清单01 特殊平行四边形（20个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单01 特殊平行四边形（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【清单02】平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【清单03】三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 【清单05】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【清单06】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【清单07】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【清单08】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【清单09】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单10】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【清单11】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【清单12】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点题型一】菱形的性质 【典例1-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是、的中点，，则的长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【变式1-2】如图，菱形花坛的周长是32米，，则B、D两点之间的距离为（   ） A．4米 B．米 C．8米 D．米 【变式1-3】如图，在菱形中，则菱形的周长等于（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式1-4】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 【考点题型二】菱形的判定 【典例2】如图所示，是平行四边形的对角线，． (1)作的垂直平分线，垂足为点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当时，求证：平行四边形是菱形． 【变式2-1】如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（       ） ①； ②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2-3】如图，在中，是对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，．求证：四边形是菱形． 【考点题型三】菱形的性质与判定综合运用 【典例3】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【变式3-1】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【变式3-2】如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若 ，，求四边形的周长． 【变式3-3】如图，在中，，分别是，的中点．，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【考点题型四】菱形中最小问题 【典例4】如图，菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值（    ） A．7.2 B．8 C．8.5 D．9.6 【变式4-1】如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1 【变式4-2】如图，在菱形中，， ，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值 ． 【变式4-3】如图，已知菱形的边长为4，，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的最小值是 ． 【考点题型五】矩形的性质 【典例5-1】如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式5-1】如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【变式5-3】如图，矩形中，，，则矩形的对角线的长度为（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-4】如图，四边形是面积为的矩形，是边上一点，连接，作垂直于于点，已知，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式5-5】如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为 ． 【考点题型六】直角三角形斜边上的中线 【典例6】如图，中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【变式6-2】如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D． 【变式6-3】如图，在中，为的中点，，则的长为 ． 【考点题型七】矩形的判定 【典例7】如图，已知中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式7-1】依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 【变式7-2】如图，在中，增加一个条件四边形就成为矩形，这个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【变式7-4】如图，在中，平分，交于点平分，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【变式7-5】如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)判定四边形的形状并说明理由． 【考点题型八】矩形的性质与判定综合运用 【典例8】如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式8-1】如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【变式8-2】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式8-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【变式8-4】如图，在菱形中，对角线相交于点 O，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【考点题型九】矩形形中最小值问题 【典例9】如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为 ． 【变式9-2】如图，矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【变式9-3】如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 【考点题型十】梯子模型运用 【典例10】如图在中，，，，D、E分别是、边上的点，且，若P是的中点，Q是的中点，连接，则的最小值为 ． 【变式10-1】（2023春•裕华区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（　　） A．8 B．9 C． D． 【考点题型十一】矩形中折叠问题 【典例11】如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【变式11-1】如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 【变式11-2】如图，四边形是矩形，是边上的一点，把沿折叠至，点的对应点恰好落在边上，，，求（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点题型十二】矩形中动点问题 【典例12】如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 【变式12】如图为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点和点的距离为． 【考点题型十三】正方形的性质 【典例13-1】如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例13-2】如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ）． A．2 B． C． D． 【变式13-1】如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．55 【变式13-2】如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 【变式13-3】如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ． 【变式13-4】如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，，则点P到直线的距离为 ．    【考点题型十四】正方形的判定 【典例14】如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【变式14-1】下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【变式14-2】如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【变式14-3】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【考点题型十五】矩形的性质与判定综合运用 【典例15-1】【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【变式15-1】如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【变式15-2】如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【变式15-3】已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 【考点题型十六】正方形中最小值问题 【典例16】如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．1 【变式16-1】如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【变式16-2】如图，正方形中，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为 ． 【变式16-3】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 特殊平行四边形（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【清单02】平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【清单03】三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 【清单05】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【清单06】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【清单07】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【清单08】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【清单09】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单10】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【清单11】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【清单12】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点题型一】菱形的性质 【典例1-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例1-2】如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，求出，，根据等积法求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是、的中点，，则的长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．由三角形中位线定理可求，由菱形的性质可得，此题得解． 【详解】解：由题意可知，是的中位线， ∴． ， 四边形是菱形， ． 故选：C． 【变式1-2】如图，菱形花坛的周长是32米，，则B、D两点之间的距离为（   ） A．4米 B．米 C．8米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得米，，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵菱形的周长是32米，， ∴与互相平行， ∴米，， ∴是等边三角形， 米， 故选：C． 【变式1-3】如图，在菱形中，则菱形的周长等于（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理， 由菱形的性质得到，，，，根据勾股定理可以求得的长，进而得到菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴菱形的周长等于， 故选：A． 【变式1-4】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 【答案】/27度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质求出，根据互余性质得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】菱形的判定 【典例2】如图所示，是平行四边形的对角线，． (1)作的垂直平分线，垂足为点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当时，求证：平行四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明： 四边形是平行四边形， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【变式2-1】如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 【变式2-2】如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（       ） ①； ②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，①满足题意； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，②不满足题意； ③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，③满足题意； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，④不满足题意； 故满足题意的有①③； 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，是对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题； （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，可得，可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图作法、平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【考点题型三】菱形的性质与判定综合运用 【典例3】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，由勾股定理可得，从而得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求出长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， 的周长为36， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式3-1】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AB=CD，AB∥DF．证明四边形ABFC为平行四边形，证出 AF⊥BC． 由菱形的判定方法可得出结论； （2）由菱形的性质得出∠CBF=∠BCF=25°，由直角三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形为菱形． （2）解：∵，， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若 ，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理、勾股定理： （1）先证明是的中位线，进而可证明，再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，继而可得菱形的边长，再由菱形周长定义求解即可． 【详解】（1）解：∵分别是边、的中点，即，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：，，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 【变式3-3】如图，在中，，分别是，的中点．，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质． （1）根据点和分别是和的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到，且，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论； （2）根据的大小，可判定是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作于点，运用勾股定理，即可得到的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， ，且． 又，， ，． 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． （2）解：在菱形中，，， ． 是等边三角形． ． 过点作于点．   ． ． ． 【考点题型四】菱形中最小问题 【典例4】如图，菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值（    ） A．7.2 B．8 C．8.5 D．9.6 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径的问题，同时也利用了菱形的性质和面积公式，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．如图，过C作于Q，交于P，过P作于E，则此时的P、E满足最小．然后利用菱形的性质可以证明，从而得到的最小值线段的长度，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过C作于Q，交于P，过P作于E，，则此时的P、E满足最小． ∵四边形为菱形， ∴，且互相平分，平分， ∴， ∴的最小值线段的长度， ∵， 而， 又． ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-1】如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为1， 故选：D． 【变式4-2】如图，在菱形中，， ，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理．先作点关于的对称点点，再连接，过点作于，运用勾股定理求得和的长，最后在中，运用勾股定理求得的长，即为的最小值． 【详解】解：作点关于的对称点点，连接、，则，， 连接，过点作于，则， 四边形是菱形， 中， ， ， 中， ， 当点与点重合时，（最短）， 的最小值是． 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知菱形的边长为4，，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．证明，得到为正三角形，然后做辅助线求解即可． 【详解】解：过点作于点， 菱形的边长为4，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是正三角形， 设， 则， 当时，最小为：， ． 故答案为：． 【考点题型五】矩形的性质 【典例5-1】如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可知，则可求得，则可求得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴ ， ， ， ， 故选：A． 【典例5-2】如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式．令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，令与相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式5-2】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 【变式5-3】如图，矩形中，，，则矩形的对角线的长度为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 根据矩形的性质得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴． 故选：B． 【变式5-4】如图，四边形是面积为的矩形，是边上一点，连接，作垂直于于点，已知，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出，，根据四边形是面积为的矩形，得出，，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是面积为的矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-5】如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，设，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接，设，则， 是的中垂线， ， 在中，， 解得：， ． 故答案为：． 【考点题型六】直角三角形斜边上的中线 【典例6】如图，中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，D是的中点， ∴， 故选：D． 【变式6-1】如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半和勾股定理是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-2】如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 【变式6-3】如图，在中，为的中点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及勾股定理，熟记各性质是解题的关键． 根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出， 【详解】解： ， ． ，为的中点， ． 故答案为：2． 【考点题型七】矩形的判定 【典例7】如图，已知中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定： （1）证明，得到，即可得出结论； （2）先证明四边形为平行四边形，根据三线合一，得到，得到四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）四边形为矩形，证明如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，由（1）知， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【变式7-1】依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质，根据题意，运用中位线可得是平行四边形，再根据矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，    点分别是的中点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、若四边形是矩形，如图所示，则，    ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； B、若四边形是等腰梯形，如图所示，则，    同理可得，平行四边形是菱形，不符合题意； C、若，证明方法同上，平行四边形是菱形，不符合题意； D、若，如图所示，设与交于点，与交于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，且四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D ． 【变式7-2】如图，在中，增加一个条件四边形就成为矩形，这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可． 【详解】解：A．由无法判断四边形为矩形，故不符合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴四边形为矩形，故符合题意； C．由无法判断四边形为矩形，故不符合题意； D．由可判断四边形为菱形，故不符合题意； 故选B． 【变式7-3】小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形判定的应用，掌握矩形判定方法是关键；根据矩形的判定即可解答． 【详解】解：A、度量窗户的两个角是否是，不能保证窗户是矩形； B、测量窗户两组对边是否分别相等，只能保证是平行四边形，不能保证是矩形； C、测量窗户两条对角线是否相等，无法保证是矩形； D、测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，根据对角线相互平分且相等的四边形是矩形，保证是矩形； 故选：D． 【变式7-4】如图，在中，平分，交于点平分，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【变式7-5】如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)判定四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定； （1）利用全等三角形的判定证明即可． （2）先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）是的中点， ， ， ， ， ∴． （2）四边形为矩形． 理由：∵， ， ∵， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， 即， 平行四边形为矩形． 【考点题型八】矩形的性质与判定综合运用 【典例8】如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先根据四边形是平行四边形和为的中点，判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论； （）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式8-1】如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到，结合中点性质得到，根据得到四边形为平行四边形，结合垂线性质，即可得出结论； （2）由菱形的性质得到，，结合中点性质得到，中由勾股定理得到，由矩形的性质得到，，得到，中由勾股定理得到． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 【变式8-2】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据，可得四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形； （2）根据题意可得，，，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图， 四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ∴ 四边形是矩形， ，， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 【变式8-4】如图，在菱形中，对角线相交于点 O，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，由勾股定理得出的长，再根据梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ∴四边形的面积=． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【考点题型九】矩形形中最小值问题 【典例9】如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识点，如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，，若在，上分别任取一点，，由可知，进而可知当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，， 若在，上分别任取一点，， ， 当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，由题意得，，，，， ，， ，， 四边形的周长的最小值为， 在边、上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为． 故选：D． 【变式9-1】如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，   ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 当时，的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等． 【变式9-2】如图，矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，易证明四边形是平行四边形，则，可得，在的延长线上截取，连接，可证明，则，连接，则，由勾股定理得到．则的最小值为，即的最小值为． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确把求的最小值转换成求出是最小值是解题的关键． 【变式9-3】如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由可证，可得，则当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长， 在中，由勾股定理可得：， 故答案为：13． 【考点题型十】梯子模型运用 【典例10】如图在中，，，，D、E分别是、边上的点，且，若P是的中点，Q是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，线段最短等知识，连接，由勾股定理得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，由题意可得出点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动，且当点B，P，Q三点共线时，最小，即可得出． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵D、E分别是、边上的点，且， ∴， ∴点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动， 且当点B，P，Q三点共线时，最小， ， 故答案为：2． 【变式10-1】（2023春•裕华区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（　　） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝8，BC＝3， ∴OE＝AE＝AB＝4， ∴DE＝＝5， ∴OD的最大值为：5+4＝9； 故选：B． 【考点题型十一】矩形中折叠问题 【典例11】如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据四边形为矩形，，，推出，又因为点在线段的垂直平分线上，则，由折叠性质得：，，利用勾股定理求出，则可求，设，则，列出方程即，求解即可．本题考查翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：如图，   四边形为矩形，，， ， 又点在线段的垂直平分线上， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ， 由折叠性质得：，， 在中， ， ， 设，则， 在中，， 即， ， 即的长为． 故选：C． 【变式11-1】如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，而，则，得，然后设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将该矩形沿对角线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得，， 即， 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式11-2】如图，四边形是矩形，是边上的一点，把沿折叠至，点的对应点恰好落在边上，，，求（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】首先推导出，设，由勾股定理得，解答即可得解．本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上， ， 设， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：C． 【考点题型十二】矩形中动点问题 【典例12】如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定： （1）根据题意可得，要证明四边形是平行四边形，则要有，据此求解即可； （2）根据题意可得，，要证明四边形是矩形，则要有，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为平行四边形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 【变式12】如图为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)；；； (2) (3)或 【分析】（1）当运动时间为时，根据点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：. 答：当为时，四边形的面积为． （3）解：过点作于点，则，如图所示， 依题意得：， 即， 解得：，． 答：当为或时，点和点的距离为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，梯形的面积，动点与线段的数量关系，一元一次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 【考点题型十三】正方形的性质 【典例13-1】如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到， ，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又 是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 【典例13-2】如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，进而根据勾股定理可求出． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 过点F作，如图， AI ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解题关键是得出是等腰直角三角形． 【变式13-1】如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．55 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明． 证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的面积分别为5和11， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选C． 【变式13-2】如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，掌握和运用平行线的知识是解题的关键． 连接，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式13-3】如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，掌握正方形的性质是解决此题的关键．根据正方形的性质可得，，，由可得，进而得到，证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，点在对角线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式13-4】如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，，则点P到直线的距离为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 利用正方形的性质得到为的平分线，直接利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，   四边形为正方形， 平分， 又，， ， 点到直线的距离为3． 故答案为：3． 【考点题型十四】正方形的判定 【典例14】如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 【变式14-1】下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时不要与矩形及菱形的判定混淆了，掌握正方形判定方法是关键．根据正方形的判定进行判定即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，故原选项说法错误； B、四角相等的四边形是矩形；故原选项说法错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项说法错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确； 故选：D． 【变式14-2】如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【答案】(1)四边形是矩形．理由见解析 (2)当时，四边形为正方形．证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形； （2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形． 【详解】（1）解：四边形是矩形理由如下， ∵，为的中点 ， ∴ ∵四边形为平行四边形 ．， ， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴是矩形 （2）解：当时，四边形为正方形 证明：∵四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴矩形为正方形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线定义，正方形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的怕你的那个及性质是解题的关键． 【变式14-3】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点运动到的中点时，四边形是矩形 (3)点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形 【分析】此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出， 然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件. （1）由已知分别平分和， 可推出，所以得. （2）由（1）得出的， 点运动到的中点时，则由， 所以这时四边形是矩形. （3）由已知和（2）得到的结论，点运动到的中点时， 且满足为直角的直角三角形时，则推出四边形是矩形且对角线垂直，所以四边形是正方形. 【详解】（1）∵， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴ ∴， ∴. （2）当点运动到的中点时，四边形是矩形. ∵当点运动到的中点时， ， 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形. （3）当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形. ∵由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形， 已知当 ∴ ， ， ∴四边形是正方形. 【考点题型十五】矩形的性质与判定综合运用 【典例15-1】【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可； （2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，， ∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2）没有变化， 理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 【变式15-1】如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）先证明矩形是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， ． 在中，为中点， ． ， 矩形是正方形， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型． 【变式15-2】如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形； （2）先证明，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式15-3】已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，，求出，得证，得出四边形的面积等于的面积，根据正方形的面积求出即可； （2）延长到Q，使，连接，得证，求出，，求出，得证，推出，根据三角形的周长得出的周长等于，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴ 故四边形的面积是． （2）解：延长到Q，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长是：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度． 【考点题型十六】正方形中最小值问题 【典例16】如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】连接，先证四边形是矩形得，据此得要求的最小值，只需求出的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，然后中由勾股定理求出即可得到的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形为正方形，且边长为， ，，， ，， 四边形是矩形， ， 要求的最小值，只需求出的最小值即可， 点在上， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 当时，由于， 为等腰直角三角形，即：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， （舍去负值）， 即的最小值为1， 的最小值为1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段为最短． 【变式16-1】如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，， ，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2． 【变式16-2】如图，正方形中，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值． 【详解】解：连接，交于点P，连接、． ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的长即为的最小值，     ∵E是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式16-3】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$