函数与导数-江苏省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江苏省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·三模）已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（    ） A． B．0 C． D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·三模）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 8．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏盐城·一模）已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·江苏南京·二模）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 12．（2024·江苏苏州·三模）已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（    ） A． B． C．在上的最小值为 D．存在，使得是奇函数 13．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（    ） A． B． C．的最大值为 D．方程无实数解 三、填空题 16．（2024·江苏苏州·模拟预测）若且关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ． 17．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 18．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，函数是奇函数，则 ． 19．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 20．（2024·江苏南通·二模）已知，当时， . 四、解答题 21．（2024·江苏镇江·三模）设函数(). (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 22．（2024·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程. (2)证明：. 24．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 25．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 26．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； (2)若函数恒成立，求的取值范围． 参考答案： 1．A 【分析】由已知直接得，由复合函数求导法则可得，进一步有，由此即可得解. 【详解】若关于对称，则的图象关于轴对称， 所以，两边求导得， 因为是偶函数，所以，令，就有， 即有， 所以， 所以. 故选：A. 2．C 【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 3．A 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象：    因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是. 故选：A. 4．C 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C 5．B 【分析】运用幂函数奇偶性和单调性可解 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 6．A 【分析】利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【详解】依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 7．D 【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可. 【详解】例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 综上所述：的取值正、负、零都可能. 故选：D. 8．A 【分析】先计算出，根据为上的奇函数，得到. 【详解】， 因为为上的奇函数，所以. 故选：A 9．B 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 10．C 【分析】求出函数的零点的取值范围，分别求出函数的零点，判断不等式是否成立即可. 【详解】解：函数定义域为， 函数在上单调递增， 而 ，因此， 对于A，由，得， 解得或或， 显然或，故A错误； 对于B，由，得， 则，， 解得，， 取，，此时存在零点，使，故B错误； 对于C，的定义域为， ， 令，由指数函数和幂函数的单调性可知： 在上为增函数， 因为，所以， 且，， 所以使得. 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ， 所以存在零点， 所以不满足，故C正确. 对于D，由，得， 则解得， ， 即，，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是利用导数结合隐零点法得到使得，再利用零点存在性定理即可判断. 11．BCD 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令即可判断；对于C，令，得，进一步结合奇函数的定义即可求解；对于D，首先说明4是的周期，故只需求出的值即可验算. 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 12．BCD 【分析】由展开得到对应系数相等，即可判断A、B，求出函数的导函数，说明的单调性，即可判断C，求出的对称中心，即可判断D. 【详解】由题意可得 ， 所以即为系数的相反数，即，故A错误； 即为常数项，即，故B正确； 因为，所以， 则在上单调递增，又，则在恒成立， 所以在单调递减，所以，故C正确； 因为， 则， 所以，所以的对称中心为，所以关于对称， 即为奇函数，则， 所以存在，使得为奇函数，故D正确． 故选：BCD． 13．ABD 【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出：是上的奇函数，周期为，是上的偶函数，周期为；再逐项分析即可解答. 【详解】因为是上的奇函数， 所以， 则，即是上的偶函数. 令，由得：，① 令取，得， 结合是上的奇函数，是上的偶函数，得，② 结合，由①②可得：，即. 所以， 又因为是上的奇函数， 所以， 则， 所以函数，是周期为的函数. 对于选项A：因为，， 所以令，得， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为是上的奇函数，周期为， 所以，故选项B正确； 对于选项C：因为， 所以，故选项C错误； 对于选项D：因为是上的偶函数，周期为， 所以. 令，，由得：，解得：， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 14．ABD 【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项. 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明. 15．ACD 【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD. 【详解】对于A：由，可得，将代入原方程， 可得，故A正确； 对于B：若，可得，将代入原方程， 得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误； 对于C：令， 则，令，可得， 当时，，所以单调递增，即， 当时，，所以单调递减，即， 所以当时，， 在区间上的值域为，故C正确； 对于D：由上可知在区间上的值域为， 所以无实数解，故D正确. 故选：ACD. 16． 【分析】首先构造函数，由得在单调递增，将题目中不等式转化为，由单调性得出，再构造，根据导数求解参数范围即可． 【详解】由， 所以， 设，由得在单调递增， 所以， 设， 则，显然单调递增，令，得， ①当，即时， 在时，，则在单调递减， 在时，，则在单调递增， 所以， 因为当时，，不合题意； ②当，即时，则当时，，在单调递增， 所以，令得，， 则当时，， 当时，，不合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题关键在于构造，将转化为，简化运算进而求解． 17． 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 18．0 【分析】根据奇函数得和，代入求得，，再代入解析式检验即可. 【详解】因为函数定义域为且是奇函数，所以，所以， 所以，由知， 即，又因为，所以， 把代入，满足题意， 所以. 故答案为： 19． 【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解. 【详解】①当时，，由于时，时， 此时只有一个零点，所以不符合题意； ②当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于时，，时，，当且仅当，即时取等号， 此时在上有，要使有两个零点，只需，即； ③当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点， 要使有两个零点，只需函数有一个零点即可， 当时，恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 20．1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知，， 由，得， 所以. 故答案为：1 21．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）只需分别求出即可； （2）求导得，根据是否大于0对进行分类讨论即可求解； （3）分离参变量转换为恒成立问题，构造函数，只需求得的最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为. （2）因为，则，    若，即时， 恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时，. + 0 ─ 0 + ↗ ↘ ↗ 则在和上为增函数；在上为递减函数. （3）因为时，，即， 当时，上式成立， 也即当时，恒成立，记， 则. 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则单调减，为增函数， ，则，所以的取值范围为. 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 23．(1) (2)证明见解答 【分析】（1）求导可得，又，可求切线方程； （2）求导得，令，再求导，进而判断在上单调递增，可得在上单调递增，，可得结论. 【详解】（1）由，可得， ，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由，可得， 令，可得， 当时，，所以在上单调递增， 又，即， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 当时，， 综上所述：. 24．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的公式及运算法则求出在时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程即可. （2）要证明的不等式含参时，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明. 【详解】（1）当时，，， 则，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，有，所以， 因为， 所以. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 故. 25．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可； （2）由，得，要证明，只需证明，两边同时取对数整理得，构造函数，利用导数的性质证明即可. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 （2）当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 26．(1) (2) 【分析】（1）先求出，由建立等式求出，代入计算即可； （2）先求出，令，设，使得，即，根据导函数求出，根据不等式恒成立建立不等式得，计算即可. 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 由曲线在处的切线的方程为，得， 所以， 设，， 所以函数是上的递增函数，又， 所以方程有唯一解， 所以，， 所以切点坐标为，代入直线方程得． （2），定义域为， ， 设，所以， 所以在上递减，又，， 所以当时，，即，函数递增， 当时，，即，函数递减， 所以函数的最大值 ， 又， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 设，则，所以递增， 所以，即恒成立， 因为在上递减，且， 所以只需恒成立，即， 又，所以． 【点睛】关键点点睛：本题第一问求解的关键在于根据导数的几何意义建立等式求出，在解的过程中要注意说明解得唯一性；第二问求解关键在于分母恒大于零，在探究导函数单调性时只需对导函数分子求导，根据导数求出，再根据不等式恒成立建立不等式得，最后计算可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$