专题01：整体思维与简便计算【从方法到思维】-2024-2025学年六年级数学上册数学思维方法系列（原卷版+解析版）人教版

众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 ——宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 2024-2025学年六年级数学上册数学思维方法系列 专题01：整体思维与简便计算 教材知识链接 整数、小数和分数简算及巧算。 专题知识介绍 本专题是整体思维与简便计算，包括整数、小数和分数的运算律及巧算，熟练掌握小学基本运算律是解决综合简算问题的基础，而整体思维贯穿整个小学数学简便计算板块，也是灵活快速巧算的基础性思维之一。 数学思维解读 1.整体思想是指在研究某些数学问题时，往往不着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题的目的。 2.用整体思想解决问题分为“整体把握法”“整体替换法”“整体固定法”和“整体形变法”。 （1）整体把握法是指某些问题从表面上看需要局部求出各有关量，但从整体上把握这些量之间的关系，则思路会变得简洁清晰，解法更为巧妙。 （2）整体替换法是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦和困难。 （3）整体固定法是指在解决问题的过程中，把所求式的值固定为一个字母以后，问题便转化为求这个字母的值。 （4）整体形变法就是将问题中的原图形（非规则图形或非特殊图形），经割补、平移或重组以后，转化成一个完整的特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来，从而使问题得以解决。 【问题一】整数的简便运算 【典型例题1】乘法分配律（一）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)99×101 (2)56×8 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 101×47            179×96－96×79             720÷18 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 72×125×8    16×25×5     8×（27×5）      125×64＋125×36 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）312×4＋188×4   （2）101×87 （3）135×50×2    （4）25×33×4 【典型例题2】乘法分配律（二）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）4300×27＋900×171         （2）996×999＋999 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 56×47＋46×44 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 9999×2222＋3333×3334 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 55×45－56×44        764×46－766×44 【问题二】小数的简便运算 【典型例题1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)0.125×40 (2)25×1.04 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）0.25×（3.85×40）   （2）43.5×101  （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 2.5×3.3×0.8     2.5×198 3.8×0.65＋0.62×6.5    4.78×21－4.78 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4.8×0.25       0.78×98           0.5×2.33×8 1.5×105        0.3×2.5×0.4       1.2×2.5＋0.8×2.5 【典型例题2】小数点移动规律与乘法分配律综合。 脱式计算，能简便的要简便运算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724            99.66×6＋66.78×18 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）3.84×9.6＋0.96×61.6    （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 【问题三】分数的简便运算 【典型例题1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。                          【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 ×3           （）×12          16× 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。           【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。                               【典型例题2】乘法分配律进阶应用。 脱式计算，能简便的要简便运算。      【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【典型例题3】整体思维与换元法。 脱式计算，能简便的要简便运算。 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1．用简便方法计算。 66×17＋33×26＋40×33          124×10101 2．计算下列各题，能简便的要简便算。 630÷2÷35     52×102     77×146－46×77 3．下面各题，能简算的要用简便方法计算。 0.125×7.41×80            21.6×1.8－0.16×48            2.07÷2.5÷0.4 4．计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 9.3×14.7－2.3×14.7       10.1×5.5       4.2×9.9＋0.42 5．用简便方法计算。 7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 6．能简算的要简算。                                                  7．怎样算简便就怎样算。                         8．计算。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 12 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 ——宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 2 / 12 2024-2025 学年六年级数学上册数学思维方法系列 专题 01：整体思维与简便计算 教材知识链接 整数、小数和分数简算及巧算。 专题知识介绍 本专题是整体思维与简便计算，包括整数、小数和分数的运算律及巧算，熟练掌 握小学基本运算律是解决综合简算问题的基础，而整体思维贯穿整个小学数学简 便计算板块，也是灵活快速巧算的基础性思维之一。 数学思维解读 1.整体思想是指在研究某些数学问题时，往往不着眼于问题的各个组成部分，而 是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究 问题的整体形式、整体结构或做种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题 的目的。 2.用整体思想解决问题分为“整体把握法”“整体替换法”“整体固定法”和“整体形 变法”。 （1）整体把握法是指某些问题从表面上看需要局部求出各有关量，但从整体上 把握这些量之间的关系，则思路会变得简洁清晰，解法更为巧妙。 （2）整体替换法是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并 把这个“整体”直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦和困难。 （3）整体固定法是指在解决问题的过程中，把所求式的值固定为一个字母以后， 问题便转化为求这个字母的值。 （4）整体形变法就是将问题中的原图形（非规则图形或非特殊图形），经割补、 平移或重组以后，转化成一个完整的特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来， 从而使问题得以解决。 3 / 12 【问题一】整数的简便运算 【典型例题 1】乘法分配律（一）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)99×101 (2)56×8 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 101×47 179×96－96×79 720÷18 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 72×125×8 16×25×5 8×（27×5） 125×64＋125×36 4 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）312×4＋188×4 （2）101×87 （3）135×50×2 （4）25×33×4 【典型例题 2】乘法分配律（二）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）4300×27＋900×171 （2）996×999＋999 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 56×47＋46×44 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 9999×2222＋3333×3334 5 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 55×45－56×44 764×46－766×44 【问题二】小数的简便运算 【典型例题 1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)0.125×40 (2)25×1.04 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）0.25×（3.85×40） （2）43.5×101 （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 2.5×3.3×0.8 2.5×198 3.8×0.65＋0.62×6.5 4.78×21－4.78 6 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4.8×0.25 0.78×98 0.5×2.33×8 1.5×105 0.3×2.5×0.4 1.2×2.5＋0.8×2.5 【典型例题 2】小数点移动规律与乘法分配律综合。 脱式计算，能简便的要简便运算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 99.66×6＋66.78×18 7 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）3.84×9.6＋0.96×61.6 （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 【问题三】分数的简便运算 【典型例题 1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 2 1 3 3 4   8 4 27 9 27       387 86  【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 2 3 5  ×3 （ 2 53 6 ）×12 16× 2 15 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 5 94 18 10   1 2 3.6 4 9       819 9  8 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4 3 9 9 8 11   2 118 3 6 （ ＋ ） 3 336 63 0.75 4 4  ＋ ＋ 567 66  【典型例题 2】乘法分配律进阶应用。 脱式计算，能简便的要简便运算。 13 3 26 33 25 4 4 134      2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 3 3 1 6 1 7 4 7 6 7 12   ＋ ＋ 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 17 1954 34 23 23    9 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 38 21 21 × - 17 23 17 21 × 23 【典型例题 3】整体思维与换元法。 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                10 / 12 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 2018( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 2019           11 / 12 1．用简便方法计算。 66×17＋33×26＋40×33 124×10101 2．计算下列各题，能简便的要简便算。 630÷2÷35 52×102 77×146－46×77 3．下面各题，能简算的要用简便方法计算。 0.125×7.41×80 21.6×1.8－0.16×48 2.07÷2.5÷0.4 4．计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 9.3×14.7－2.3×14.7 10.1×5.5 4.2×9.9＋0.42 5．用简便方法计算。 7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 12 / 12 6．能简算的要简算。 5 6 1 11 11 6   20172019 2018  1 1 5 9 6 18         135.2 4.8 4.8 4.8 2     8 1 923 17 23 17    7 7 74 12 15 15 15     7．怎样算简便就怎样算。 5 6 9 9 6 5 10 5    5 114 14 14 14    7 1 6 16 13 6 13 6     4 4 5 1 5 7 4 2    4 1 31 1 2.3 0.075 0.37 5 3 4      1 1 1 5 36 4 9 6        8．计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      1 / 31 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 ——宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 2 / 31 2024-2025 学年六年级数学上册数学思维方法系列 专题 01：整体思维与简便计算 教材知识链接 整数、小数和分数简算及巧算。 专题知识介绍 本专题是整体思维与简便计算，包括整数、小数和分数的运算律及巧算，熟练掌 握小学基本运算律是解决综合简算问题的基础，而整体思维贯穿整个小学数学简 便计算板块，也是灵活快速巧算的基础性思维之一。 数学思维解读 1.整体思想是指在研究某些数学问题时，往往不着眼于问题的各个组成部分，而 是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究 问题的整体形式、整体结构或做种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题 的目的。 2.用整体思想解决问题分为“整体把握法”“整体替换法”“整体固定法”和“整体形 变法”。 （1）整体把握法是指某些问题从表面上看需要局部求出各有关量，但从整体上 把握这些量之间的关系，则思路会变得简洁清晰，解法更为巧妙。 （2）整体替换法是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并 把这个“整体”直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦和困难。 （3）整体固定法是指在解决问题的过程中，把所求式的值固定为一个字母以后， 问题便转化为求这个字母的值。 （4）整体形变法就是将问题中的原图形（非规则图形或非特殊图形），经割补、 平移或重组以后，转化成一个完整的特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来， 从而使问题得以解决。 3 / 31 【问题一】整数的简便运算 【典型例题 1】乘法分配律（一）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)99×101 (2)56×8 【解题思路】 1.观察算式，找到合适的解题方法。 两道算式直接用因数相乘的方法计算都不简便，这 时候要考虑合理地拆分因数，利用乘法的运算定律计算。 2.拆分因数，用乘法分配律解题。 (1)101可拆分为 100与 1相加： 99×101=99×(100+1)； (2)56可拆分为 50与 6相加： 56×8=(50+6)×8 3.简便计算。 (1)99×101 =99×(100+1) =99×100+99×1 =9999 (2)56×8 =(50+6)×8 =50×8+6×8 =448 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 101×47 179×96－96×79 720÷18 【答案】4747；9600；40 4 / 31 【分析】（1）首先把 101分成 100＋1，然后根据乘法分配律简算即可； （2）根据乘法分配律简算即可； （3）先把 18分解成 9×2，再根据除法的性质简算。 【详解】101×47 ＝（100＋1）×47 ＝100×47＋47 ＝4700＋47 ＝4747 179×96－96×79 ＝（179－79）×96 ＝100×96 ＝9600 720÷18 ＝720÷（9×2） ＝720÷9÷2 ＝80÷2 ＝40 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 72×125×8 16×25×5 8×（27×5） 125×64＋125×36 【答案】72000；2000；1080；12500； 【分析】72×125×8此题根据乘法结合律的特点进行简算。 16×25×5此题将 16写成 4×4，然后再交换 4与 25的位置，最后根据乘法结合律 的特点进行简算。 8×（27×5）此题先交换 5与 27的位置，然后再根据乘法结合律的特点进行简算。 125×64＋125×36此题根据乘法分配律的特点进行简算。 【详解】72×125×8 ＝72×（125×8） ＝72×1000 5 / 31 ＝72000 16×25×5 ＝（4×4）×25×5 ＝4×25×4×5 ＝（4×25）×（4×5） ＝100×20 ＝2000 8×（27×5） ＝8×（5×27） ＝（8×5）×27 ＝40×27 ＝1080 125×64＋125×36 ＝125×（64＋36） ＝125×100 ＝12500 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）312×4＋188×4 （2）101×87 （3）135×50×2 （4）25×33×4 【答案】（1）2000；（2）8787； （3）13500；（4）3300； 【分析】（1）312×4＋188×4此题根据乘法分配律的特点进行简算； （2）101×87此题先将 101写成 100＋1，然后根据乘法分配律的特点进行简算； （3）135×50×2此题根据乘法结合律的特点进行简算； （4）25×33×4此题先交换 33与 4的位置，然后再依次计算。 【详解】（1）312×4＋188×4 ＝（312＋188）×4 ＝500×4 ＝2000 6 / 31 （2）101×87 ＝（100＋1）×87 ＝100×87＋87 ＝8700＋87 ＝8787 （3）135×50×2 ＝135×（50×2） ＝135×100 ＝13500 （4）25×33×4 ＝25×4×33 ＝100×33 ＝3300 【典型例题 2】乘法分配律（二）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）4300×27＋900×171 （2）996×999＋999 【解题思路】 1.（1）题先将 900×171，化成 900×3×57，再化成 27×5700，和前面的 4300×27 相比，有共同的数 27，提出 27，应用乘法分配律计算即可； 2.（2）题将加号前后相同的数字 999提出来，应用乘法分配律计算即可。 3.简便计算。 4300×27＋900×171 ＝4300×27＋900×3×57 ＝4300×27＋27×5700 ＝（4300＋5700）×27 ＝10000×27 ＝270000 996×999＋999 ＝（996＋1）×999 7 / 31 ＝997×999 ＝997×（1000－1） ＝997×1000－997 ＝997000－997 ＝996003 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 56×47＋46×44 【答案】4656 【分析】观察算式发现：47＝46＋1，根据乘法分配律可知，原式等于：56×46 ＋46×44＋56，再利用乘法分配律把原式变为：46×（56＋44）＋56，即可简算。 【详解】56×47＋46×44 ＝56×（46＋1）＋46×44 ＝56×46＋46×44＋56 ＝46×（56＋44）＋56 ＝46×100＋56 ＝4600＋56 ＝4656 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 9999×2222＋3333×3334 【答案】33330000 【分析】把 9999看作是 3333与 3的积，利用乘法结合律，把 9999×2222变为： （3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把 3334看作是 3333与 1的和，利用乘法分配律，把 3333×3334变为：3333×（3333 ＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） 8 / 31 ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 55×45－56×44 764×46－766×44 【答案】11；1440 【分析】第一小题，把 56看作是 55与 1的和，利用乘法分配律，把原式变为： 55×45－55×44－44，即可简算； 第二小题，把 766看作是 764与 2的和，利用乘法分配律，把原式变为：764×46 －764×44－2×44，再利用乘法分配律把原式变为：764×（46－44）－2×44，可 得：764×2－2×44，再次利用乘法分配律，即可简算。 【详解】55×45－56×44 ＝55×45－（55＋1）×44 ＝55×45－55×44－44 ＝55×（45－44）－44 ＝55－44 ＝11 764×46－766×44 ＝764×46－（764＋2）×44 ＝764×46－764×44－2×44 ＝764×（46－44）－2×44 ＝764×2－2×44 ＝（764－44）×2 ＝720×2 ＝1440 9 / 31 【问题二】小数的简便运算 【典型例题 1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)0.125×40 (2)25×1.04 【解题思路】 1.观察算式，找到合适的解题方法。 两道算式直接用因数相乘的方法计算都不简便，这时要考虑合理拆分因数，再利 用乘法的运算定律计算。 2.拆分因数，用乘法结合律、分配律解题。 (1)40可拆分为 8与 5相乘，即 0.125×40=0.125×(8×5)=(0.125×8)×5 (2)1.04可拆分为 1与 0.04的和，即 25×1.04= 25×(1+0.04)=25×1+25×0.04 3.简便计算。 (1)0.125×40 =0.125×8×5 =l×5 =5 (2)25×1.04 =25×(1+0.04) =25×1+25×0.04 =25+1 =26 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）0.25×（3.85×40） （2）43.5×101 （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 【答案】（1）38.5；（2）4393.5；（3）35 【分析】（1）根据乘法结合律和交换律，把式子转化为 0.25×40×3.85进行简算； 10 / 31 （2）把 101看作 100＋1，根据乘法分配律，把式子转化为 43.5×100＋43.5进行 简算； （3）根据乘法分配律，把式子转化为 3.5×（6.46＋4.54－1）进行简算。 【详解】（1）0.25×（3.85×40） ＝0.25×40×3.85 ＝10×3.85 ＝38.5 （2）43.5×101 ＝43.5×（100＋1） ＝43.5×100＋43.5 ＝4350＋43.5 ＝4393.5 （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 ＝3.5×（6.46＋4.54－1） ＝3.5×（11－1） ＝3.5×10 ＝35 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 2.5×3.3×0.8 2.5×198 3.8×0.65＋0.62×6.5 4.78×21－4.78 【答案】6.6；495 6.5；95.6 【分析】（1）运用乘法交换律进行计算即可； （2）把 198拆成 200－2，然后运用乘法分配律进行计算即可； （3）根据积不变的规律，把原式化为 3.8×0.65＋6.2×0.65，再运用乘法分配律进 行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】2.5×3.3×0.8 ＝2.5×0.8×3.3 11 / 31 ＝2×3.3 ＝6.6 2.5×198 ＝2.5×（200－2） ＝2.5×200－2.5×2 ＝500－5 ＝495 3.8×0.65＋0.62×6.5 ＝3.8×0.65＋6.2×0.65 ＝（3.8＋6.2）×0.65 ＝10×0.65 ＝6.5 4.78×21－4.78 ＝4.78×（21－1） ＝4.78×20 ＝95.6 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4.8×0.25 0.78×98 0.5×2.33×8 1.5×105 0.3×2.5×0.4 1.2×2.5＋0.8×2.5 【答案】1.2；76.44；9.32 157.5；0.3；5 【分析】4.8×0.25，改写成（4＋0.8）×0.25，再用乘法分配律进行简算； 0.78×98改写成 0.78×（100－2），再用乘法分配律进行简算； 0.5×2.33×8用乘法交换律简算； 1.5×105，改写成 1.5×（100＋5），用乘法分配律进行简算； 0.3×2.5×0.4，用乘法结合律简算； 1.2×2.5＋0.8×2.5，用乘法分配律简算。 【详解】4.8×0.25 12 / 31 ＝（4＋0.8）×0.25 ＝4×0.25＋0.8×0.25 ＝1＋0.2 ＝1.2 0.78×98 ＝0.78×（100－2） ＝0.78×100－0.78×2 ＝78－1.56 ＝76.44 0.5×2.33×8 ＝0.5×8×2.33 ＝4×2.33 ＝9.32 1.5×105 ＝1.5×（100＋5） ＝1.5×100＋1.5×5 ＝150＋7.5 ＝157.5 0.3×2.5×0.4 ＝0.3×（2.5×0.4） ＝0.3×1 ＝0.3 1.2×2.5＋0.8×2.5 ＝2.5×（1.2＋0.8） ＝2.5×2 ＝5 【典型例题 2】小数点移动规律与乘法分配律综合。 脱式计算，能简便的要简便运算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 13 / 31 【解题思路】 积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不 变。 先根据积不变的规律把 0.0725×6400改写成 7.25×64，725×0.34改写成 7.25×34； 这样算式变成 7.25×64＋7.25×34＋2×7.25，再根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b） ×c进行简算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 ＝7.25×64＋7.25×34＋2×7.25 ＝7.25×（64＋34＋2） ＝7.25×100 ＝725 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 【答案】72.4 【分析】题干中有 7.24，72.4，724，根据积的变化规律通过移动小数点的位置 使三个乘法式子中有一个相同的因数，再根据小数乘法分配律进行简便运算。 【详解】7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 ＝（7.24×10）×（0.1÷10）＋0.5×72.4＋（0.049×10）×（724÷10） ＝72.4×0.01＋0.5×72.4＋0.49×72.4 ＝（0.01＋0.5＋0.49）×72.4 ＝1×72.4 ＝72.4 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 99.66×6＋66.78×18 【答案】72.4；1800 【分析】第一题将算式转化为 7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24，再利用乘法分配律 解答； 14 / 31 第二题将 99.66拆成 33.22×3，将原式转化为 33.22×（3×6）＋66.78×18，再利用 乘法分配律解答。 【详解】7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 ＝7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24 ＝7.24×（0.1＋5＋4.9） ＝7.24×10 ＝72.4； 99.66×6＋66.78×18 ＝33.22×3×6＋66.78×18 ＝33.22×（3×6）＋66.78×18 ＝33.22×18＋66.78×18 ＝（33.22＋66.78）×18 ＝100×18 ＝1800 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）3.84×9.6＋0.96×61.6 （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 【答案】（1）96；（2）2019 【分析】根据积不变的规律：两数相乘，其中一个因数乘或者除以几（0除外）， 另一个因数则除以或者乘几，积不变。 （1）根据积不变规律将原式变成 38.4×0.96＋0.96×61.6，再根据乘法分配律进行 简算； （2）根据积不变规律将原式变成 20.19×31.5＋20.19×31.7＋20.19×36.8，再根据 乘法分配律进行简算。 【详解】（1）3.84×9.6＋0.96×61.6 ＝38.4×0.96＋0.96×61.6 ＝（38.4＋61.6）×0.96 ＝100×0.96 ＝96 15 / 31 （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 ＝20.19×31.5＋20.19×31.7＋20.19×36.8 ＝20.19×（31.5＋31.7＋36.8） ＝20.19×100 ＝2019 【问题三】分数的简便运算 【典型例题 1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 2 1 3 3 4   8 4 27 9 27       387 86  【解题思路】 （1）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （2）利用乘法分配律简算。 （3）先把 87拆为 86＋1，再利用乘法分配律简算。 2 1 3 3 4   ＝ 1 2 3 4 3   ＝ 1 2 3 4 3  （ ） ＝ 1 2 4  ＝ 1 2 运用了乘法交换律和乘法结合律。 8 4 27 9 27       ＝ 8 427 27 9 27    ＝24＋4 ＝28 运用了乘法分配律。 16 / 31 387 86  ＝（86＋1）× 3 86 ＝86× 3 86 ＋1× 3 86 ＝3＋ 3 86 ＝ 33 86 运用了乘法分配律。 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 2 3 5  ×3 （ 2 53 6 ） ×12 16× 2 15 【答案】 2 5 ；18； 22 15 【分析】（1）运用乘法交换律进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）把 16拆成 15＋1，然后运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】 1 2 3 5  ×3 ＝ 1 3 ×3× 2 5 ＝1× 25 ＝ 2 5 （ 2 5 3 6  ）×12 ＝ 2 3 ×12＋ 5 6 ×12 ＝8＋10 ＝18 16× 2 15 17 / 31 ＝（15＋1）× 2 15 ＝15× 2 15＋1× 2 15 ＝2＋ 2 15 ＝ 22 15 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 5 94 18 10   1 2 3.6 4 9       819 9  【答案】1；1.7； 816 9 【分析】（1）交换 4和 9 10 的位置，利用乘法交换律进行简便计算； （2）利用乘法分配律进行简便计算； （3）把 19拆解成（18＋1），再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 5 94 18 10   ＝ 5 9 4 18 10   ＝ 1 4 4  ＝1 1 2 3.6 4 9       ＝ 1 23.6 3.6 4 9    ＝0.9＋0.8 ＝1.7 819 9  ＝ 8(18 1) 9   ＝ 8 818 1 9 9    18 / 31 ＝ 816 9  ＝ 816 9 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4 3 9 9 8 11   2 118 3 6 （ ＋ ） 3 336 63 0.75 4 4  ＋ ＋ 567 66  【答案】 3 22；15；75； 55 66 【分析】 4 3 9 9 8 11   ，利用乘法交换律进行简算； 2 118 3 6 （ ＋ ），利用乘法分配律进行简算； 3 336 63 0.75 4 4  ＋ ＋ ，利用乘法分配律进行简算； 567 66  ，将 67拆成（66＋1），利用乘法分配律进行简算。 【详解】 4 3 9 9 8 11   4 9 3 9 11 8  ＝ 4 3 11 8 ＝ 3 22  2 118 3 6 （ ＋ ） 2 118 18 3 6  ＝ ＋ 12 3  15 3 336 63 0.75 4 4  ＋ ＋ 36 0.75 63 0.75 0.75 ＝ ＋ ＋ 36 63 1 0.75＝（ ＋ ＋） 100 0.75  75 19 / 31 567 66  566 1 66 ＝（ ＋） 5 566 1 66 66  ＝ ＋ 55 66 ＝ ＋ 55 66 ＝ 【典型例题 2】乘法分配律进阶应用。 脱式计算，能简便的要简便运算。 13 3 26 33 25 4 4 134      2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   【解题思路】 13 3 26 33 25 4 4 134      ，利用乘法分配律进行简算； 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   ，将右边括号先通过转化，利用乘法分配律进 行简算，再继续跟左边括号利用乘法分配律进行简算。 13 3 26 33 25 4 4 134      13 3 3= 3 25 2 4 44       3= 13 5 4 2 2   3= 4 40 30 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   2 5 3 4 4 4= 21 6 18 3 12 4 11 11 11                    2 5 3 4= 21 6 18 3 12 4 11                2 5 3 4= 33 3 12 4 11              2 5 3= 12 3 12 4        20 / 31 2 5 3= 12 12 12 3 12 4      =8 5 9  =22 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 3 3 1 6 1 7 4 7 6 7 12   ＋ ＋ 【答案】 1 4 【分析】 先根据分数乘法计算方法计算，再运用乘法分配律简算； 1 3 3 1 6 1 7 4 7 6 7 12   ＋ ＋ ＝ 2 1 13 1 11 7 4 7 2 7   ＋ ＋ ＝ 1 7 ×（ 3 4 ＋ 1 2 ＋ 1 2 ） ＝ 1 4 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 17 1954 34 23 23    【答案】68 【分析】先把第二组乘法中的 34分解成 17×2，然后交换分子 19和整数 17的位 置，这样出现与第一组乘法相同的因数 17 23，根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b） ×c进行简算； 【详解】 17 1954 34 23 23    17 1954 17 2 23 23      17 1754 19 2 23 23      21 / 31 17 (54 19 2) 23     17 (54 38) 23    17 92 23   68 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 38 21 21 × - 17 23 17 21 × 23 【答案】 21 23 【分析】 38 21 21 × - 17 23 17 21 × 23 ＝ 21 23 ×（ 38 17 － 21 17 ） ＝ 21 23 【典型例题 3】整体思维与换元法。 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【解题思路】 令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A，1 1 1 12 3 4 99    ＝B，将原式改写成含字母 A、B的式 子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把 A、B换回 原来的式子计算出结果。 令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A， 1 1 1 12 3 4 99    ＝B； 原式＝A×（B＋ 1100）－（A＋ 1 100）×B ＝AB＋ 1100A－AB－ 1 100 B ＝ 1 100A－ 1 100 B 22 / 31 ＝ 1 100 ×（A－B） ＝ 1 100 ×[（ 1 1 1 11 2 3 4 99     ）－（ 1 1 1 1 2 3 4 99    ）] ＝ 1 100 ×[ 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 99 2 3 4 99          L L ] ＝ 1 100 ×1 ＝ 1 100 【对应练习 1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      【答案】 1 5 【分析】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    ，把字母代入原式化简含有字母的式子， 最后再把 a和 b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    原式＝ 1 1a b a b 5 5                ＝ 1 1ab a ab b 5 5              ＝ 1 1ab a ab b 5 5    ＝  1 a b5  ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4                    ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4           ＝ 1 1 5  ＝ 1 5 【对应练习 2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 23 / 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                【答案】 1 5 【分析】把 1 1 11 2 3 4    看作一个整体， 1 1 1 2 3 4   也看作一个整体，然后再乘法分配 律以及加法交换律和结合律与减法的性质进行简算。 【详解】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) [(1 ) ( ) ( )] 2 3 4 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) (1 ) ( )] (1 ) ( ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 5 5 2 3 4                        1 1 1 1 1 1 1 10 (1 ) ( ) 2 3 4 5 5 2 3 4           1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) 2 3 4 5 5 2 3 4          1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( )] 2 3 4 2 3 4 5         11 5   1 5  。 【点睛】此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算。 【对应练习 3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 2018( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 2019           【答案】 2019 4040 【详解】（ + + ）×（ + + ）﹣（ + + + ） ×（ + ） ＝（ + + ）×（ + ）+（ + + ）× ﹣（ + + ） ×（ + ）﹣ ×（ + ） ＝ × +（ + ）× ﹣ ×（ + ） 24 / 31 ＝ × ＝ . 1．用简便方法计算。 66×17＋33×26＋40×33 124×10101 【答案】3300；1252524 【分析】两题均用到乘法分配律使计算简便。（1）把 66拆成 33和 2相乘，然 后提出公因数 33，用乘法分配律计算；（2）把 10101看成 10000和 100和 1的 和，用乘法分配律计算。 【详解】66×17＋33×26＋40×33 ＝33×2×17＋33×26＋40×33 ＝33×（34＋26＋40） ＝3300 124×10101 ＝124×（10000＋100＋1） 25 / 31 ＝124×10000＋124×100＋124×1 ＝1240000＋12400＋124 ＝1252524 2．计算下列各题，能简便的要简便算。 630÷2÷35 52×102 77×146－46×77 【答案】9；5304；7700 【分析】（1）运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）； （2）先将 102拆为（100＋2），再运用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c； （3）运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c；据此计算。 【详解】（1）630÷2÷35 ＝630÷（2×35） ＝630÷70 ＝9 （2）52×102 ＝52×（100＋2） ＝52×100＋52×2 ＝5200＋104 ＝5304 （3）77×146－46×77 ＝77×（146－46） ＝77×100 ＝7700 3．下面各题，能简算的要用简便方法计算。 0.125×7.41×80 21.6×1.8－0.16×48 2.07÷2.5÷0.4 【答案】74.1；31.2；2.07 【分析】0.125×7.41×80，根据乘法交换律，原式化为：0.125×80×7.41，再进行 计算。 21.6×1.8－0.16×48；先计算乘法，再计算减法； 2.07÷2.5÷0.4，根据除法性质，原式化为：2.07÷（2.5×0.4），再进行计算。 26 / 31 【详解】0.125×7.41×80 ＝0.125×80×7.41 ＝10×7.41 ＝74.1 21.6×1.8－0.16×48 ＝38.88－7.68 ＝31.2 2.07÷2.5÷0.4 ＝2.07÷（2.5×0.4） ＝2.07÷1 ＝2.07 4．计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 9.3×14.7－2.3×14.7 10.1×5.5 4.2×9.9＋0.42 【答案】102.9；55.55；42 【分析】（1）运用乘法分配律进行简便计算即可； （2）先将 10.1拆成 10＋0.1，再运用乘法分配律进行简便计算即可； （3）先根据积的不变性质，将式子 4.2×9.9＋0.42改成 4.2×9.9＋4.2×0.1， 再运 用乘法分配律进行简便计算即可。 【详解】（1）9.3×14.7－2.3×14.7 ＝14.7×（9.3－2.3） ＝14.7×7 ＝102.9 （2）10.1×5.5 ＝（10＋0.1）×5.5 ＝10×5.5＋0.1×5.5 ＝55＋0.55 ＝55.55 （3）4.2×9.9＋0.42 ＝4.2×9.9＋4.2×0.1 27 / 31 ＝4.2×（9.9＋0.1） ＝4.2×10 ＝42 5．用简便方法计算。 7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 【答案】72.8 【分析】根据积不变的规律，把其中的一个因数改写成 7.28，再根据乘法分配律 可进行简算。 【详解】7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 ＝7.28×0.1＋0.5×7.28×10＋0.049×7.28×100 ＝7.28×0.1＋7.28×5＋7.28×4.9 ＝7.28×（0.1＋5＋4.9） ＝7.28×10 ＝72.8 6．能简算的要简算。 5 6 1 11 11 6   20172019 2018  1 1 5 9 6 18         135.2 4.8 4.8 4.8 2     8 1 923 17 23 17    7 7 74 12 15 15 15     【答案】 6 11 ； 20172017 2018 ；1 96 13； 1 23；7 【分析】（1）先算乘法，再算加法； （2）先把 2019拆成 2018＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简 算； （3）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先算括号里面的，根据乘法分配律逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算， 再算括号外面的除法； （5）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进 行简算； （6）根据乘法分配律逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 28 / 31 【详解】（1） 5 6 111 11 6   5 11 11 1   6 11  （2） 20172019 2018    20172018 1 2018    2017 20172018 1 2018 2018     20172017 2018   20172017 2018  （3） 1 1 5 9 6 18       6 18 5 1 1 9        18 181 9 5 5 1 6     2 3 5 5   1 （4）   135.2 4.8 4.8 4.8 2      135.2 4.8 4.8 2     1310 4.8 2    1348 2   1 48 2 3   96 13  （5） 8 1 923 17 23 17    8 1 1 9 17 23 23 17     8 9 1 17 17 23        29 / 31 11 23   1 23  （6） 7 7 74 1215 15 15     7 7 74 12 1 15 15 15        7 4 12 1 15     7 15 15   7 7．怎样算简便就怎样算。 5 6 9 9 6 5 10 5    5 114 14 14 14    7 1 6 16 13 6 13 6     4 4 5 1 5 7 4 2    4 1 31 1 2.3 0.075 0.37 5 3 4      1 1 1 5 36 4 9 6        【答案】 1 2； 5 196 ；0 1 14；1.8； 4 15 【分析】（1）先计算乘、除法，最后再计算减法； （2）按照从左往右的顺序依次计算； （3）把（ 7 613  ）改写成乘法形式即（ 7 1 13 6  ），再根据乘法分配律进行简算； （4）交换 47 和 5 4的位置，先计算乘法再计算减法； （5）把 11 3化成假分数 4 3 ， 41 5化成小数 1.8；其次把（ 4 11 1 5 3  ）改写成（ 31.8 4  ） 形式；根据积不变的规律，把（2.3×0.075）改写成（0.23×0.75），再把 0.75化 成分数 3 4 ，即把（2.3×0.075）改写成（ 30.23 4  ）形式；最后根据乘法分配律进行 简算； （6）先计算小括号里的除法和加法，再计算括号外面的除法。 【详解】（1） 5 6 9 96 5 10 5    9 51 10 9    11 2   30 / 31 1 2  （2） 5 114 1414 14    15 14 14    5 1 14 14   5 196  （3） 7 1 6 1613 6 13 6     7 1 1 6 1 1 13 6 6 13 6       1 7 6 1 6 13 13         1 0 6   0 （4） 4 4 5 1 5 7 4 2    4 5 4 1 5 4 7 2     4 11 7 2    4 1 7 2   1 14  （5） 4 1 31 1 2.3 0.075 0.375 3 4      4 31.8 0.23 0.75 0.37 3 4       3 3 31.8 0.23 0.37 4 4 4        3 1.8 0.23 0.37 4     3 2.4 4   1.8 （6） 1 1 1 5 36 4 9 6        众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 ——宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 2024-2025学年六年级数学上册数学思维方法系列 专题01：整体思维与简便计算 教材知识链接 整数、小数和分数简算及巧算。 专题知识介绍 本专题是整体思维与简便计算，包括整数、小数和分数的运算律及巧算，熟练掌握小学基本运算律是解决综合简算问题的基础，而整体思维贯穿整个小学数学简便计算板块，也是灵活快速巧算的基础性思维之一。 数学思维解读 1.整体思想是指在研究某些数学问题时，往往不着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题的目的。 2.用整体思想解决问题分为“整体把握法”“整体替换法”“整体固定法”和“整体形变法”。 （1）整体把握法是指某些问题从表面上看需要局部求出各有关量，但从整体上把握这些量之间的关系，则思路会变得简洁清晰，解法更为巧妙。 （2）整体替换法是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦和困难。 （3）整体固定法是指在解决问题的过程中，把所求式的值固定为一个字母以后，问题便转化为求这个字母的值。 （4）整体形变法就是将问题中的原图形（非规则图形或非特殊图形），经割补、平移或重组以后，转化成一个完整的特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来，从而使问题得以解决。 【问题一】整数的简便运算 【典型例题1】乘法分配律（一）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)99×101 (2)56×8 【解题思路】 1.观察算式，找到合适的解题方法。 两道算式直接用因数相乘的方法计算都不简便，这 时候要考虑合理地拆分因数，利用乘法的运算定律计算。 2.拆分因数，用乘法分配律解题。 (1)101可拆分为100与1相加： 99×101=99×(100+1)； (2)56可拆分为50与6相加： 56×8=(50+6)×8 3.简便计算。 (1)99×101 =99×(100+1) =99×100+99×1 =9999 (2)56×8 =(50+6)×8 =50×8+6×8 =448 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 101×47            179×96－96×79             720÷18 【答案】4747；9600；40 【分析】（1）首先把101分成100＋1，然后根据乘法分配律简算即可； （2）根据乘法分配律简算即可； （3）先把18分解成9×2，再根据除法的性质简算。 【详解】101×47 ＝（100＋1）×47 ＝100×47＋47 ＝4700＋47 ＝4747 179×96－96×79 ＝（179－79）×96 ＝100×96 ＝9600 720÷18 ＝720÷（9×2） ＝720÷9÷2 ＝80÷2 ＝40 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 72×125×8    16×25×5     8×（27×5）      125×64＋125×36 【答案】72000；2000；1080；12500； 【分析】72×125×8此题根据乘法结合律的特点进行简算。 16×25×5此题将16写成4×4，然后再交换4与25的位置，最后根据乘法结合律的特点进行简算。 8×（27×5）此题先交换5与27的位置，然后再根据乘法结合律的特点进行简算。 125×64＋125×36此题根据乘法分配律的特点进行简算。 【详解】72×125×8 ＝72×（125×8） ＝72×1000 ＝72000 16×25×5 ＝（4×4）×25×5 ＝4×25×4×5 ＝（4×25）×（4×5） ＝100×20 ＝2000 8×（27×5） ＝8×（5×27） ＝（8×5）×27 ＝40×27 ＝1080 125×64＋125×36 ＝125×（64＋36） ＝125×100 ＝12500 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）312×4＋188×4   （2）101×87 （3）135×50×2    （4）25×33×4 【答案】（1）2000；（2）8787； （3）13500；（4）3300； 【分析】（1）312×4＋188×4此题根据乘法分配律的特点进行简算； （2）101×87此题先将101写成100＋1，然后根据乘法分配律的特点进行简算； （3）135×50×2此题根据乘法结合律的特点进行简算； （4）25×33×4此题先交换33与4的位置，然后再依次计算。 【详解】（1）312×4＋188×4 ＝（312＋188）×4 ＝500×4 ＝2000 （2）101×87 ＝（100＋1）×87 ＝100×87＋87 ＝8700＋87 ＝8787 （3）135×50×2 ＝135×（50×2） ＝135×100 ＝13500 （4）25×33×4 ＝25×4×33 ＝100×33 ＝3300 【典型例题2】乘法分配律（二）。 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）4300×27＋900×171         （2）996×999＋999 【解题思路】 1.（1）题先将900×171，化成900×3×57，再化成27×5700，和前面的4300×27相比，有共同的数27，提出27，应用乘法分配律计算即可； 2.（2）题将加号前后相同的数字999提出来，应用乘法分配律计算即可。 3.简便计算。 4300×27＋900×171 ＝4300×27＋900×3×57 ＝4300×27＋27×5700 ＝（4300＋5700）×27 ＝10000×27 ＝270000 996×999＋999 ＝（996＋1）×999 ＝997×999 ＝997×（1000－1） ＝997×1000－997 ＝997000－997 ＝996003 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 56×47＋46×44 【答案】4656 【分析】观察算式发现：47＝46＋1，根据乘法分配律可知，原式等于：56×46＋46×44＋56，再利用乘法分配律把原式变为：46×（56＋44）＋56，即可简算。 【详解】56×47＋46×44 ＝56×（46＋1）＋46×44 ＝56×46＋46×44＋56 ＝46×（56＋44）＋56 ＝46×100＋56 ＝4600＋56 ＝4656 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 9999×2222＋3333×3334 【答案】33330000 【分析】把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把9999×2222变为：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把3334看作是3333与1的和，利用乘法分配律，把3333×3334变为：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 55×45－56×44        764×46－766×44 【答案】11；1440 【分析】第一小题，把56看作是55与1的和，利用乘法分配律，把原式变为：55×45－55×44－44，即可简算； 第二小题，把766看作是764与2的和，利用乘法分配律，把原式变为：764×46－764×44－2×44，再利用乘法分配律把原式变为：764×（46－44）－2×44，可得：764×2－2×44，再次利用乘法分配律，即可简算。 【详解】55×45－56×44 ＝55×45－（55＋1）×44 ＝55×45－55×44－44 ＝55×（45－44）－44 ＝55－44 ＝11 764×46－766×44 ＝764×46－（764＋2）×44 ＝764×46－764×44－2×44 ＝764×（46－44）－2×44 ＝764×2－2×44 ＝（764－44）×2 ＝720×2 ＝1440 【问题二】小数的简便运算 【典型例题1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。 (1)0.125×40 (2)25×1.04 【解题思路】 1.观察算式，找到合适的解题方法。 两道算式直接用因数相乘的方法计算都不简便，这时要考虑合理拆分因数，再利用乘法的运算定律计算。 2.拆分因数，用乘法结合律、分配律解题。 (1)40可拆分为8与5相乘，即 0.125×40=0.125×(8×5)=(0.125×8)×5 (2)1.04可拆分为1与0.04的和，即 25×1.04= 25×(1+0.04)=25×1+25×0.04 3.简便计算。 (1)0.125×40 =0.125×8×5 =l×5 =5 (2)25×1.04 =25×(1+0.04) =25×1+25×0.04 =25+1 =26 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）0.25×（3.85×40）   （2）43.5×101  （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 【答案】（1）38.5；（2）4393.5；（3）35 【分析】（1）根据乘法结合律和交换律，把式子转化为0.25×40×3.85进行简算； （2）把101看作100＋1，根据乘法分配律，把式子转化为43.5×100＋43.5进行简算； （3）根据乘法分配律，把式子转化为3.5×（6.46＋4.54－1）进行简算。 【详解】（1）0.25×（3.85×40） ＝0.25×40×3.85 ＝10×3.85 ＝38.5 （2）43.5×101 ＝43.5×（100＋1） ＝43.5×100＋43.5 ＝4350＋43.5 ＝4393.5 （3）6.46×3.5＋3.5×4.54－3.5 ＝3.5×（6.46＋4.54－1） ＝3.5×（11－1） ＝3.5×10 ＝35 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 2.5×3.3×0.8     2.5×198 3.8×0.65＋0.62×6.5    4.78×21－4.78 【答案】6.6；495 6.5；95.6 【分析】（1）运用乘法交换律进行计算即可； （2）把198拆成200－2，然后运用乘法分配律进行计算即可； （3）根据积不变的规律，把原式化为3.8×0.65＋6.2×0.65，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】2.5×3.3×0.8 ＝2.5×0.8×3.3 ＝2×3.3 ＝6.6 2.5×198 ＝2.5×（200－2） ＝2.5×200－2.5×2 ＝500－5 ＝495 3.8×0.65＋0.62×6.5 ＝3.8×0.65＋6.2×0.65 ＝（3.8＋6.2）×0.65 ＝10×0.65 ＝6.5 4.78×21－4.78 ＝4.78×（21－1） ＝4.78×20 ＝95.6 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 4.8×0.25       0.78×98          0.5×2.33×8 1.5×105        0.3×2.5×0.4       1.2×2.5＋0.8×2.5 【答案】1.2；76.44；9.32 157.5；0.3；5 【分析】4.8×0.25，改写成（4＋0.8）×0.25，再用乘法分配律进行简算； 0.78×98改写成0.78×（100－2），再用乘法分配律进行简算； 0.5×2.33×8用乘法交换律简算； 1.5×105，改写成1.5×（100＋5），用乘法分配律进行简算； 0.3×2.5×0.4，用乘法结合律简算； 1.2×2.5＋0.8×2.5，用乘法分配律简算。 【详解】4.8×0.25 ＝（4＋0.8）×0.25 ＝4×0.25＋0.8×0.25 ＝1＋0.2 ＝1.2 0.78×98 ＝0.78×（100－2） ＝0.78×100－0.78×2 ＝78－1.56 ＝76.44 0.5×2.33×8 ＝0.5×8×2.33 ＝4×2.33 ＝9.32 1.5×105 ＝1.5×（100＋5） ＝1.5×100＋1.5×5 ＝150＋7.5 ＝157.5 0.3×2.5×0.4 ＝0.3×（2.5×0.4） ＝0.3×1 ＝0.3 1.2×2.5＋0.8×2.5 ＝2.5×（1.2＋0.8） ＝2.5×2 ＝5 【典型例题2】小数点移动规律与乘法分配律综合。 脱式计算，能简便的要简便运算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 【解题思路】 积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变。 先根据积不变的规律把0.0725×6400改写成7.25×64，725×0.34改写成7.25×34； 这样算式变成7.25×64＋7.25×34＋2×7.25，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 0.0725×6400＋725×0.34＋2×7.25 ＝7.25×64＋7.25×34＋2×7.25 ＝7.25×（64＋34＋2） ＝7.25×100 ＝725 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 【答案】72.4 【分析】题干中有7.24，72.4，724，根据积的变化规律通过移动小数点的位置使三个乘法式子中有一个相同的因数，再根据小数乘法分配律进行简便运算。 【详解】7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 ＝（7.24×10）×（0.1÷10）＋0.5×72.4＋（0.049×10）×（724÷10） ＝72.4×0.01＋0.5×72.4＋0.49×72.4 ＝（0.01＋0.5＋0.49）×72.4 ＝1×72.4 ＝72.4 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724            99.66×6＋66.78×18 【答案】72.4；1800 【分析】第一题将算式转化为7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24，再利用乘法分配律解答； 第二题将99.66拆成33.22×3，将原式转化为33.22×（3×6）＋66.78×18，再利用乘法分配律解答。 【详解】7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 ＝7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24 ＝7.24×（0.1＋5＋4.9） ＝7.24×10 ＝72.4；        99.66×6＋66.78×18 ＝33.22×3×6＋66.78×18 ＝33.22×（3×6）＋66.78×18 ＝33.22×18＋66.78×18 ＝（33.22＋66.78）×18 ＝100×18 ＝1800 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 （1）3.84×9.6＋0.96×61.6    （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 【答案】（1）96；（2）2019 【分析】根据积不变的规律：两数相乘，其中一个因数乘或者除以几（0除外），另一个因数则除以或者乘几，积不变。 （1）根据积不变规律将原式变成38.4×0.96＋0.96×61.6，再根据乘法分配律进行简算； （2）根据积不变规律将原式变成20.19×31.5＋20.19×31.7＋20.19×36.8，再根据乘法分配律进行简算。 【详解】（1）3.84×9.6＋0.96×61.6 ＝38.4×0.96＋0.96×61.6 ＝（38.4＋61.6）×0.96 ＝100×0.96 ＝96 （2）20.19×31.5＋2.019×317＋201.9×3.68 ＝20.19×31.5＋20.19×31.7＋20.19×36.8 ＝20.19×（31.5＋31.7＋36.8） ＝20.19×100 ＝2019 【问题三】分数的简便运算 【典型例题1】基本简算。 脱式计算，能简便的要简便运算。                                 【解题思路】 （1）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （2）利用乘法分配律简算。 （3）先把87拆为86＋1，再利用乘法分配律简算。                ＝ ＝ ＝ ＝ 运用了乘法交换律和乘法结合律。                 ＝ ＝24＋4 ＝28 运用了乘法分配律。 ＝（86＋1）× ＝86×＋1× ＝3＋ ＝ 运用了乘法分配律。 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 ×3             （）×12             16× 【答案】；18； 【分析】（1）运用乘法交换律进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）把16拆成15＋1，然后运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】×3 ＝×3× ＝1× ＝ （）×12 ＝×12＋×12 ＝8＋10 ＝18 16× ＝（15＋1）× ＝15×＋1× ＝2＋ ＝ 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。           【答案】1；1.7； 【分析】（1）交换4和的位置，利用乘法交换律进行简便计算； （2）利用乘法分配律进行简便计算； （3）把19拆解成（18＋1），再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝0.9＋0.8 ＝1.7 ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。                               【答案】；15；75； 【分析】，利用乘法交换律进行简算； ，利用乘法分配律进行简算； ，利用乘法分配律进行简算； ，将67拆成（66＋1），利用乘法分配律进行简算。 【详解】 【典型例题2】乘法分配律进阶应用。 脱式计算，能简便的要简便运算。                     【解题思路】 ，利用乘法分配律进行简算； ，将右边括号先通过转化，利用乘法分配律进行简算，再继续跟左边括号利用乘法分配律进行简算。 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】 【分析】 先根据分数乘法计算方法计算，再运用乘法分配律简算； ＝ ＝×（＋＋） ＝ 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】68 【分析】先把第二组乘法中的34分解成17×2，然后交换分子19和整数17的位置，这样出现与第一组乘法相同的因数，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； 【详解】 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】 【分析】 ＝×（－） ＝ 【典型例题3】整体思维与换元法。 脱式计算，能简便的要简便运算。 【解题思路】 令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。 令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 【对应练习1】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】 【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习2】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】 【分析】把看作一个整体，也看作一个整体，然后再乘法分配律以及加法交换律和结合律与减法的性质进行简算。 【详解】 。 【点睛】此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算。 【对应练习3】 脱式计算，能简便的要简便运算。 【答案】 【详解】（ ++）×（++）﹣（+++）×（+） ＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+） ＝×+（+）×﹣×（+） ＝× ＝. 1．用简便方法计算。 66×17＋33×26＋40×33         124×10101 【答案】3300；1252524 【分析】两题均用到乘法分配律使计算简便。（1）把66拆成33和2相乘，然后提出公因数33，用乘法分配律计算；（2）把10101看成10000和100和1的和，用乘法分配律计算。 【详解】66×17＋33×26＋40×33 ＝33×2×17＋33×26＋40×33 ＝33×（34＋26＋40） ＝3300 124×10101 ＝124×（10000＋100＋1） ＝124×10000＋124×100＋124×1 ＝1240000＋12400＋124 ＝1252524 2．计算下列各题，能简便的要简便算。 630÷2÷35    52×102    77×146－46×77 【答案】9；5304；7700 【分析】（1）运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）； （2）先将102拆为（100＋2），再运用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c； （3）运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c；据此计算。 【详解】（1）630÷2÷35 ＝630÷（2×35） ＝630÷70 ＝9 （2）52×102 ＝52×（100＋2） ＝52×100＋52×2 ＝5200＋104 ＝5304 （3）77×146－46×77 ＝77×（146－46） ＝77×100 ＝7700 3．下面各题，能简算的要用简便方法计算。 0.125×7.41×80            21.6×1.8－0.16×48            2.07÷2.5÷0.4 【答案】74.1；31.2；2.07 【分析】0.125×7.41×80，根据乘法交换律，原式化为：0.125×80×7.41，再进行计算。 21.6×1.8－0.16×48；先计算乘法，再计算减法； 2.07÷2.5÷0.4，根据除法性质，原式化为：2.07÷（2.5×0.4），再进行计算。 【详解】0.125×7.41×80 ＝0.125×80×7.41 ＝10×7.41 ＝74.1 21.6×1.8－0.16×48 ＝38.88－7.68 ＝31.2 2.07÷2.5÷0.4 ＝2.07÷（2.5×0.4） ＝2.07÷1 ＝2.07 4．计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 9.3×14.7－2.3×14.7       10.1×5.5       4.2×9.9＋0.42 【答案】102.9；55.55；42 【分析】（1）运用乘法分配律进行简便计算即可； （2）先将10.1拆成10＋0.1，再运用乘法分配律进行简便计算即可； （3）先根据积的不变性质，将式子4.2×9.9＋0.42改成4.2×9.9＋4.2×0.1， 再运用乘法分配律进行简便计算即可。 【详解】（1）9.3×14.7－2.3×14.7 ＝14.7×（9.3－2.3） ＝14.7×7 ＝102.9 （2）10.1×5.5 ＝（10＋0.1）×5.5 ＝10×5.5＋0.1×5.5 ＝55＋0.55 ＝55.55 （3）4.2×9.9＋0.42 ＝4.2×9.9＋4.2×0.1 ＝4.2×（9.9＋0.1） ＝4.2×10 ＝42 5．用简便方法计算。 7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 【答案】72.8 【分析】根据积不变的规律，把其中的一个因数改写成7.28，再根据乘法分配律可进行简算。 【详解】7.28×0.1＋0.5×72.8＋0.049×728 ＝7.28×0.1＋0.5×7.28×10＋0.049×7.28×100 ＝7.28×0.1＋7.28×5＋7.28×4.9 ＝7.28×（0.1＋5＋4.9） ＝7.28×10 ＝72.8 6．能简算的要简算。                                              【答案】；；1 ；；7 【分析】（1）先算乘法，再算加法； （2）先把2019拆成2018＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （3）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先算括号里面的，根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算，再算括号外面的除法； （5）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （6）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 7．怎样算简便就怎样算。                       【答案】；；0 ；1.8； 【分析】（1）先计算乘、除法，最后再计算减法； （2）按照从左往右的顺序依次计算； （3）把（）改写成乘法形式即（），再根据乘法分配律进行简算； （4）交换和的位置，先计算乘法再计算减法； （5）把化成假分数，化成小数1.8；其次把（）改写成（）形式；根据积不变的规律，把（2.3×0.075）改写成（0.23×0.75），再把0.75化成分数，即把（2.3×0.075）改写成（）形式；最后根据乘法分配律进行简算； （6）先计算小括号里的除法和加法，再计算括号外面的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 8．计算。 【答案】 【分析】设＝a，＝b，则原式＝（1＋a）b－（1＋b）a，把这个式子化简即可解答。 【详解】设＝a，＝b，则 原式＝（1＋a）b－（1＋b）a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a ＝（）－（） ＝ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$