得，， 在中，米，， 由正弦定理得，得米， 又 所以该山顶的海拔高度为米. 故选：B 8. 如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 二、多选题 9. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是（ ） A. 若数据的方差，则所有数据均相同 B. 若数据的均值为3，则数据的均值为6 C. 数据的极差不小于数据的极差 D. 若数据的众数为78，则可以说总体中的众数为78 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据的平均数，方差，极差及众数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A，数据的方差时，说明所有的数据都相等，故选项A正确； 对于B，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项B错误； 对于C，设数据的极差为当不是时，数据的极差为当为时，的极差小于故选项C正确； 对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，故选项D错误， 故选：. 10. 若向量满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论. 【详解】因为，所以， 则，故A不正确； 又，，所以，即与的夹角为，故B正确； 又，所以，故C正确； 又在上的投影向量为，故D不正确. 故选：BC. 11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 弧长度为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 三棱锥的体积为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，根据弧的长度是弧长度的倍及求出、，再根据体积、表面积公式计算可得. 【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 因为弧的长度是弧长度的倍，，即， ，，， 所以弧的长度为，故A正确； 曲池的体积为，故B错误； 曲池的表面积为 ，故C正确； 三棱锥的体积为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样原则直接计算即可 【详解】由题意，从高一年级200人中抽取40人访谈，按照年级分层，则高一2班应该抽人. 故答案为：10. 13. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积. 【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线， 由题意可知，解得， 由于圆柱的高为2，，，， 母线， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为： 14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知复数满足，的虚部是2． （1）求复数； （2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合条件求即可得z； （2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得的对应坐标，进而求它们构成的的面积； 【小问1详解】 ， 则， 由题意得， 且， 解得或， 所以或． 【小问2详解】 因为位于第一象限，所以， ， ， 所以，，， 直线，所以且到的距离为1； ∴. 所以． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC=120°，点E，F分别是线段PA，AD的中点． （1）求证：平面EBD； （2）若AB=2，求四棱锥P-DFBC的体积． 【答案】（1）证明： 在四棱锥P-ABCD中，连接，连，如图， 因四边形是菱形，则O是AC的中点，而E是PA的中点，则，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2）证明平面，再利用锥体的体积公式求解作答. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在正中，F是线段AD的中点，则，而平面平面，平面平面， 平面，因此，平面，且， 在菱形中，，则，是正三角形，，， 显然四边形是直角梯形，其面积为， 所以四棱锥的体积. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 【答案】（1），，平均数为 （2）万，理由如下： 由频率分布直方图可得， 月均用水量不超过2吨的频率为：， 则月均用水量不低于2吨的频率为：， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： （万）； （3）5.8吨，理由如下： 由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73， 则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），， ，解得， 即标准为5.8吨． 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数； （2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数； （3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 ， 又，则，， 该市居民用水的平均数估计为： ； 【小问2详解】 全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万），理由略； 【小问3详解】 标准为5.8吨，理由略. 18. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2)选择①周长的取值范围是. 选择②周长的取值范围是. 选择③周长的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以，得， 所以，因为，所以. （2）分三种情况求解： 选择①，因为， 由正弦定理得， 即的周长 ， 因为，所以， 即周长的取值范围是. 选择②,因为， 由正弦定理得 即的周长 ， 因为，所以，所以， 即周长的取值范围是. 选择③. 因为，得， 由余弦定理得， 即的周长， 因为，当且仅当时等号成立， 所以. 即周长的取值范围是. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $