8.3.2.2球的体积与表面积教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

球的体积与表面积教学设计 授课人：陈毓栋 一、教学目标及核心素养 教学目标 核心素养 1. 理解掌握椭球的体积与表面积的计算公式，并能够应用公式解决实际问题； 2. 通过观察动态演示，体验发现和证明球的体积，表面积的过程； 3. 初步探求利用极限思想关联球的体积和表面积间的联系 逻辑推理：通过祖暅原理，推导证明球的体积公式；通过球体积公式推导球的表面积公式； 直观想象：通过观察和想象，加深学生对球体空间结构的了解，进而理解球的体积与表面积的概念； 数学抽象：通过具体的图像结构与数学问题抽象出球体积的数学模型 二、教学重难点 重点：理解掌握椭球的体积与表面积的计算公式，并能够应用公式解决实际问题 难点：体积，表面积公式的推导与证明 三、教学过程 （一）情境引入 1.思考：【例1】据说伟大的阿基米德逝世以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比. 2.动画演示：祖暅原理展示圆锥、半球、圆柱的截面关系： 利用平截面与轴截面两种方式，展现在任一截面中圆锥、半球、圆柱的截面面积关系，并结合祖暅原理得出三者的体积关系 结论：1.球体体积公式： （2） 例题讲解 1.结合新学公式，求解【例1】 2.【例2】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） （三）针对训练 1、把3个半径为R的铁球，熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为（ ） A、R B、2R C、3R D、4R 2、平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4 C．4π D．6π （四）知识探究——球的表面积 1、动画演示：切割球体，关联球的半径，体积与其表面积的关系 当球体分割成无限多块时，可将每一小块近似看为小四棱锥，所有四棱锥底面积之和为求的表面积，四棱锥的高为球的半径，利用等体积法可求出 结论：2.球体表面积公式： （5） 例题与训练 【例3】一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积. 练习：1、(1)已知球的表面积为64，求它的体积； (2)已知球的体积为，求它的表面积. 2、用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.8π D.π 3、（拓展思考）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．24 问题图象演示： （六）课堂总结 1.球的体积公式与表面积公式 2.公式推导与证明（思想方法） 3.作业布置：教材119页练习题第2，3，4题 学科网（北京）股份有限公司 $$