第三单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

小数除法 板块一：考点精讲 1．除数是小数的除法 【知识点归纳】 小数除以小数 ①除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 ②如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 ③按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 ④验算用乘法计算原来的算式。 【方法总结】 除数是小数的除法计算核心：把除数是小数的转化为整数，依据“商不变性质”被除数同时随着转化。 具体计算方法： 1、先移动除数的小数点，使它变成整数。 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、按除数是整数的小数除法进行计算。 温馨提醒： 小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 2．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 3．小数四则混合运算 【知识点归纳】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 【方法总结】 1、小数乘法的计算方法： （1）算：先按整数乘法的法则计算； （2）看：看两个乘数中一共有几位小数； （3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； （4）点：点上小数点； （5）去：去掉小数末尾的“0”。 2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： （1）按整数除法的法则计算； （2）商的小数点要和被除数的小数点对齐 （3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 除数是小数的计算方法： （1）看：看清除数有几位小数 （2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 （3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐） 4．小数乘法的近似数 【知识点归纳】 求小数的近似数的方法 1，求一个小数的近似数，可以用（ 四舍五入 ）的方法； 2，保留整数时，要观察（ 小数部分第一位 ），再四舍五入； 3，保留一位小数时，要观察（小数部分第二位 ），再四舍五入； 4，保留两位小数时，要观察（ 小数部分第三位 ），再四舍五入。 注意说法： 求近似数时，保留整数，表示精确到个位，保留一位小数就是精确到十分位上，要看百分位上的数是否满5，满5进1，不满5舍去；保留两位小数，表示精确到百分位。 要注意根据题目的要求求近似数，在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。 【方法总结】 一、整数中求一个数的近似数，我们用的是“四舍五入”法。求小数的近似数的方法也是“四舍五入”法。 二、用“四舍五入”法取积的近似数的方法： 1．算出准确的积； 2．看要保留的小数位数； 3．循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。 5．小数除法的近似数 【知识点归纳】 取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 【方法总结】 求商的近似值和求积的近似值的异同点： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 板块二：高频考点 一、选择题 1．下面三个数中，（    ）是循环小数。 A．5.292929 B．0.13333 C．2.175175… 2．除数小于1，商（　　） A．大于或等于被除数 B．小于被除数 C．等于被除数 3．3.2727…是（        ）小数。 A．有限 B．循环 C．不循环 4．10减去0.1，连续减（    ）次，结果为0。 A．10 B．100 C．1000 5．算式53÷3.3的商可以用循环小数（    ）表示。 A．16.060606 B．16.06… C． 6．下面各式中，商最大的是（    ）。 A．2.8÷0.1 B．2.8÷0.01 C．2.8÷0.001 7．一个数的3倍是9.6，求这个数是多少，列式为（    ）。 A．9.6×3 B．9.6÷3 C．3÷9.6 8．下面各题中与5.12÷3.2得数相等的是（    ）。 A． B． C． 二、填空题 9．在( )上里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.08÷1.6( )20.8÷16            3.78( )3.78÷0.25            8.2÷0.2( )8.2×0.2 10．根据规律填空。 1122÷34＝33 111222÷334＝333 11112222÷3334＝3333 1111122222÷33334＝( ) 11．把一个数的小数点向右移动一位，得到了一个新数，与原数相差3.6，原来的数是( )。 12．4个0.25是( )，( )个0.09是27.9。 13．两个数的商是4.5，如果被除数、除数同时扩大20倍，商是( ) 。 14．乐乐骑自行车行驶1.5km用了7.5分钟，他行驶1km要( )分钟。 15．在括号里填上适当的数。 2.4小时＝( )小时( )分   550平方分米＝( )平方米 16．把一个小数的小数点向右移动一位后，比原数多了3.87，原数是( )。 三、判断题 17．8.858858858…的循环节是885。( ) 18．求商的近似值时，如果要求保留两位小数，就要除到千分位。( ) 19．将转化成除数是整数的除法，应该把除数和被除数都扩大到原来的10倍。( ) 20．一个循环小数中，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。( ) 21．如果除数大于1，那么商比被除数（0除外）小。( ) 22．一个数除以0.52的商一定比原数大。( ) 四、计算题 23．直接写出得数。 1.530.5＝               7.8＋0.9＝            12÷0.4＝ 102＝                     23＝                 4×0.25＝ 2.9＋3.7＋2.1＝           1.25×5×8＝           7.6×8＋2.4×8＝ 24．按要求列竖式计算。 5.35×6.3（得数保留两位小数）         3.02×1.8          3.82÷2.7（商用循环小数表示） 25．计算下面各题。（能简算的要简算） （1）22.96÷0.8－8.5                           （2）0.7×8×1.25×0.9 （3）（2.31＋1.8）÷（0.15×6）                  （4）5.4×（2.8÷2.24） （5）22.1×8.5＋8.5×7.9                        （6）7.02－0.56÷0.4 五、解答题 26．一块长方形的菜地，面积是48.4平方米。它的长是5.5米，宽是多少米？ 27．一辆货车从甲地运货到乙地，每小时行60千米，1.2小时到达，原路返回时用了0.9小时，这辆货车返回时的速度是多少？ 28．小华在计算3.69除以一个数时，由于商的小数点向右多点了一位，结果是 24.6，这道题的除数是多少？ 29．一家服装厂9月份接到一个制作6000套衣服的订单，计划每套用布1.4米，由于改进了工艺，实际每套节约0.2米布。原来的用布量现在可以多做几套衣服？ 30．5台拖拉机0.6小时耕地1.35公顷，平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷？ 31．一桶油的净含量是18.9升，要把它分装在净含量是2.5升的小瓶里，需要准备多少个小瓶？ 32．为减少对环境的污染，罗叔叔选择骑“共享单车”上班，他从家到公司，骑行了10.5千米，单车的平均速度是0.25千米/分钟。根据图中的收费标准，他需要支付多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B C C B C 1．C 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的，可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的，不可数的； 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，据此解答。 【详解】A．5.292929，是有限小数； B．0.13333，是有限小数； C．2.175175…，是循环小数。 2.175175…是循环小数。 故答案为：C 2．A 【详解】试题分析：除法算式中，除数小于1，商就大于或等于被除数（被除数为0时等于商），据此解答． 解：一个数除以一个小于1的数，商就大于被除数， 故选A． 点评：此题主要考查根据除数判断商与被除数的大小的知识． 3．B 【分析】一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数，据此判断。 【详解】3.2727…小数部分中的数字“27”重复出现，所以3.2727…是循环小数。 故答案为：B 4．B 【解析】“从10里连续减去0.1，连续减几次结果为0”，就是看10里面有多少个0.1，用除法计算。 【详解】10÷0.1=100。 故答案为：B。 【点睛】解决此题关键是理解包含除法的意义和小数除法的计算法则。 5．C 【分析】根据小数除法的计算法则计算；从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数；循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。据此计算。 【详解】53÷3.3＝ 故答案为：C。 【点睛】此题考查的是小数除法的计算以及循环小数的表示方法。 6．C 【分析】分别计算出每个选项中算式的结果，再进行比较即可。 【详解】A．2.8÷0.1＝28；      B．2.8÷0.01＝280；      C．2.8÷0.001＝2800； 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握小数除法的计算方法是解答本题的关键。 7．B 【分析】一个数的3倍是9.6，也就是这个数乘3得到9.6，那么9.6除以3得到这个数。 【详解】一个数的3倍是9.6，求这个数，列式为，故答案选B。 【点睛】小数乘除法的列数计算与整数乘除法类似，应用整数列式计算的方法求解即可。 8．C 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，根据商不变的性质，逐项判断。据此解答。 【详解】与5.12÷3.2相比较。 A．被除数乘10，除数除以10，得到，商发生变化； B．被除数乘100，除数乘10，得到，商发生变化； C．被除数除以10，除数除以10，得到，商没有发生变化。 故答案为：C 【点睛】掌握商不变的性质是解答此题的关键。 9． ＝ ＜ ＞ 【分析】被除数和除数，同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；乘小于1的数，积比原数小，据此分析。 【详解】2.08÷1.6＝20.8÷16       0.25＜1，3.78＜3.78÷0.25       0.2＜1，8.2÷0.2＞8.2×0.2 【点睛】关键是掌握小数乘除法的计算方法，掌握商的变化规律。 10．33333 【分析】观察式子发现，除数是两位数时，商是33，除数是三位数时，商是333。所以当除数是33334时，商是33333。 【详解】1111122222÷33334＝33333。 【点睛】本题考查了找规律，能从算式中找出商的变化规律是解题的关键。 11．0.4 【分析】一个数的小数点向右移动一位，相当于扩大到原数的10倍，说明新数是原数的10倍，则把原数看作1份，新数是10份，比原数多9份，这9份是3.6，据此求出原数即可。 【详解】3.6÷（10－1） ＝3.6÷9 ＝0.4 【点睛】本题考查小数除法，解答本题的关键是掌握小数除法的计算方法。 12． 1 310 【分析】求几个几是多少用乘法；求几个0.09是27.9用除法。 小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】4×0.25＝1                 27.9÷0.09＝310 4个0.25是1，310个0.09是27.9。 【点睛】关键是掌握小数乘除法的计算方法。 13．4.5 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或同时除以相同的数（0除外），商不变；由此解答即可。 【详解】因为两个数的商是4.5，如果被除数、除数同时扩大20倍； 所以商仍然是4.5。 故答案为：4.5 14．5 【分析】由题意可知，乐乐骑自行车行驶1.5km用了7.5分钟，求他行驶1km需要多少时间，用7.5÷1.5即可解答。 【详解】7.5÷1.5＝5（分钟） 则他行驶1km要5分钟。 【点睛】本题考查小数除法，明确小数除法的计算方法是解题的关键。 15． 2 24 5.5 【分析】根据进率：1小时＝60分，1平方米＝100平方分米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）2.4小时＝2小时＋0.4小时 0.4×60＝24（分） 2.4小时＝2小时24分 （2）550÷100＝5.5（平方米） 550平方分米＝5.5平方米 【点睛】掌握各单位之间的进率以及转换方向是单位换算的关键。 16．0.43 【分析】把一个小数的小数点向右移动一位即所得的数是原来的10倍，由题意知比原来多3.87，也就是原数的9倍是3.87，则原数为3.87÷（10－1）。 【详解】3.87÷（10－1） ＝3.87÷9 ＝0.43 则原数是0.43。 17．× 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数称为循环小数。 【详解】8.858858858…的循环节是858。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查了循环小数的特点。 18．√ 【详解】根据求小数的近似数的方法：保留2位小数，就得除到第3位，那就是千分位，然后进行四舍五入即可。 故答案为：√ 19．× 【分析】除数是2.36，根据除数是小数的小数除法的计算法则，应将其转化成整数236，那么除数和被除数应同时扩大到原来的100倍。 【详解】将转化成除数是整数的除法，应该把除数和被除数都扩大到原来的100倍。 故答案为：× 【点睛】本题考查了小数除法，掌握除数是小数的小数除法的计算法则是解题的关键。 20．× 【分析】循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断的重复出现的一个或几个数字。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 一个循环小数中，从小数部分开始依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。题干中并没有说从小数部分开始，所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查循环小数，明确循环节的定义是解题的关键。 21．√ 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。 【详解】如果除数大于1，那么商比被除数（0除外）小。此说法正确，例如： 2÷2＝1 2÷0.2＝10 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法。 22．× 【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大，举例说明即可。 【详解】0÷0.52＝0，商和原数一样大，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法，注意被除数是0的特殊情况。 23．1.03；8.7；30； 100；8；1； 8.7；50；80 24．33.71；5.436； 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，得数保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数； 小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算，再根据循环小数的表示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可。 【详解】5.35×6.3≈33.71                3.02×1.8＝5.436             3.82÷2.7＝               25．（1）20.2；（2）6.3 （3）；（4）6.75 （5）255；（6）5.62 【分析】（1）22.96÷0.8－8.5，先算除法，再算减法； （2）0.7×8×1.25×0.9，利用乘法交换结合律进行简算； （3）（2.31＋1.8）÷（0.15×6），同时算出两边括号里的，再算除法； （4）5.4×（2.8÷2.24），先算除法，再算乘法； （5）22.1×8.5＋8.5×7.9，利用乘法分配律进行简算； （6）7.02－0.56÷0.4，先算除法，再算减法。 【详解】（1）22.96÷0.8－8.5 ＝28.7－8.5 ＝20.2 （2）0.7×8×1.25×0.9 ＝（0.7×0.9）×（8×1.25） ＝0.63×10 ＝6.3 （3）（2.31＋1.8）÷（0.15×6） ＝4.11÷0.9 ＝ （4）5.4×（2.8÷2.24） ＝5.4×1.25 ＝6.75 （5）22.1×8.5＋8.5×7.9 ＝（22.1＋7.9）×8.5 ＝30×8.5 ＝255 （6）7.02－0.56÷0.4 ＝7.02－1.4 ＝5.62 26．8.8米 【分析】根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，已知长方形的面积和长，宽＝面积÷长，代入即可得解。 【详解】48.4÷5.5＝8.8（米） 答：宽是8.8米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方形的面积公式求解。 27．80千米/时 【分析】已知一辆货车每小时行60千米，从甲地到乙地需1.2小时，根据“路程＝速度×时间”，求出甲地到乙地的距离； 又已知这辆货车原路返回时用了0.9小时，根据“速度＝路程÷时间”，求出这辆货车返回时的速度。 【详解】60×1.2＝72（千米） 72÷0.9＝80（千米/时） 答：这辆货车返回时的速度是80千米/时。 28．1.5 【分析】本题考查小数除法的计算方法． 除数是小数除法的计算方法：先看除数中有几位小数，然后将除数的小数点向右移动几位，将小数化成整数，然后再把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除．本题要先利用3.69÷24.6计算出除数是多少，再找到正确除数是多少． 【详解】3.69÷24.6=0.15，故这道题的除数是1.5． 答：这道题的除数是1.5． 29．1000套 【分析】根据题意，计划每套用布1.4米，可制作6000套衣服，用乘法求出布的总长度；又已知实际每套节约0.2米布，则实际每套用布（1.4－0.2）米；然后用布的总长度除以实际每套用布的长度，求出现在可以做衣服的套数，再减去计划做衣服的套数即可。 【详解】布的总长度：1.4×6000＝8400（米） 现在可做衣服： 8400÷（1.4－0.2） ＝8400÷1.2 ＝7000（套） 多做：7000－6000＝1000（套） 答：原来的用布量现在可以多做1000套衣服。 【点睛】本题考查小数乘除法的应用，求出布的总长度和现在可做衣服的套数是解题的关键。 30．0.45公顷 【分析】平均每台拖拉机每小时耕地的公顷数＝耕地总面积÷耕地时间÷拖拉机的台数，据此解答。 【详解】1.35÷5÷0.6 ＝0.27÷0.6 ＝0.45（公顷） 答：平均每台拖拉机每小时耕地0.45公顷。 【点睛】掌握小数除法的计算方法是解答题目的关键。 31．8个 【详解】试题分析：用这桶油的总量除以每个小瓶的容量就是需要的小瓶数量． 解：18.9÷2.5=7.56≈8（个）； 答：需要准备8个小瓶． 点评：本题考查了的除法的包含意义；求一个数里面有几个几，用除法求解；注意结果要用进一法保留整数． 32．2元 【分析】根据时间＝路程÷速度，用10.5÷0.25即可求出骑车的总时间，即42分钟，已知自行车30分钟内收费1.5元，超出30分钟的部分每30分钟0.5元，不满30分钟按30分钟计算，已知超出（42－30）分钟，不满30分钟，所以超出部分收费0.5元，再加上1.5元即可求出需要支付的总价钱。 【详解】10.5÷0.25＝42（分钟） 42－30＝12（分钟） 12＜30 超出30分钟的部分每30分钟0.5元，不满30分钟按30分钟计算， 0.5＋1.5＝2（元） 答：他需要支付2元。 【点睛】本题主要考查了分段收费问题，明确每段时间收费标准是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$