精品解析：江西省赣州市宁都县职业技术学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

宁都县职业中专2023-2024学年第二学期第一次月考 22对口《数学》试题 出题人：朱文娟 审题人：周丹 一、是非填空题（每小题3分，共30分，对的写“正确”，错的写“错误”） 1. 设全集，则．（ ） 2. 函数的图像必经过．（ ） 3. 圆上任意不同的三点确定一个平面．（ ） 4. 一直线过点，则此直线的倾斜角为.（ ） 5. 求值：.（ ） 6. 对于非零向量，若，则．（ ） 7. 若函数是偶函数，则在内是增函数.（ ） 8. 函数的最小正周期是．（ ） 9. 若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为4．（ ） 10. 方程可以表示一条直线．（ ） 二、单项选择题（每小题5分，共40分） 11. 已知函数为奇函数，且当时，，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 12. 若，，则角终边所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13. 已知二次函数，则函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有最大值，无最小值 D. 既有最大值又有最小值 14. 已知直线与直线．若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或2 15. 若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 16. 焦距是10，离心率为，焦点在轴上的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 17. 已知圆，则通过原点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 18. 函数的函数图像是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题（30分，每小题5分） 19. 不等式的解集为______. 20. 若，则______. 21. 已知向量，则向量的夹角为______. 22. 与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为______. 23. 已知函数，则______. 24. 若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为______. 四、解答题（共50分，25-28题每题8分，29-30题每题9分，应写出解题过程） 25. 设复数（为正实数，为虚数单位）， （1）求复数； （2）计算. 26. 已知，且. （1）； （2）. 27. 已知圆C的方程是. （1）求圆C的圆心坐标； （2）若圆C与直线l：相切，求实数m的值. 28. 根据下列条件求其标准方程． （1）椭圆的一个焦点为，一个顶点为； （2）双曲线的渐近线方程为，实轴长为2且焦点在轴上． （3）抛物线经过点． 29. 已知双曲线的中心为坐标原点，其中一个焦点的坐标为，且双曲线的离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与双曲线交于两点，求的面积. 30. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作弦且弦被点P平分，求此弦所在的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁都县职业中专2023-2024学年第二学期第一次月考 22对口《数学》试题 出题人：朱文娟 审题人：周丹 一、是非填空题（每小题3分，共30分，对的写“正确”，错的写“错误”） 1. 设全集，则．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，， 根据补集的定义，可得. 故答案为：错误. 2. 函数的图像必经过．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据函数的解析式，令，求得的值，从而得以判断. 【详解】对于，令，得， 所以的图像必经过. 故答案为：正确. 3. 圆上任意不同的三点确定一个平面．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据平面的基本性质即可解得. 【详解】由过不在一条直线上的三个点， 有且只有一个平面可得， 圆上任意不同的三点不共线，可以确定一个平面. 故答案为：正确. 4. 一直线过点，则此直线的倾斜角为.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】先利用两点坐标求得直线斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线过点， 所以该直线斜率为， 设此直线的倾斜角为，则， 所以，即此直线的倾斜角为. 故答案为：正确. 5. 求值：.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】逆用余弦函数的和差公式即可判断. 【详解】. 故答案为：错误. 6. 对于非零向量，若，则．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据共线向量的定义求解即可. 【详解】对于非零向量， 由可得，， 则，即原命题叙述正确. 7. 若函数是偶函数，则在内是增函数.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用偶函数的图象性质与二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数是偶函数，所以关于轴对称， 又的图象开口向下， 所以在上单调递增， 则在内是增函数. 故答案为：正确. 8. 函数的最小正周期是．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式可求. 【详解】由题意，函数的最小正周期； 故答案为：正确. 9. 若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为4．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出左焦点坐标，由焦点坐标写出抛物线方程即可解得. 【详解】由题，椭圆， 则， 即椭圆的左焦点为， 又知抛物线焦点与椭圆左焦点重合， 则，解得， 故答案为：错误. 10. 方程可以表示一条直线．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据直线定义可判断. 【详解】因为，所以为，即； 图象有断点，故不是一条直线； 故答案为：错误. 二、单项选择题（每小题5分，共40分） 11. 已知函数为奇函数，且当时，，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求的值，然后根据可求 【详解】时，，． 又为奇函数， ． 故选：. 12. 若，，则角终边所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】由可知，角的终边在第一象限、第二象限或轴正半轴； 由可知，角的终边在第二象限、第四象限; 所以当，时，角的终边在第二象限. 故选：. 13. 已知二次函数，则函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有最大值，无最小值 D. 既有最大值又有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，分析其开口与对称轴，进而得到其单调性与最值，从而得解. 【详解】因为的图象开口向下，对称轴为， 又，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故AB错误； 所以在上有最大值，没有最小值，故C正确，D错误. 故选：C. 14. 已知直线与直线．若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直满足的条件即可求解. 【详解】直线转化为斜截式：， 直线转化为斜截式方程为：, 解得或． 故选：D. 15. 若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线，建立一元二次不等式，即可求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得或. 故选：C. 16. 焦距是10，离心率为，焦点在轴上的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意假设双曲线方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 所以设双曲线方程为，半焦距为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：A. 17. 已知圆，则通过原点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设定直线方程，根据圆心到切线的距离为圆的半径，即可求解. 【详解】圆可化为， 所以圆心坐标为，半径. 若过原点的切线斜率不存在，则切线为，到圆心的距离，故不成立. 若过原点的切线斜率为，设切线方程为，即 圆心到的距离， 可化为，解得， 所以切线方程为. 故选：C. 18. 函数的函数图像是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由对数型复合函数定义域排除AB，再分类讨论与，结合复合函数、一次函数与对数函数的单调性排除C，检验D选项，从而得解. 【详解】对于，有，则，排除AB； 当时，， 因为在其定义域内单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，排除C； 当时，， 因为在其定义域内单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减； 综上，D选项的图象满足上述性质，故D正确. 故选：D. 三、填空题（30分，每小题5分） 19. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一次不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦函数的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 21. 已知向量，则向量的夹角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求得内积和模长，再根据内积的定义求得夹角的余弦，即可得到夹角. 【详解】∵向量， ∴，，， 令向量的夹角为，， 则，解得， 所以. 故答案为：. 22. 与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆心相同假设所求圆的方程，再代入点求出半径即可得解. 【详解】因为圆的圆心为， 设所求圆的方程为， 由点在圆上可知，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 23. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，从内而外依次求函数即可得解. 【详解】因为, 所以， 则， 故. 故答案为：. 24. 若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，再根据抛物线上的点到焦点距离等于到抛物线准线的距离，即可求得纵坐标. 【详解】∵，即， ∴焦点坐标为，准线. 点P到焦点的距离等于到准线的距离，即，得到. 故答案为：3. 四、解答题（共50分，25-28题每题8分，29-30题每题9分，应写出解题过程） 25. 设复数（为正实数，为虚数单位）， （1）求复数； （2）计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数模的计算公式列式即可得解； （2）利用复数的四则运算即可得解. 【小问1详解】 因为复数，为正实数，， 所以，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 26. 已知，且. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的二倍角公式列式，结合角的范围即可得解； （2）利用正余弦函数的齐次式法，结合三角函数的平方关系即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 又，所以，可化为, 解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 27. 已知圆C的方程是. （1）求圆C的圆心坐标； （2）若圆C与直线l：相切，求实数m的值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程转换为标准式方程即可求解； （2）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径列式即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∴圆C的圆心坐标为. 【小问2详解】 ∵圆C与直线相切， ∴点到直线的距离为. 又， ∴. 28. 根据下列条件求其标准方程． （1）椭圆的一个焦点为，一个顶点为； （2）双曲线的渐近线方程为，实轴长为2且焦点在轴上． （3）抛物线经过点． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点和顶点坐标，结合椭圆方程与焦点坐标的特征，即可求解. （2）根据双曲线实轴长和渐近线方程，得到，即可求解. （3）设定抛物线方程，代入坐标，即可求解. 【小问1详解】 ∵椭圆的一个焦点为，一个顶点为， ∴焦点在轴上，， ，椭圆方程为. 【小问2详解】 ∵双曲线的渐近线方程为，实轴长为2且焦点在轴上， ∴，，即. 故双曲线方程为. 【小问3详解】 抛物线经过点，即抛物线的焦点在轴的正半轴或轴的正半轴上， 当焦点在轴正半轴上时，抛物线方程为，代入得到，解得，故抛物线方程为， 当焦点在轴正半轴上时，抛物线方程为，代入得到，解得，故抛物线方程为. 综上，抛物线的方程为或. 29. 已知双曲线的中心为坐标原点，其中一个焦点的坐标为，且双曲线的离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与双曲线交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知双曲线的焦点位置，再由焦点坐标与离心率公式求得，从而得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式，结合点到直线的距离公式即可得解. 【小问1详解】 由焦点坐标可知双曲线的焦点在轴上， 故可设双曲线方程为，且有， 又，解得， 则， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，设，直线可为化， 联立，消去，得， 易知，所以， 所以 ， 而原点到的距离为. 故. 30. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作弦且弦被点P平分，求此弦所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴长求出答案. （2）利用点差法求直线的方程. 【小问1详解】 因为,由题意得, 所以解得, 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设过点作弦且弦与椭圆交于、两点,,直线的斜率为 所以得, 因为, 两式作差得, 即, 所以, 所以此弦所在的直线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $