第6单元比的认识（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

第6单元比的认识讲义-数学六年级上册北师大版 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 目录导航 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 易错考点 （一）比的基本概念 1．两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2．比值通常用分数、小数和整数表示。 3．比的后项不能为0。 4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商； 5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。 6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。 （二）求比值 1、求比值：用比的前项除以比的后项 （三）化简比 1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。 （四）比的应用 1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？ 例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？ 题目解析：60人就是男女生人数的和。 解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人 第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。 2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？ 例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？ 题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。 解题思路：第一步求每份：25÷5=5人 第二步求女生： 女生：5×7=35人。全班：25+35=60人 3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？ 例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？ 4、要求量=已知量×要求量份数÷已知量份数 5、比在几何里的运用： （1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。 长=周长÷2×a÷(a+b) 宽=周长÷2×b÷(a+b)　 面积＝长×宽 （2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积 长=周长÷４×a÷(a+b+c) 宽=周长÷４×b÷(a+b+c) 高=周长÷４×c÷(a+b+c) 体积＝长×宽×高 （３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。 三个角分别为： 180×a÷(a+b+c) 180×b÷(a+b+c) 180×c÷(a+b+c) （４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。 三条边分别为： 周长×a÷(a+b+c) 周长×b÷(a+b+c) 周长×c÷(a+b+c) 【第二部分】 例题精讲 1．笑笑准备办一张版面面积是20平方分米的数学小报，其中“珠峰新高峰”板块占版面的，剩下的版面按1∶2划分为“数学乐园”和“生活趣题”两个板块。“数学乐园”的版面面积是多少平方分米？ 【答案】5平方分米 【分析】根据题目可知，把数学小报的面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，先用20平方分米乘求出“珠峰新高峰”板块的面积，再用20平方分米减去“珠峰新高峰”板块的面积，求出剩余版面的面积，根据分数和比的关系，“数学乐园”的版面面积占剩余部分的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。 【详解】20×＝5（平方分米） 20－5＝15（平方分米） 15× ＝15× ＝5（平方分米） 答：“数学乐园”的版面面积是5平方分米。 2．我国具有悠久的青铜器铸造史，早在《考工记》中就有关于青铜器中铜与锡质量比的记载，不同用途的青铜器中铜与锡的质量比也各不相同。一把戟（一种古代兵器）中的铜与锡的质量比是4∶1，其中铜的质量比锡的质量多了1080g，这把戟的质量是多少克？ 【答案】1800克 【分析】根据题意得：铜与锡的质量比是4∶1，根据按比分配原则，铜和锡共有5份，其中铜质量占，锡质量占，两者差值为1080克，运用分数除法计算得出答案。 【详解】根据题意得：铜占总质量的，锡占总质量的，则把戟的质量： （克） 答：这把戟的质量是1800克。 【第三部分】 针对性训练 一、选择题 1．比的前项扩大到原来的2倍,比的后项缩小到原来的2,比值是(   ) A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 2．小刚看一本书，已看了全书的，已看的与没看的页数的比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶3 C．1∶2 3．数A是数B的1.5倍，A与B的比是(　　)． A．1：2 B．2：3 C．3：2 4．在40克水中加入10克盐，盐与盐水的比是（    ）。 A．4∶5 B．1∶4 C．1∶5 5．如果甲数比乙数多20%，那么甲数∶乙数＝（    ）。 A．5∶1 B．5∶6 C．6∶5 6．大圆与小圆的直径比是3∶2，大圆与小圆的周长比是（    ）。 A．2∶3 B．9∶4 C．3∶2 二、填空题 7．把2.8吨∶320千克化成最简整数比是( )，比值是( )。 8．一项工作甲单独完成需时，乙单独完成需时，甲、乙两人的工作效率的比是( )。 9．三角形三个内角的度数比是3∶1∶1，按边分这是( )三角形；按角分这是( )三角形。 10．火药是中国古代四大发明之一。配制一种黑火药时需要15份硝酸钾、2份硫黄、3份木炭粉，这种黑火药是按( )的比配制的。现在要配制250克这样的火药，需要木炭粉( )克。 11．六（1）班的人数为40～50人，如果男生和女生人数的比是5∶7，那么这个班有女生( )人。 12．奇思看一本书，已看页数与剩下页数之比是5∶3。已看页数是剩下页数的，剩下页数是已看页数的，已看页数占全书的（    ）%，剩下页数占全书的（    ）%。 三、判断题 13．男、女生人数的比是5∶3，女生比男生少10人，则男生有50人。（    ） 14．用48厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是2∶1，这个长方形面积是128平方厘米。( ) 15．盒子里有红球和黄球这两种颜色的球，红球的个数和黄球的个数的比是5∶7，已知红球有45个，则黄球有56个。 ( ) 16．全班有55名学生，男、女生人数的比是6：5，那么男生有30人．( ) 17．淘气和笑笑今年的年龄比是，三年后他们的年龄比不变．( ) 四、计算题 18．化简比。 36∶9    6∶    0.375∶10    ∶ 五、解答题 19．永宁乡有块4.5公顷耕地，种粮食作物、经济作物，油料作物的面积比是9∶4∶2。三种作物各种了多少公顷？ 20．某化工厂将浓缩液和水按1︰4的比配制了一瓶500g的稀释液，浓缩液和水的质量分别是多少克？ 21．用来消毒的碘酒是把碘和酒精按1∶50的比混合配制而成的。现在要配制1530克这种碘酒，需要碘和酒精各多少克？ 22．市政工程公司修建一条健身跑道，第一天修了全长的12%，第二天修了260米，这时已修长度与未修长度的比是1∶4。这条健身跑道全长多少米？ 23．在“快乐大课间”活动中，体育老师按的比把75个篮球分配给六年（1）班和六年（2）班同学使用。六年（1）班有48人，六年（2）班有42人，两个班各分到多少个篮球？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C C C C 1．B 【解析】略 2．A 【分析】把这本数的页数看作单位“1”，已看了全书的，则没看的页数占全书的1－＝，再用已看的页数占全书的分率比上没看的页数占全书的分率即可。 【详解】1－＝ ∶ ＝（×3）∶（×3） ＝2∶1 则已看的与没看的页数的比是2∶1。 故答案为：A 3．C 【解析】略 4．C 【分析】盐水质量＝盐质量＋水质量，盐与盐水之比＝盐质量∶盐水质量，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。可得出答案。 【详解】盐与盐水的比是：。 故答案为：C 5．C 【分析】由于甲数比乙数多20%，即甲数相当于乙数的1＋20%＝120%，可以设乙数为10，即甲数：10×120%＝12，根据比的意义即可求出甲数∶乙数＝12∶10，再根据比的基本性质化简即可。 【详解】假设乙数是10。 甲数：10×（1＋20%） ＝10×120% ＝12 甲数∶乙数＝12∶10 ＝（12÷2）∶（10÷2） ＝6∶5 故答案为：C 【点睛】本题主要考查比一个数多百分之几的数是多少，用这个数×（1＋百分之几）。 6．C 【分析】已知大圆与小圆的直径比是3∶2，可以设大圆的直径是3，小圆的直径是2； 然后根据圆的周长公式C＝πd，分别求出大圆、小圆的周长； 再根据比的意义写出大圆与小圆的周长比，化简比即可。 【详解】设大圆的直径是3，小圆的直径是2； 3π∶2π＝3∶2 大圆与小圆的周长比是3∶2。 故答案为：C 7． 35∶4 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】2.8吨∶320千克 ＝（2.8×1000）千克∶320千克 ＝2800∶320 ＝（2800÷80）∶（320÷80） ＝35∶4 35∶4 ＝35÷4 ＝ 把2.8吨∶320千克化成最简整数比是35∶4，比值是。 8．3∶4 【分析】把这项工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1分别除以和，求出甲、乙两人的工作效率，再根据比的意义写出甲、乙两人的工作效率比。 【详解】1÷＝1×3＝3 1÷＝1×4＝4 则甲、乙两人的工作效率的比是3∶4。 9． 等腰 钝角 【分析】由三角形三个内角的度数比是3∶1∶1可知，这个三角形有两个角的度数相等，符合等腰三角形的特征，据此得出这是一个等腰三角形； 已知三角形的内角和是180°，根据三个内角的度数比是3∶1∶1，则这个三角形最大内角的度数占内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用内角和乘，即可求出最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】因为三角形三个内角的度数比是3∶1∶1，所以这是等腰三角形。 180°× ＝180°× ＝108° 90°＜108°＜180°，这是一个钝角三角形。 所以，这个三角形按边分这是等腰三角形；按角分这是钝角三角形。 10． 15∶2∶3 37.5 【分析】根据比的意义，可知15份硝酸钾、2份硫黄、3份木炭粉的比是15∶2∶3；根据分数和比的关系，可知木炭粉的质量占总质量的，根据分数乘法的意义，用总质量乘即可求出木炭粉的质量。 【详解】这种黑火药是按15∶2∶3的比配制的。 250× ＝250× ＝37.5（克） 需要木炭粉37.5克。 11．28 【分析】已知六（1）班的男生和女生人数的比是5∶7，即男生人数占5份，女生人数占7份，一共是5＋7＝12份； 因为六（1）班的人数为40～50人，而12的4倍是48，正好在40～50之间，所以这个班有48人； 由男生和女生人数的比是5∶7可知，女生占全班人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用全班人数乘，即可求出这个班的女生人数。 【详解】5＋7＝12 12×4＝48（人） 40＜48＜50 这个班有48人。 48× ＝48× ＝28（人） 那么这个班有女生28人。 12．；；62.5；37.5 【分析】根据比的意义，可知已看页数有5份，剩下页数有3份，总页数一共有（5＋3）份，根据分数的意义，可知已看页数是剩下页数的；剩下页数是已看页数的；根据求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数再乘100%，则用5÷（5＋3）×100%即可求出已看页数占全书的百分之几，再用3÷（5＋3）×100%即可求出剩下页数占全书的百分之几。 【详解】5÷（5＋3）×100% ＝5÷8×100% ＝62.5% 3÷（5＋3）×100% ＝3÷8×100% ＝37.5% 已看页数是剩下页数的，剩下页数是已看页数的，已看页数占全书的62.5%，剩下页数占全书的37.5%。 13．× 【分析】男女生人数比是5∶3，所以女生人数是男生的，把男生人数当做单位“1”，所以女生人数比男生人数少（1－）， 又因为女生比男生少10人，因此就能求出男生人数是多少，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。 【详解】男女生人数比是5∶3，所以女生人数是男生的。 10÷（1－） ＝10÷ ＝25（人） 男生有25人，故判断错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查比的应用，已知具体数量，一定要找到它对应的分率。 14．√ 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，用48÷2，求出这个长方形的长和宽；再根据按比例分配，求出长和宽的长度，利用长方形面积公式：长×宽，求出这个长方形面积，再进行比较，即可解答。 【详解】48÷2＝24（厘米） 长：24× ＝24× ＝16（厘米） 宽：24× ＝24× ＝8（厘米） 长方形面积：16×8＝128（平方厘米） 原题干正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查长方形周长公式、面积公式的应用，以及按比例分配问题。 15．× 【分析】由于红球有45个，其中红球的个数和黄球的个数比是5∶7，则红球是5份，根据公式：总数÷总份数＝1份量，即45÷5＝9（个），黄球占7份，即黄球：9×7＝63（个），由此即可判断。 【详解】45÷5×7 ＝9×7 ＝63（个） 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查比的应用，熟练掌握公式：总数÷总份数＝1份量。 16．正确   【分析】根据人数比可知，男生人数占总人数的，根据分数乘法的意义计算男生人数即可. 【详解】55×=30(人)，原题计算正确. 故答案为正确 17．× 【解析】略 18．4∶1；11∶1；3∶80；5∶8 【分析】化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】36∶9 ＝（36÷9）∶（9÷9） ＝4∶1 6∶ ＝（6×11）∶（×11） ＝66∶6 ＝（66÷6）∶（6÷6） ＝11∶1 0.375∶10 ＝（0.375×8）∶（10×8） ＝3∶80 ∶ ＝（×12）∶（×12） ＝5∶8 19．粮食作物：2.7公顷；经济作物：1.2公顷；油料作物：0.6公顷 【分析】由“种粮食作物、经济作物，油料作物的面积比是9∶4∶2”可知：粮食作物的面积占这块地的；经济作物的面积占这块地的；油料作物的面积占这块地的；根据分数乘法的意义，用乘法分别求出三种作物的种植面积即可。 【详解】粮食作物：4.5×＝2.7（公顷） 经济作物：4.5×＝1.2（公顷） 油料作物：4.5×＝0.6（公顷） 答：粮食作物种2.7公顷，经济作物种1.2公顷，油料作物种0.6公顷。 【点睛】本题主要考查按比例分配问题，解答此类问题一般将比转化为分数，用分数方法解答。即先求出总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的阶梯方法，分别求出各部分的量是多少。 20．浓缩液：100g 水：400g 【详解】1＋4＝5(g) (g) (g) 答：浓缩液的质量是100g，水的质量是400g． 21．碘：30克；酒精：1500克 【分析】根据题意，碘酒是把碘和酒精按1∶50的比混合配制而成，即碘占碘酒的，酒精占碘酒的；再用碘酒的质量1530×，即可求出配制1530克碘酒需要的碘的质量；再用碘酒的质量1530×，即可求出配制1530克碘酒需要的酒精的质量。 【详解】1530× ＝1530× ＝30（克） 1530× ＝1530× ＝1500（克） 答：需要碘30克，酒精1500克。 【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 22．3250米 【分析】由题可知，把这条健身跑道的长度看作单位“1”，第一天修了全长的12%，第二天修了260米，这时已修长度与未修长度的比是1∶4，即这时已修了全长的，260米占全长的（－12%），根据分数（百分数）除法的意义，用260米除以（－12%），就是这条健身跑道的长度。 【详解】260÷（－12%） ＝260÷ ＝3250（米） 答：这条健身跑道全长3250米。 【点睛】此题考查比的应用，关键是把比转化成分数，进而求出第二天修的米数所占全长的分率（或百分率），再根据百分数除法的意义解答。 23．六年（1）：40个；六年（2）班：35个 【分析】根据题意，把篮球分成（8＋7）份，用篮球总数除法总份数，求出一份的量，进而求出六年（1）班和六年（2）班分到的篮球数量。 【详解】8＋7＝15（份） 75÷15＝5（个） 5×8＝40（个） 5×7＝35（个） 答：六年（1）班分到40个篮球，六年（2）班分到35个篮球。 【点睛】熟练掌握按比例分配律的计算方法是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$