3.4 圆心角（1） 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.4 圆心角（1） 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程. 2.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系. 3.会在简单条件下判断点与圆的位置关系. 复习回顾 【1】垂径定理的逆定理 定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. · C A D B E O 定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 垂径定理的逆定理 垂径定理的逆定理可以看成由五个事项构成： ①两条弦互相垂直； ②一条弦经过圆心； ③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧； ⑤平分弦所对的另一条弧. 这五个事项中，知二求三. · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 【探究】圆除了是轴对称图形，是否是中心对称图形呢？一个圆绕圆心旋转任意角度能够与本身重合吗？ ● O 把圆绕圆心旋转任意角度后，仍与原来的圆重合. 【新知1】圆的旋转不变性 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 【新知2】圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. ● O B ∠AOB 弧AB是圆心角∠AOB所对的弧 圆心角 弦AB是圆心角∠AOB所对的弦 A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【例1】下列图形中的角是圆心角的是(　　) B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 【探究2】如图在圆O中，有两个圆心角，∠AOB和∠COD，如果∠AOB=∠COD，你能发现哪些结论？ 连结AB、CD，你还能发现哪些结论？ O A B C D ● 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 【新知3】圆心角定理 几何语言： ∵在⊙O中，∠AOB= ∠COD， ∴ ，AB=CD. O A B C D ● 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 证明：设∠AOC=a ∵ ∠AOB= ∠COD ∴ ∠BOD= ∠BOC+ ∠COD= ∠BOC+ ∠AOB=a 将扇形AOB按顺时针方向旋转a角后， 点A与点C重合，点B也与点D重合. 根据圆的旋转的性质，弧AB与弧CD重合，弦AB也与弦CD重合， 所以, AB=CD. 已知：在⊙O中，∠AOB＝∠COD， 求证：, AB=CD. O A B C D ● 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 如果以⊙O的圆心O为端点作 360 条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把 1°圆心角所对的弧叫做1°的弧， n°的圆心角所对的弧就是n°的弧. 【新知4】 弧的大小表示 =n° A B O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 例题探究 【例1】用直尺和圆规把⊙O四等分． 作法：（1）作⊙O的直径AB; （2）过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D. 点A，B，C，D就把⊙O四等分.　　 ● O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 例题探究 【例2】求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF. 证明 ∵∠AOB=∠COD， ∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，∴ ∴AE=DF. 又∵OA=OD， ∴OE=OF. 同理由OF⊥CD，得 ∴Rt△AOE≌Rt△DOF（HL） 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 例题探究 【例3】如图，AB为⊙O的直径，∠DOC＝90°，将∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与点A，B重合． (1)求证：＝； (1)证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＋∠BOC＋∠COD＝180°. ∵∠DOC＝90°， ∴∠AOD＋∠BOC＝90°＝∠DOC.∴ . (2)判断AD＋BC＝CD是否成立，并说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 例题探究 (2)判断AD＋BC＝CD是否成立，并说明理由． 解：不成立． 理由如下：在∠DOC内作∠DOE，交⊙O于点E，使∠DOE＝∠AOD，易得∠EOC＝∠BOC，连结DE，CE，则DE＝AD，EC＝BC.在△DEC中，DE＋EC>DC，故AD＋BC>CD.∴AD＋BC＝CD不成立． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 例题探究 【例4】如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，分别交AB于点C，D，点E，G，F，H在⊙O上． (1)若EG＝8，AC＝2，求⊙O的半径； (2)求证：； (3)若C，D分别为OA，OB的中点，则＝成立吗？请说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 例题探究 (2)求证：AE＝BF； ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 例题探究 解：成立，理由如下：连结AE. ∵C是OA的中点，CE⊥OA，∴AE＝OE. ∵OA＝OE，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°，同理可得∠BOF＝60°， ∴∠EOF＝60°，∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOB， ∴ AE＝EF＝FB. ⌒ ⌒ ⌒ (3)若C，D分别为OA，OB的中点，则＝成立吗？请说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 90° 【1】如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，如果以点O为中心，逆时针旋转这个图形，当旋转角度最小是________时，旋转后的图形能和原图形重合. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 【2】如图，在半径为5的⊙O中，∠AOB＝∠AOC，OD⊥AC，AB＝8，则OD＝________． 3 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 【3】在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则弦AB与CD的关系是(　　) A．AB＝2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不能确定 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 学以致用 【解析】 【答案】C 根据题意画出如图所示的图形．取AB的中点E，连结AE，BE，OE. ∵E是AB的中点，∴AE＝BE， ∴∠AOE＝∠BOE. ∵∠AOB＝2∠COD，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD. ∴AE＝BE＝CD. ∵AE＋BE >AB，∴AB<2CD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 学以致用 【4】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是(　　) A．120° B．135° C．150° D．165° ⌒ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 学以致用 【解析】 【答案】C ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 学以致用 【5】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E. 求证：(1)； (2)D是AC的中点． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 学以致用 证明：连结BD，则AB＝BD. ∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°. ∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝30°， ∴∠ABD＝2∠DBE，∴AD＝2ED. ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 学以致用 (2)D是AC的中点． 证明：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝180°－∠ABC－∠A＝30°. ∵∠DBE＝30°，∴∠C＝∠DBE，∴BD＝CD. ∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AD， ∴AD＝CD，即D是AC的中点． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 28 学以致用 【6】如图，P为⊙O的直径EF的延长线上一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，连结OA，OB，OC，OD.若∠1＝∠2，求证：∠AOB＝∠COD. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 29 学以致用 【解】如解图，过点O作OM⊥PA于点M，ON⊥PC于点N，则∠OMP＝∠ONP＝90°.又∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△OMP≌△ONP(AAS)，∴OM＝ON.又∵OB＝OD，∴Rt△OBM≌Rt△ODN(HL)，∴∠BOM＝∠DON.∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠AOB＝2∠BOM＝2∠DON＝∠COD. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 30 弦 圆心 弧　 课堂总结 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 31 解：连结EO，设⊙O半径为r. ∵EG⊥AB，∴CE＝CG＝EG＝4. ∵AC＝2，∴OC＝r－2. 在Rt△CEO中，OE2＝CE2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴⊙O半径为5. 证明：连结OF. ∵AC＝BD，OA＝OB，∴OC＝OD. 在Rt△COE和Rt△DOF中， ∴Rt△COE≌Rt△DOF(HL)， ∴∠AOE＝∠BOF，∴＝. 连结BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得EO＝BO，AB∥DC， 易得∠EBO＝30°，∠EBO＝∠BOD，∴∠BOD＝30°， ∴∠BOC＝150°，故的度数是150°. $$