精品解析：2023-2024学年人教版数学九年级上册开学摸底测试试题

2023-2024学年人教版数学九年级上学期开学摸底测试 一、选择题（共10题） 1. 下列一元二次方程没有实数根的是( ) A. B. C. D. 2. 已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　） A 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 3. 对于二次函数y=﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（ ） A. a=﹣1，b=﹣1，c=0 B. a=﹣1，b=0，c=1 C. a=﹣1，b=0，c=﹣1 D. a=1，b=0，c=﹣1 4. 将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为( ) A. (x+4)2＝7 B. (x+4)2＝25 C. (x+4)2＝﹣9 D. (x+8)2＝7 5. 电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（　　） A. 8（1+x）＝11.52 B. 8（1+2x）＝11.52 C 8（1+x）＝11.52 D. 8（1﹣x）＝11.52 6. 设一元二次方程两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 7. 某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 9. 用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（　　） A ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 10. 将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. y=（x﹣1）2+1 B. y=（x+1）2+1 C. y=2（x+1）2+1 D. y=2（x﹣1）2+1. 二、填空题（共5题） 11. 一元二次方程的一次项系数为________. 12. 二次函数的图像与轴的交点坐标是_________. 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 14. 设、是抛物线上的点，坐标系原点位于线段的中点处，则的长为_____． 15. 如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有______个. 三、解答题（共8题） 16. 按要求解下列一元二次方程； （1）（公式法） （2）（配方法） 17. 某商店经营一种小商品，进价为3元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是400件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出100件． (Ⅰ)假定每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品利润y元，请写出y与x之间的函数关系．(注：销售利润=销售收入-购进成本) (Ⅱ)当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利4800元？ (Ⅲ)每件小商品销售价为多少时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 19. 曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？ 20. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 21. 某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． （2）游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 23. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）． （1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值； （2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3﹣m，e）且对任意实数x，函数值y都不小于﹣． ①求此时二次函数的解析式； ②若次函数与y轴交于点D，在对称轴上存在一点P，使得PA+PD有最小值，求点P坐标及PA+PD的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学九年级上学期开学摸底测试 一、选择题（共10题） 1. 下列一元二次方程没有实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案． 【详解】解：A．方程中，此方程有两个不相等的实数根； B．方程中，此方程有两个相等的实数根； C．方程中，此方程有两个不相等的实数根； D．方程中，此方程没有实数根； 故选D． 2. 已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　） A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可. 【详解】∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（a，0）， ∴a2-a-1=0， ∴a2-a=1， ∴a2-a+2018=2019， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、代数式求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． 3. 对于二次函数y=﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（ ） A. a=﹣1，b=﹣1，c=0 B. a=﹣1，b=0，c=1 C. a=﹣1，b=0，c=﹣1 D. a=1，b=0，c=﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】对于二次函数y=-x2-1的二次项系数a=-1，一次项系数b=0，常数项c=-1， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 4. 将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为( ) A. (x+4)2＝7 B. (x+4)2＝25 C. (x+4)2＝﹣9 D. (x+8)2＝7 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（　　） A. 8（1+x）＝11.52 B. 8（1+2x）＝11.52 C. 8（1+x）＝11.52 D. 8（1﹣x）＝11.52 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键． 7. 某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设下降的百分率为，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设下降的百分率为， 由题意可得： 解得，（舍去） 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2， 当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°， ∴PD=BD=x， ∴y=•x•x=； 当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°， ∴PD=CD=4﹣x， ∴y=•（4﹣x）•x=， 故选B． 9. 用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程左边多项式的特点和已知条件可得：将左边分解后另一个因式是x－2，再根据多项式的乘法两边比较后即得答案． 【详解】解：根据题意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2）， 则x2+px﹣6＝x2+x﹣6， ∴p＝1． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用分解因式法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 10. 将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. y=（x﹣1）2+1 B. y=（x+1）2+1 C. y=2（x+1）2+1 D. y=2（x﹣1）2+1. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移规律，可得答案． 【详解】由图象，得 y=2x2-2， 由平移规律，得 y=2（x-1）2+1， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 二、填空题（共5题） 11. 一元二次方程一次项系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是−1； 故答案为：−1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件． 12. 二次函数的图像与轴的交点坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令二次函数解析式中y＝0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标. 【详解】令代入 ∴x=2或x=1, ∴二次函数的图像与轴的交点坐标是 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，要求二次函数与x轴的交点，即要y＝0，得到关于x的方程来求解. 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 【答案】-3 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+x+（m2-9）=0， 得m2-9=0， 解得：m=±3， ∵m-3≠0， ∴m=-3， 故答案是：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0． 14. 设、是抛物线上的点，坐标系原点位于线段的中点处，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由于原点O是线段AB的中点得到A点和B点关于原点中心对称，则x1＝－x2，y1＝－y2，根据抛物线的位置可确定A点和B点在第一、三象限，设A点在第一象限，再把点A和B点坐标代入解析式得到y1＝2x12＋4x1－2，－y1＝2x12－4x1－2，两式相加可得x1＝1，则y1＝4，于是可确定A点和B点坐标，然后利用两点间的距离公式计算. 【详解】∵原点0是线段AB的中点， ∴A(x1，y1) 与B(x2，y2)关于原点中心对称, ∴x1＝－x2，y1＝－y2 ∵y＝2x2＋4x－2＝2（x＋1）2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－4）， ∴A点和B点在第一、三象限，设A点在第一象限， ∴B点坐标(－ x1,－y1), ∴y1＝2x12＋4x1－2，－ y1＝2x12－4x1－2 ∴x1＝1，y1＝4， ∴A（1,4），B（－1，－4） ∴AB＝＝2， 故答案为2. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，也考查了两点间的距离公式. 15. 如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有______个. 【答案】 【解析】 【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为可得出b＝−a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b＝−a可得出a＋b＝0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（,），由此可得出，去分母后即可得出4ac−b2＝4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x＝1与x＝0时y值相等，由此可得出a＋b＋c＝c＞0，④错误．综上即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向下，得；由抛物线对称轴为，得；抛物线与轴交点在轴正半轴，故，正确 ②正确 ③由抛物线的顶点坐标为，得，正确 ④由①得，由②得，，故④错误 正确为：①②③ 故答案为：3. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键． 三、解答题（共8题） 16. 按要求解下列一元二次方程； （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，掌握解法步骤是关键． （1）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程； （2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17. 某商店经营一种小商品，进价为3元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是400件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出100件． (Ⅰ)假定每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润y元，请写出y与x之间的函数关系．(注：销售利润=销售收入-购进成本) (Ⅱ)当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利4800元？ (Ⅲ)每件小商品销售价为多少时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(Ⅰ)y=-100x2+600x+4000；(Ⅱ)当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元；(Ⅲ)每件小商品销售价为3元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是4900元． 【解析】 【分析】(Ⅰ)先表示出降价后的销售量为(400+100x)件，根据销售利润=销售收入-购进成本，把每件的利润乘以销售量即可得到y与x之间的函数关系； (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的函数关系中函数值为4800元列一元二次方程，然后解方程即可； (Ⅲ)先把(Ⅰ)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：(Ⅰ)y=(13-3-x)(400+100x)=-100x2+600x+4000； (Ⅱ)根据题意得-100x2+600x+4000=4800， 整理得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4， 答：当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元； (Ⅲ)y=-100x2+600x+4000=-100(x-3)2+4900， 因为a=-100＜0， 所以当x=3时，y有最大值，最大值为4900， 答：每件小商品销售价为3元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是4900元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，也考查了一元二次方程的应用． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 证明： ， 是非负数， ． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5， 则有 ， 解得， 即的取值范围是． 19. 曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率是 （2）选择方案②更优惠，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设平均每次下调的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到符合要求的答案； （2）根据题意分别计算出两种方案的优惠金额，再比较大小即可得到答案； 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率是x，依题意得： ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴平均每次下调的百分率是； 【小问2详解】 方案①优惠金额元； 方案②优惠金额元； ∵， 故选择方案②更优惠. 20. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】（1）1200元 （2）1600元 【解析】 【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； 【小问2详解】 设B型空气净化器的售价为a元， 根据题意得:， 解得：， 答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【点睛】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 21. 某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． （2）游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【答案】（1） （2）扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【小问1详解】 由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心4米处达到最高，高度为6米，设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， ∵ ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 【答案】（1）或 （2）存在或，理由见解析 （3）最大面积为，此时 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，配方法求二次函数的最大值，利用点和点的坐标求得的长，从而得到的面积与的函数关系式是解题的关键． （1）由题意可求点，点，点坐标，用待定系数法可求解析式； （2）先求出点关于对称轴对称的点坐标，连接，交对称轴于点，用待定系数法可求解析式，即可求点坐标； （3）设点，则点，求出的长，从而得到的面积与的函数关系式，由二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 （1），且． ，，且在轴右侧，在轴左侧， 点，点，点或 设抛物线解析式为， 若点， ， 抛物线解析式为：， 若点， ， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 点，点， 抛物线对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 连接，交直线的交点为点， ∵点， ∴设直线解析式为 若，代入得， 解得 则直线解析式：， 当时， 点， 若点， 同理可得直线解析式为：， 当时， 点； 【小问3详解】 如图，过点作，交于点， 若有最低点， ， 点，点， 直线的解析式， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点． 23. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）． （1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值； （2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3﹣m，e）且对任意实数x，函数值y都不小于﹣． ①求此时二次函数的解析式； ②若次函数与y轴交于点D，在对称轴上存在一点P，使得PA+PD有最小值，求点P坐标及PA+PD的最小值． 【答案】（1）y＝（x+1）2-4，当x＝-1时，y最小值为-4；（2）①y＝x2﹣3x+2，②存在，P（，），2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题． （2）①首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题． ②根据解析式求得对称轴，然后根据对称性求得A对称点的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴与点P．此时PA+PD＝A′D，则PA+PD最小． 【详解】解：（1）将b＝2，c＝﹣3代入得：y＝ax2+2x﹣3． 将点A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3，得a+2﹣3＝0， ∴a＝1． ∴y＝x2+2x﹣3， ∵y＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣1时，y最小值为﹣4． （2）①由题意可知：对称轴． ∴， ∴b＝﹣3a，又∵a+b+c＝0， ∴c＝2a， ∴y＝ax2﹣3ax+2a 顶点纵坐标为， ∵函数值y不小于﹣ ∴a＞0，且， ∴a2﹣2a+1≤0， ∴（a﹣1）2≤0， ∵（a﹣1）2≥0， ∴a﹣1＝0， ∴a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2； ②如图所示： 求得A关于对称轴的对称点A′的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴与点P．此时PA+PD＝A′D，则PA+PD最小， ∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣ ， ∴对称轴为直线x＝， ∴A关于对称轴的对称点A′（2，0）， 由y＝x2﹣3x+2可知D（0，2）， 设直线A′D的解析式为y＝kx+n， ∴解得 ∴直线A′D的解析式为y＝﹣x+2， 把x＝代入得，y＝， ∴P（，）， ∵， ∴PA+PD的最小值为2 【点睛】本题考查待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$