特训07 全等三角形高频考点-倍长中线-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训07 全等三角形高频考点——倍长中线 【基本模型】 （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上的中线，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，是中线，，，长为2，则线段长为 　 　． 4．如图，在中，，于点M，点D在上，且，F是的 中点，连接并延长，在的延长线上有一点E，连接，且，，则 　 　． 5．如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若 的面积为3，则的面积为 　 　． 6．如图，五边形中，，，，M为边的 中点，，，则五边形的面积为＝　 　． 7．如图，C是的中点，，求证：． 8．如图，是的中线，F为上一点，E为延长线上一点，且． 求证：． 9．（1）在中，若，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：． 10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　 　； A． B． C． D． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 11．如图，，，，． （1）如图1，、、之间的数量关系为 　 　； （2）如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 12．如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接、，若点F是的中点，连接，求证：． 13．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，， 求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长． 15．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在 中，是边上的中线，延长到M，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 16．综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明用到的判定定理是：　 　 A． B． C． D． （2）的取值范围是 　 　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，E为边的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长． 17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是的中点，点A在上，且． 求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，分别过点B、C作，，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 18．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前 我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 19．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，， 求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点E，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，D为的中点，分别交，于点E，F．求证：． 20．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解 决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转 得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取 值范围是 　 　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，和中，，，，点M为的中点，点E在线段的延长线上．请判断线段与线段的关系，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 全等三角形高频考点——倍长中线 【基本模型】 （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴， 即， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，是边上的中线，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，中，是中线，，，长为2，则线段长为 　 　． 【答案】4． 【解析】解：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．如图，在中，，于点M，点D在上，且，F是的 中点，连接并延长，在的延长线上有一点E，连接，且，，则 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， 延长到点G，使得，连接．如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若 的面积为3，则的面积为 　 　． 【答案】1.5． 【解析】解：延长到点G，使，连接， ∵D为中点， ∴的面积的面积，， ∵， ∴， ∴的面积的面积，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积＝3， ∴的面积的面积的面积的面积＝1.5， 故答案为：1.5． 6．如图，五边形中，，，，M为边的 中点，，，则五边形的面积为＝　 　． 【答案】90． 【解析】解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 7．如图，C是的中点，，求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵C是的中点， ∴． 在与中， ， ∴． 8．如图，是的中线，F为上一点，E为延长线上一点，且． 求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（1）在中，若，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）解：如图1，延长至M，使，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴， 即， ∴； 即边上的中线的取值范围是； （2）证明：如图2，延长至N，使，连接、， 同（1）得：， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　 　； A． B． C． D． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）A；（2）线段的长为7． 【解析】解：（1）∵是边的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴小明解题过程中证出的依据是， 故答案为：A； （2）延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵是边的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为7． 11．如图，，，，． （1）如图1，、、之间的数量关系为 　 　； （2）如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，理由见解析． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：延长至M，使，连接， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：， 延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接、，若点F是的中点，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2中，延长到G，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，， 求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），且，理由见解析；（3），证明见解析． 【解析】解：（1）如图2，延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），且， 理由是：由（1）知，， ∴，， ∴； （3）， 理由：如图2，延长到M，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：． 14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【解析】解：（1）延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图③，延长交的延长线于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在 中，是边上的中线，延长到M，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3），，理由见解析． 【解析】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）如图2，延长到M，使，连接， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到M，使得，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明用到的判定定理是：　 　 A． B． C． D． （2）的取值范围是 　 　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，E为边的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）A；（2）；（3）． 【解析】（1）证明：如图2，延长到E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，延长，交于M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是的中点，点A在上，且． 求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，分别过点B、C作，，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明：（1）①如图1，延长到点F，使，连接， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，分别过点B、C作，，垂足分别为点F，G， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图3， 过C点作，交的延长线于点M， 则， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前 我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 【答案】【模型证明】见解析；【模型应用】见解析；【模型构造】． 【解析】解：【模型证明】如图所示： 延长到E，使得，连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ， 【模型应用】证明：连接． ∵，且D为的中点， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【模型构造】解：如图所示，过D作于H，连接． ∵，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ∴，， ， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴． 19．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，， 求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点E，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，D为的中点，分别交，于点E，F．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【解析】（1）解：延长至点E，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）延长到M，使，连接，如图2， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）证明：如图3，延长到点G，使，连接、， ∵D是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解 决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转 得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取 值范围是 　 　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，和中，，，，点M为的中点，点E在线段的延长线上．请判断线段与线段的关系，说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），，证明见解析． 【解析】（1）解：如图①，延长到点E使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴， 即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②，延长至点M，使，连接、， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）解：，， 理由：如图，延长到点N，使，连接，， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）可证， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 $$