2.2 平行四边形面积公式的推导和应用（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学五年级上册同步培优讲义（苏教版）

2.2 平行四边形面积公式的推导和应用 第一部分 知识清单 · 平行四边形面积公式和应用： · 平行四边形的面积=底×高，也可以写成：S=a×h · 在平行四边形中，只要知道底、高和面积三个量中的任意两个量，根据平行四边形的面积计算公式，就可以求出第三个量。 第二部分 典型例题 例1：如图，把一个平行四边形沿着一条高剪开，拼成的长方形和原来的平行四边形相比，（    ）。 A．周长变长 B．周长不变 C．面积不变 答案：C 分析：把一个平行四边形通过剪。移、拼的方法拼成一个长方形，面积没有增加，也没有减少，所以面积不变；但是平行四边形新有两条斜边变成了直边（长方形的宽），长度减少了，所以周长也会减少，据此解答。 详解：根据分析可知，如图，把一个平行四边形沿着一条高剪开，拼成的长方形和原来的平行四边形相比，周长减少，面积不变。 故答案为：C 例2：一摞练习本摆成长方体，再均匀地斜放（如图），则前面由长方形变成一个近似平行四边形。长方形和近似平行四边形相比，（    ）。 A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小 C．周长变大，面积不变 D．周长和面积都变了 答案：C 分析：将练习本斜放后，长方形的长等于近似平行四边形的底，而宽在平行四边形中倾斜以后变长，因此周长变大了；平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，平行四边形的底等于长方形的长，高等于长方形的宽，因此面积没有发生变化。 详解：通过分析可知，长方形和近似平行四边形相比，周长变大，面积不变。 故答案为：C 例3：一个平行四边形，相邻两条边分别是4.5厘米和7.5厘米，如果一条边上的高是6厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米，另一条边上的高是( )厘米。 答案： 27 3.6 分析：在平行四边形中，高的长度应该小于斜边的长度，所以题干对应的高为6厘米底应该为4.5厘米，根据平行四边形的面积S＝ah，把底4.5厘米，高6厘米代入公式求出平行四边形的面积；再由平行四边形的面积公式S＝ah，得出h＝S÷a求出长边上的高。 详解：4.5×6＝27（平方厘米） 27÷7.5＝3.6（厘米） 所以平行四边形的面积是27平方厘米，另一条边上的高是3.6厘米。 例4：有一块平行四边形的黄桃园，里面种植了360棵黄桃树。如果平均每棵果树占地4平方米，量得黄桃园的底是45米，那么黄桃园的高是多少米？ 答案：32米 分析：黄桃树棵数×每棵占地面积＝黄桃园总面积，根据平行四边形的高＝面积÷底，列式解答即可。 详解：360×4÷45 ＝1440÷45 ＝32（米） 答：黄桃园的高是32米。 ：基础过关练 一、选择题 1．王老师将30本练习本均匀地斜放（如下图①），它的前面是一个近似的平行四边形；再把这30本练习本摞成一个长方体（如图②），这时前面是一个长方形。比较图①和图②的前面，下列说法正确的是（    ）。 A．周长不变，面积不变 B．周长不变，面积变了 C．周长变了，面积不变 D．周长变了，面积变了①② 2．一个平行四边形，相邻的两条边长分别是6厘米和8厘米，其中一条边上的高是7厘米，那么这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．42 B．48 C．52 D．56 3．20本练习本摞成长方体（下图1），它的前面是长方形。再把这摞练习本均匀地斜放（下图2），前面变成了一个平行四边形。平行四边形面积与长方形面积相比（    ）。 A．长方形面积大 B．平行四边形面积大 C．一样大 D．无法确定 4．一个平行四边形，底减少一半，高扩大2倍，那么这个平行四边形的面积（    ）。 A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．减少一半 5．一个平行四边形相邻两条边的长分别是7厘米、4厘米。量得一条边上的高为5厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．35 B．20 C．20或35 6．如下图，用四根小棒钉成一个平行四边形，将它的对角沿箭头方向拉动，那么面积会（    ）。 A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变 二、填空题 7．图中，平行四边形的面积是( )平方厘米。 8．两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，已知平行四边形的面积是28平方米，那么三角形的面积( )平方米。 9．如图所示，线段EF经过中心点把平行四边形分成了两个部分，已知平行四边形的面积是56平方厘米，那么图形ABFE的面积是( )平方厘米，它是一个( )形。 10．一个梯形，上底20分米，下底28分米，高10分米。如果梯形的上底和高不变，下底增加5分米，那么面积会增加( )平方分米；如果上、下底分别增加3分米，那么面积会增加( )平方分米。 11．把20本练习本摞成一个长方体，再均匀地斜放（如图所示），这样这摞练习本的前面由长方形变成了一个近似的平行四边形。量得原来的长方形的长是24厘米，宽是8.5厘米，那么这个近似的平行四边形的面积是( )平方厘米，它的周长比65厘米( )。（填“长”或“短”） 12．平行四边形对应的底和高互为倒数，如果底是1.4分米，那么高是( )分米。 三、判断题 13．一个长方形和一个平行四边形周长相等，它们的面积一定相等。( ) ：培优提升练 四、解答题 14．王师傅把一个长15厘米，宽9厘米的长方形框架拉成一个平行四边形（如图），面积减少了45平方厘米，这个平行四边形的高是多少厘米？ 15．如图，已知三角形两条直角边的长度，求平行四边形的面积（单位：厘米）。 16．在国家乡村振兴政策的带动下，张伯伯果园获得大丰收。整个果园形状如图所示。 （1）如果每棵苹果树占地面积14平方米，苹果园可以栽多少棵苹果树？ （2）如果整个果园平均每平方米纯收入10元，张伯伯果园纯收入共多少元？ 17．在方格纸上画一个三角形和一个梯形，通过剪、拼分别把它们转化成平行四边形。你能根据转化成的平行四边形与原来图形的关系，推导出三角形和梯形的面积公式吗？ 18．用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形（如下图），每个梯形的面积是多少平方厘米？ 1．C 分析：因为练习册的长和所有练习册的总厚度不变，由此推断长方形的长和宽与平行四边形的底、高和斜边之间的关系，再根据长方形和平行四边形的周长及面积公式即可进行判断。 详解：因为练习册的长和所有练习册的总厚度不变，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积和平行四边形的面积是相等的，所以图①和图②的前面的面积不变。 长方形的长和平行四边形的底相同，但是长方形的宽等于平行四边形的高，并且小于平行四边形的斜边，所以长方形的周长比平行四边形的周长更小，因此图①和图②的前面的周长变了。 即图①和图②的前面的周长变了，面积不变。 故答案为：C。 2．A 分析：根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为7厘米对应的底为6厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可解答。 详解：7×6＝42（平方厘米） 这个平行四边形的面积是42平方厘米。 故答案为：A 3．C 分析：根据题意，前面的长方形变成一个平行四边形，左右两边的长度变长了；而高没有发生变化，都是这摞日记本的厚度，所以长方形的面积和平行四边形的面积相等。 详解：长方形的长＝平行四边形的底 长方形的宽＝平行四边形的高 长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高 因为：长×宽＝底×高 所以：长方形的面积＝平行四边形的面积 故答案为：C 点睛：解答此题的关键是熟练掌握长方形的面积公式和平行四边形的面积公式。 4．C 分析：假设平行四边形原来的底为4厘米，高为3厘米，根据公式：平行四边形的面积＝底×高，代入数据算出前后平行四边形的面积，再进行比较即可。 详解：假设平行四边形原来的底为4厘米，高为3厘米。 4×3＝12（平方厘米） （4÷2）×（3×2） ＝2×6 ＝12（平方厘米） 12平方厘米＝12平方厘米 那么这个平行四边形的面积不变。 故答案为：C 5．B 分析：观察图形可得，高5厘米为平行四边形底边是4厘米的边上的高，再根据平行四边形的面积＝底×高计算即可得出答案。 详解：4×5＝20（平方厘米） 这个平行四边形的面积是20平方厘米。 故答案为：B 6．B 分析：根据平行四边形的特征，用4根小棒钉成一个平行四边形，将它的对角沿箭头方向拉动，那么图中指定底边上的高会先变长后变短，而底边不变。根据平行四边形面积＝底×高，可知面积会先变大后变小，据此解答即可。 详解：根据分析可知，面积会先变大后变小。 故答案为：B 7．70 分析：根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，高是底边的对应高，平行四边形的底是7厘米，它的对应高是10厘米，据此解答。 详解：7×10＝70（平方厘米） 平行四边形的面积是70平方厘米。 8．14 分析：由于两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，说明两个三角形的面积是相等的，用平行四边形的面积除以2即可求出三角形的面积。 详解：28÷2＝14（平方米） 那么三角形的面积14平方米。 9． 28 梯 分析：由图可知，O是这个平行四边形的中心点，所以线段EF将平行四边形ABCD平均分成2个完全一样的梯形，据此解答。 详解：56÷2＝28（平方厘米） 图形ABFE的面积是28平方厘米，它是一个梯形。 10． 25 30 分析：根据题意可知，梯形的下底和高不变，上底增加了5分米，则增加了一个底为5分米，高为10分米的三角形，再根据“三角形的面积＝底×高÷2”进行解答；根据题意，如果上、下底分别增加3分米，梯形实际增加了一个底3分米，高10分米的平行四边形，再利用平行四边形的面积＝底×高进行计算即可。 详解：5×10÷2 ＝50÷2 ＝25（平方分米） 3×10＝30（平方分米） 所以如果梯形的上底和高不变，下底增加5分米，那么面积会增加25平方分米；如果上、下底分别增加3分米，那么面积会增加30平方分米。 11． 204 长 分析：将这摞练习本均匀地斜放，此时底边不变仍是24厘米，高不变仍是8.5厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，计算出面积即可；将这摞练习本均匀地斜放，平行四边形的底与长方形的长相等，平行四边形另一组边长比长方形的宽长，所以周长大于长方形的周长，求出长方形周长再与65厘米比较即可。 详解：平行四边形的面积：24×8.5＝204（平方厘米） 长方形的周长：（24＋8.5）×2 ＝32.5×2 ＝65（厘米） 所以把这摞练习本均匀地斜放，这时前面的近似平行四边形面积是204平方厘米，它的周长比65厘米长。 12． 分析：乘积是1的两个数互为倒数。 求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解。 详解：1.4＝＝ 的倒数是； 所以，平行四边形对应的底和高互为倒数，如果底是1.4分米，那么高是分米。 13．× 分析：长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，假设长方形的长等于平行四边形的底，那么比较出长方形的宽和平行四边形的高即可比较它们的面积大小。 详解：当长方形和平行四边形的周长相等时，假设长方形的长等于平行四边形的底，则长方形的宽＞平行四边形的高，那么长×宽＞底×高，长方形面积大于平行四边形面积，它们的面积不一定相等，所以原题说法错误。 故答案为：× 14．6厘米 分析：长方形的面积＝长×宽，先用15×9求出长方形的面积，拉成平行四边形后，用长方形的面积减去45即可求出平行四边形的面积，平行四边形面积＝底×高，底即原长方形的长，据此代入数字求出这个平行四边形的高是多少厘米。 详解：15×9＝135（平方厘米） 135－45＝90（平方厘米） 90÷15＝6（厘米） 答：平行四边形的高是6厘米。 15．48平方厘米 分析：根据三角形两条直角边的长度可以求出三角形的面积，等底等高的平行四边形的面积是这个三角形面积的2倍，据此解答即可。 详解：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 24×2＝48（平方厘米） 答：平行四边形的面积是48平方厘米。 16．（1）50棵 （2）29000元 分析：（1）通过观察图可知苹果园是一个三角形，底是35米，高是40米，根据三角形的面积公式（三角形的面积＝底×高÷2），把数据代入公式求出这个苹果园的面积，然后用苹果园的面积除以每苹果树的占地面积即可。 （2）通过观察图可知梨园是一个平行四边形，底是55米，高是40米，根据平行四边形的面积公式（平行四边形的面积＝底×高），把数据代入公式求出这个梨园的面积，再把梨园的面积和苹果园的面积相加，求出果园一共的面积，再用果园一共的面积乘10即可。 详解：（1）35×40÷2 ＝1400÷2 ＝700（平方米） 700÷14＝50（棵） 答：苹果园可以栽50棵苹果树。 （2）（55×40＋700）×10 ＝（2200＋700）×10 ＝2900×10 ＝29000（元） 答：张伯伯果园纯收入共29000元。 17．见详解 分析：将三角形拼成平行四边形时，可以在高的一半处，将其裁剪成一个小三角形和一个梯形，再将小三角形反过来和梯形拼接起来，即可得到一个平行四边形；将梯形拼成平行四边形时，可以在高的一半处，将其裁剪成两个梯形，再将其中一个梯形反过来进行拼接，即可得到一个平行四边形。 详解：三角形的面积＝平行四边形的面积＝底×高，转化成平行四边形后，平行四边形的底＝三角形的底，平行四边形的高＝三角形的高的一半，推导得出：转化成的平行四边形的面积＝三角形的底×（三角形的高÷2），即三角形的面积＝底×高÷2。 梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高，转化成平行四边形后，平行四边形的底＝梯形的上底＋梯形的下底；平行四边形的高＝梯形的高的一半。推导得出：转化成的平行四边形的面积＝（上底＋下底）×（梯形的高÷2），即梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 18．320平方厘米 分析：根据题意，用两个完全一样的梯形拼成一个底为40厘米、高为16厘米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积，也就是两个梯形的面积，再除以2，即是每个梯形的面积。 详解：40×16÷2 ＝640÷2 ＝320（平方厘米） 答：每个梯形的面积是320平方厘米。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$