不等式证明创新竞赛试题精编

不等式创新竞赛试题精编（含多种解法） 1、设，证明：． 证一（局部放缩法）：据对称性，不妨设， 由于 ， 则 ． 因此结论成立，取等号当且仅当． 证二（结构转换法）：令，则， 而，由于中任两数之和大于第三数，故以为边长可以构成一个三角形XYZ，设其面积为S，外接圆半径为R，内切圆半径为r，条件化为， 即，也即， 所以，即，得 ……① 又由，得，于是所证式化为，，即 ，也即，由此，， 即，也即 ……② 今证②，注意本题的等号在相等时取到，此时为正三角形，当有， 据此，将②式左边写作，， 为证②，只要证，即 ……③ 由条件，即，由正弦定理，化为 ……④ 由于在中，有，故由④得，即③成立， 因此结论得证． 2、设，，证明：．（伊朗20届2003） 证一：显然，据条件式 ，即，也即，令， 此式化为，当时取等号． 证二、三角方法，令，条件式成为 …① 由此，，改记，其中为锐角，①成为， …… ②，我们先来证明，为一个锐角三角形的三个内角．据②，， 即　……　③， 由此知，是关于的一元二次方程③的两个根，从而③化为 ，因为，故得 ，所以，即．因此为一个锐角三角形的三个内角．；而在中，有， 即有，也即． 、锐角三角形中，证明： 证：由于，……① 以及 ，因此，，……② 同理有，，…… ③ 故 ． 当且仅当时取得等号，故结论得证． 、设为正数，满足：，证明： ． 证：将条件离散化，令，则 ，类似得， ，， ，，于是即要证, …① 两边各加，即 …②． 记， ，则 ， 于是由柯西不等式，，即，故②成立，因此结论得证． 、设，且， 求证：． 证、由于 　 … ① 这里用到，， 所以，即，同理 ，，相加得 因此由①得． 、设正实数满足：，求证：对于整数，有 ． 证明：配凑法，因为 ,所以 ．同理可得 ， ．三式相加可得 ． 、在锐角三角形中，证明： ． （年中国国家集训队测试题） 我们先证明三角形的以下恒等式：中， … ① 证：取余切代换，令，则，且，， … ②， 则 ， 同理有，； 因此． 由于为锐角三角形，则，所以 ． 、设，证明： 证：注意左边的每一加项皆为个分式之积，于是将右边的加项也表成此形式，即有 今对以上个等式右端分别使用平均不等式，得到 将诸式相加，立得所证不等式成立． 、对于每个正整数，证明：． 证一：注意到时，， 则． 证二：令，则，而，以下考虑的情况； 注意 …　①， 由于，所以 …　②， 当时，由于， 所以 …　③， 由此，…　④， 又因， 为证，只要证， …　⑤，即要证，， 只须证 ，即，也即，此为显然．因此所证结论成立． 、设，证明： ． 证：左边的一般项形式是，我们利用柯西不等式将其抽取出来： 对每个，， 所以 ，令，求和得 ． （注）以上用到求和变换公式： ，附证明如下： 19 学科网（北京）股份有限公司 $$