第一次月考卷01（测试范围：第24章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷01（测试范围：第24章） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 2．在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 4．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 5．如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A．S1＝S3 B．S2＝2S4 C．S2＝2S1 D．S1•S3＝S2•S4 二、填空题 7．已知，那么 ． 8．在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，那么这两地的实际距离为 千米． 9．已知：线段，是线段的黄金分割点，那么 ． 10．已知两个相似三角形的面积之比为4：9．那么这两个相似三角形的对应边之比是 ． 11．如果，已知，被所截，若，则 ．    12．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 13．如图，在，平分，，，，，则 ． 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么 ．（用向量、的式子表示） 15．如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是 cm. 16．在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    18．如图，正方形的边长为8，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为 ． 三、解答题 19．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 20．已知：在中，，，，，与交与点E．    (1)当时，求的长； (2)当周长与四边形的周长相等时，求的长度． 21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE = 2AE．设，． （1）填空：向量 ； （2）如果点F是线段OC的中点，那么向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 注：本题结果用向量的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量． 22．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 23．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF. (1)求证：； (2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE. 24．已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 25．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷01（测试范围：第24章） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定等，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可． 【解析】如图： 故A选项符合题意． 其它选项都不能判断出即不能判断出． 故选：A． 3．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【解析】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B不符合题意； C、由，不能判断和相似，符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】根据零向量，平行向量，单位向量等知识进行判定即可求解． 【解析】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意； 、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为（为非零向量），所以，故原选项正确，不符合题意； 、单位向量的模为，所以设为单位向量，那么，故原选项正确，不符合题意； 、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要向量的概念及计算，理解并掌握零向量，平行向量，单位向量等知识是解题的关键． 5．如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A和B选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C选项，再证明，即可判断D选项 【解析】四边形是平行四边形， ，， ，， ，故选项A和选项B正确，不符合题意； 故选项C正确，不符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质． 6．如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A．S1＝S3 B．S2＝2S4 C．S2＝2S1 D．S1•S3＝S2•S4 【答案】B 【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合,，即可判断D选项． 【解析】与等底同高，则 即 故A选项正确； 即 故B选项不正确； 过点，作于，交于， 即 故C正确 , 故D正确 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 二、填空题 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【解析】解：， 设，则， ， 故答案为：． 8．在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，那么这两地的实际距离为 千米． 【答案】7 【分析】直接利用比例尺进而计算得出答案． 【解析】解：∵在的地图上，两地在地图上的距离是厘米， ∴这两地的实际距离是：(厘米)， 厘米千米． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确应用比例尺是解题关键，注意单位的换算问题． 9．已知：线段，是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金比值为进行计算即可得到答案． 【解析】解：∵线段，是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 10．已知两个相似三角形的面积之比为4：9．那么这两个相似三角形的对应边之比是 ． 【答案】2：3 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论． 【解析】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方． ∴两个相似三角形的面积之比为4：9时， 这两个相似三角形的对应边之比是2：3． 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 11．如果，已知，被所截，若，则 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【解析】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 13．如图，在，平分，，，，，则 ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得，最后再根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键． 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么 ．（用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】先证明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案． 【解析】∵OB=2OD， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴=， ∴， ∵, ∴=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用． 15．如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是 cm. 【答案】4 【分析】过点作于点，交于点，先根据矩形的性质可得，再设，根据三角形的面积公式、矩形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【解析】解：如图，过点作于点，交于点， 矩形中，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 即， 整理得：， 解得， 即， 则边上的高的长是， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 16．在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【解析】解：是直角三角形， 以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， 点D在x轴上， ， 、、， ， 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 综上，这样的直线有4条， 故答案为：4． 17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【解析】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 18．如图，正方形的边长为8，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过B作于F，连接，证明根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】∵正方形的边长为8， ， ， ∵点E为边的中点， ， ， ， 如图，过B作于F，连接， ， ， ， ， ， ， 绕着点B旋转至， ，， 即， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 19．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 20．已知：在中，，，，，与交与点E．    (1)当时，求的长； (2)当周长与四边形的周长相等时，求的长度． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求得，由已知条件得到，通过，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件推出，由三角形相似得到是等腰三角形，于是得到，设，则，列方程即可求得结论． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵周长与四边形的周长相等， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE = 2AE．设，． （1）填空：向量 ； （2）如果点F是线段OC的中点，那么向量 ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 注：本题结果用向量的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量． 【答案】（1）; （2）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可解决问题； （2）利用平行线分线段成比例定理、三角形法则计算即可； 【解析】解：（1）∵BE = 2AE ∴AE=AB ∵， ∴， ∵， (2)过F点作FG∥BC交AB于G， ∵平行四边形ABCD中，AO=OC， 又∵点F是线段OC的中点， ∴, ∵FG∥BC， ∴ ∴FG=，， 由（1）可知∴AE=AB ∴ ∴, ∵ ， 故答案为（1）．   （2）． 【点睛】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 22．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题． 【解析】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题知：，，， ， ， ，即， 解得：． 答：大雁塔的高度约为． 23．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF. (1)求证：； (2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】解: (1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG， ∴＝，＝. 又∵DE＝EF， ∴＝， ∴＝； (2)∵CF2＝FG·FB， ∴＝. 又∠BFC＝∠CFG， ∴△BCF∽△CGF， ∴＝，∠FCE＝∠CBF. 又∵DF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBF， ∴∠FCE＝∠EFG. ∵∠FEG＝∠CEF， ∴△EFG∽△ECF， ∴＝. 又∵EF＝DE，＝， ∴＝，即CG·CE＝BC·DE. 24．已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）证明为直角三角形，即可求解； （3）证明，得到，即可求解． 【解析】（1）解：将点B的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：，则点； 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 则， 则直线解析式：， 令，则， 故点； （2）由点A、B、D的坐标得：， ， 则，则为直角三角形， 则的面积； （3）由点B、D的坐标知， ， ， ， ， ， ， ∴， ，    则， 则， ， 点P在轴上且在点D的右侧， 则点P的坐标为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中． 25．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$