专题01 整式重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 整式重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 知识点一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（23-24七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（    ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 2．（21-22七年级上·湖北黄冈·阶段练习）在整式，，，，中，单项式有 ． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0 C．是二次三项式 D．单项式的系数是，次数为7 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式 ． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【经典例题四 单项式规律题】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【经典例题五 多项式的判断】 【例5】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 1．（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 2．（2024七年级上·上海·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 3．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例6】（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 1．（2024七年级上·上海·专题练习）在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）代数式有 项，其中的系数是 ． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于，的多项式是七次三项式，且五次项的系数是最大的负整数，求代数式的值． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）把多项式按照字母降幂排列： ． 3．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【经典例题九 整式的判断】 【例9】（23-24六年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（20-21七年级上·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【经典例题十 数字类规律探索】 【例10】（2024九年级下·云南·专题练习）观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例11】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 1．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2024·山西长治·模拟预测）年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 1．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）已知，，，，若，则（    ）． A．19 B．21 C．99 D．109 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把  数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列的形状把整数进行分类， 例如：1，3，6，10…这些数叫三角形数(如下图)．照这样的排列规律，第10个三 角 形 数 是 （　　）． A．28 B．45 C．55 D．66 3．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法：①若非零数a、b互为相反数，则②的系数是；③多项式是四次三项式；④若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．多项式的常数项是 C．多项式的次数是2 D．单项式的系数为2 5．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下面的一列单项式： x，， ，，……，根据你发现的规律，第7个单项式为 ． 7．（22-23七年级上·四川内江·期中）观察下列算式，你发现了什么规律？ （1）根据你发现的规律，计算下面算式的值： （2）请用一个含n的算式表示这个规律： ； 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 9．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 10．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求的值． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知多项式是五次四项式，求的值并将这个多项式按的降幂排列． 13．（23-24七年级上·广东深圳·期中）请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： ， (1)把写成分子都是1的两个分数的差的形式； (2)根据你发现的规律计算：． 14．（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 15．（22-23七年级上·四川内江·期中）观察下列各等式，并回答问题： ；；；；… (1)填空：______（n是正整数） (2)计算：______． (3)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 知识点一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（23-24七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（    ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，单项式的判断．根据具体情境，正确的列出代数式，根据单项式的定义：“数字与字母的积的形式”，进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，列出代数式为：，是多项式，不符合题意； B、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； C、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； D、由题意，列出代数式为：，是单项式，符合题意； 故选D． 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，分别分析各代数式，即可求得答案．此题考查了单项式的定义．注意准确理解定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，，中，是多项式；故错误； B、，，全是单项式，故正确； C、，，中，是分式，故错误； D、，，中，是多项式，故错误． 故选：B． 2．（21-22七年级上·湖北黄冈·阶段练习）在整式，，，，中，单项式有 ． 【答案】， 【分析】根据单项式的定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，是单项式， 故答案为：，； 【点睛】本题考查单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)是单项式，次数分别为2 (2)是单项式，次数分别为3 (3)是单项式，次数分别为3 (4)是多项式，次数分别为1 (5)是多项式，次数分别为2 (6)是多项式，次数分别为5 【分析】根据单项式是数与字母的乘积，几个单项式的和是多项式，单项式的次数是字母的指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】（1）7y2是单项式，次数是2； （2）4xy2是单项式，次数是3； （3）35abc是单项式，次数是3； （4）3x+5y是多项式，次数是1； （5）1+s2+st是多项式，次数是2； （6）是多项式，次数是5． 【点睛】本题考查了多项式、单项式和次数的定义，属于基础题，熟练掌握多项式与单项式的定义是解决本题的关键． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数、次数，解题的关键是掌握：数字与字母的积是单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和是单项式的次数．据此求出、的值即可． 【详解】解：∵单项式的系数为，次数为， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：B． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0 C．是二次三项式 D．单项式的系数是，次数为7 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，以及多项式的定义，熟练掌握单项式的系数和次数是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3，故选项A错误； 单项式a的系数是，次数是，故选项B错误； 是二次三项式，故选项C正确； 单项式的系数是，次数为，故选项D错误． 故选C． 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 9 【分析】根据单项式次数，系数的定义即可解决问题． 【详解】解：单项式的系数是，次数是9， 故答案为：，9． 【点睛】本题考查了单项式的概念，解题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数n+2 【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 第n个单项式是，系数是，字母部分是，次数n+2． 【点睛】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，理解密码的规则是解题关键．根据题意依次写出每个字母的替换字母即可． 【详解】解：由题意得：破译为， 故选：A． 1．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式 ． 【答案】(答案不唯一） 【分析】根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：符合题意的单项式为（答案不唯一，只要符合要求即可）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的相关定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】(1)①、、、、；②、 (2)分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 【详解】（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 【经典例题四 单项式规律题】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3开始算起的奇数，即3，5，7，9，…… 单项式中a的指数是从0开始算起的偶数，即0，2，4，6，…… b的指数不变， ∴第个单项式是： ∴第8个单项式是： 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式规律问题的求解能力，关键是根据所给代数式准确归纳出该组代数式的规律． 根据各式符号、式子的规律求解此题即可． 【详解】根据、、、、，得第各式子是，所以第21 个式子是． 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，结合题意确定单项式变化规律是解题关键．由题意可知，奇数个数的系数为负，偶数个数的系数为正，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，，…， 则第个单项式是． 故答案为：． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 【经典例题五 多项式的判断】 【例5】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 【答案】C 【分析】本题考查了单项式以及多项式的判断、单项式以及多项式的项和次数，根据概念逐项判断即可得到结果，熟练运用概念是解题的关键． 【详解】解：A、中不是整式，故不是多项式，故该选项错误； B、都不是整式，故不是单项式，故该选项错误； C、，故是一次多项式，项数为2，故该选项正确； D、单项式的次数是4，故该选项错误； 故选：C． 1．（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式、多项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．正确掌握相关定义是解题关键．直接利用多项式、单项式的相关定义判断得出答案． 【详解】解：A．是二次三项式，正确，故此选项不合题意； B．是多项式，不是单项式，正确，故此选项不符合题意； C．的系数是，正确，故此选项不合题意； D．，次数是4，不是6，错误，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】本题考查了单项式，整式，二项式的定义．根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】解：（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤ 3．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例6】（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数，根据相关概念对选项做出判断，即可解题． 【详解】解：A、单项式系数是1，次数是8，所以A错误，不符合题意． B、多项式是二次三项式，所以B错误，不符合题意． C、单项式的系数是次数是5，所以C错误，不符合题意． D、是三次二项式，所以D正确，符合题意． 故选：D． 1．（2024七年级上·上海·专题练习）在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 根据多项式的相关概念即可解答． 【详解】解：在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为和， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）代数式有 项，其中的系数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了多项式的项数，单项式的系数，根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，单项式中的数字因数叫做单项式的系数即可求解． 【详解】解：代数式里面有4项，的系数是， 故答案为：4，． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于，的多项式是七次三项式，且五次项的系数是最大的负整数，求代数式的值． 【答案】5 【分析】此题主要考查了多项式，组成多项式中的每个单项式叫多项式的项，单项式次数最高的次数是多项式的次数．理解多项式的次数和项数是解决问题的关键． 根据关于x、y的多项式是七次三项式，且五次项的系数是最大的负整数，得，，求解出a、b值，代入计算即可． 【详解】解：因为关于，的多项式是七次三项式，且五次项的系数是最大的负整数， 所以，， 解得：， 所以． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，熟知多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数是解题的关键，根据多项式次数的定义得到，由此可得答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的五次多项式， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值； 根据多项式的概念求出，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)13 【分析】本题考查了多项式的相关概念，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值． （1）是关于x、y的三次二项式，可得出m的值； （2）根据相反数的定义可知，倒数的定义可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴，， ∴； （2）解：∵a、b互为相反数，，c、d互为倒数， ∴，， ∴． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）把多项式按照字母降幂排列： ． 【答案】 【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序排列． 【详解】解：按照字母降幂排列为：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【详解】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 【经典例题九 整式的判断】 【例9】（23-24六年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式次数和系数的定义，多项式的项和次数的定义，有理数的概念等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①是负数、分数、整式，原说法正确； ②a不一定比大，例如当时，，原说法错误； ③的系数是，次数是2，原说法错误； ④是三次三项式，原说法正确； ⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示，原说法正确； ∴说法正确的有3个， 故选：C． 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 2．（20-21七年级上·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：在式子，0，，，中，整式有：，0，，，共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，，，； 整式有：，，，，，，，． 故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨； 【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 【经典例题十 数字类规律探索】 【例10】（2024九年级下·云南·专题练习）观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了探索规律问题，由特殊到一般是本题的关键． 根据前四个式子的规律从而总结出一般规律，即，即可得出第个式子，选出正确答案． 【详解】解：根据题意，第一个式子为：； 第二个式子为：； 第三个式子为：； 第四个式子为：； 可得当第个式子为：， ∴第个式子为：， 故选C． 1．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 令，可得，两式相减，即可求解． 【详解】解：令 ． 故选：C 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【答案】(1) (2) (3)6，过程见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合运算，正确得到规律是解题的关键. （1）根据所给式子对照可得答案； （2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果 ； （3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算． 【详解】（1）解： （2） （3） ， ， ， 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例11】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律． 根据所给图形总结规律即可． 【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴第个图案中基础图形的个数为：， ∴第100个图案中的个数为， 故选：D． 1．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：∵两个圆的半径都为， ∴两个圆的周长都是， ∴同一圆上相邻两个点之间的距离为， 又∵每爬行8个为一循环， ∴爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为E点， 故选：C． 2．（2024·山西长治·模拟预测）年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是图形规律探究，解题关键是根据规律列代数式． 观察图形，四角各一株，每边按，，，增加，总增加每边增加株数，总株数为，然后代入求值即可． 【详解】解：由图可得，当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， …… 第个图芍药的数量为株， 当时，芍药的数量株 ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)10，13，16 (2) (3)6070 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数 （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下； 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2023个图形需要的火柴棒根数为6070根． 1．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）已知，，，，若，则（    ）． A．19 B．21 C．99 D．109 【答案】D 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，观察出整数与分数的分子分母的关系是解题的关键． 观察不难发现，一个整数加上以这个整数为分子，整数的平方减1作为分母的分数，等于这个整数的平方乘以这个分数，然后求出a、b，再相加即可得解． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个： ∵ 所以， 所以 故答案为：D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把  数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列的形状把整数进行分类， 例如：1，3，6，10…这些数叫三角形数(如下图)．照这样的排列规律，第10个三 角 形 数 是 （　　）． A．28 B．45 C．55 D．66 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 每层分别按1、2、3、4、5……排列，然后求和即可． 【详解】解： ． 答：第10个三角形数是55． 故选：C． 3．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法：①若非零数a、b互为相反数，则②的系数是；③多项式是四次三项式；④若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式、相反数、多项式、绝对值，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：①若非零数a、b互为相反数，则，说法正确； ②的系数是，原说法错误； ③多项式是三次三项式，原说法错误； ④若，则，说法正确； 故选B． 4．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．多项式的常数项是 C．多项式的次数是2 D．单项式的系数为2 【答案】B 【分析】本题考查了单项式以及多项式的相关定义，熟记相关定义是解本题的关键．单项式中的数字因数即为单项式的系数；单项式中所有字母的指数和即为单项式的次数；多项式中每个单项式即为多项式的项，多项式中次数最高的单项式的次数即为多项式的次数．据此解答即可． 【详解】解：A. 多项式是三次三项式，故本选项说法错误，不符合题意； B. 多项式的常数项是，本选项说法正确，符合题意； C. 多项式的次数是3，故本选项说法错误，不符合题意； D. 单项式的系数为，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，分别写出前11个数字发现规律：1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现，由此可求出第2024个数字 【详解】解：，，且， ∴， 同理，可得：， 所以，1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现， 又 ∴， 故选：D 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下面的一列单项式： x，， ，，……，根据你发现的规律，第7个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 根据已知的式子可以得到系数的绝对值为，奇数个为正，偶数个为负，x的指数是式子的序号n． 【详解】解：第一个单项式：， 第二个单项式：， 第三个单项式：， 第四个单项式：， … 第n个单项式：n为奇数时，n为偶数时． ∴第7个单项式：， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·四川内江·期中）观察下列算式，你发现了什么规律？ （1）根据你发现的规律，计算下面算式的值： （2）请用一个含n的算式表示这个规律： ； 【答案】 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，整式的混合运算，根据材料提示，找出计算规律即可求解， （1）根据材料提示，找出规律计算即可； （2）由材料、（1）中的规律，整式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示可得，； （2）根据材料提示可得， 故答案为： ①；②． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 10．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．根据多项式的次数和系数的定义求出m，n的值，代入代数式计算即可． 【详解】解∶ ∵多项式是一个四次三项式，n是最高次项的系数， ∴，， ∴， ∴． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知多项式是五次四项式，求的值并将这个多项式按的降幂排列． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．利用多项式是五次四项式即可求出m的值，然后根据降幂排列的定义求解． 【详解】解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴． 按x的降幂排列为． 13．（23-24七年级上·广东深圳·期中）请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： ， (1)把写成分子都是1的两个分数的差的形式； (2)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律即可解决问题． （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个式子； （2）按照规律即可进行计算． 【详解】（1）因为， 所以； （2）原式 14．（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)第个图形 【分析】本题考查图形规律变化，解题的关键是根据图形的变化，找到黑色正方形，白色正方形的变化规律，进行解答，即可． （1）根据上述图形，第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个；第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有；第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个，依次可知，黑色小正方形的个数依次为：，，，，；白色小正方形的个数依次为：，，，，，即可； （2）由上述图形，推出黑色小正方形和白色小正方形规律，即可； （3）由（2）可知，黑色小正方形的个数规律为：；白色小正方形的个数规律为：；则白色正方形比黑色正方形多，则，解出，即可 【详解】（1）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个， ∴黑色正方形的个数依次为：，，，，；白色正方形的个数依次为：，，，，． ∴ 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … 故答案为：，，；，，，，． （2）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个； ∴第个图形中，黑色小正方形有个；白色小正方形有个． 故答案为：；． （3）设第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个， ∴， 解得：， 答：第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个． 15．（22-23七年级上·四川内江·期中）观察下列各等式，并回答问题： ；；；；… (1)填空：______（n是正整数） (2)计算：______． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，数字规律， （1）根据材料提示，找出运算规律即可求解； （2）根据材料提示，运用数字规律进行计算即可； （3）运用进行拆分，再根据有理数的加减运算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由（1）中的规律可得， ； （3）解：根据题意可得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$