精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

2024年深圳市罗湖区翠园东晓中学初中学业水平测试 数学学科试卷 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1－8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9－20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别按照同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式进行计算化简即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 每月阅读课外书本数的众数是58本 B. 每月阅读课外书本数的中位数是45本 C. 从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降 D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是45 【答案】A 【解析】 【分析】从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键． 【详解】解：A、因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故正确，本选项符合题意； B、每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，不正确，本选项不符合题意； C、从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，不正确，本选项不符合题意； D、从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，不正确，本选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等边三角形的性质，得出，再根据题意，得出∠EDB＝∠EDC＝90°，再利用SAS，得出，再利用全等三角形的性质，得出∠EBC＝∠ECB＝45°，再根据角的关系计算，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵三角形是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 6. 在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图痕迹，依次判断，即可求解， 本题考查了，尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握尺规作图． 【详解】解：根据作图痕迹可知在上截取，可得是等腰三角形， 作的中点，，不是是等腰三角形， 作的角平分线，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述，正确， 故选：B． 7. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，依题意得到，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 依题意得，， 故选：A． 8. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可． 【详解】解：如图，取的中点F，连结， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，． 由勾股定理，得． ∵BE平分，， ∴， ∴， ∴．根据等腰三角形“三线合一”，得． ∵， ∴ ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的中点F， ∴， ∴． 故选D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 10. 如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 12. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为__________． 【答案】x≤1 【解析】 【分析】将点P（m，3）代入y=x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解； 【详解】解：点P（m，3）代入y=x+2， ∴m=1， ∴P（1，3）， 结合图象可知x+2≤ax+c的解集为x≤1， 故答案为：x≤1． 【点睛】本题考查一次函数的交点坐标与一元一次不等式的关系；运用数形结合思想把一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键． 13. 如图，在中，，，点P为直线上一个动点，以为对称轴折叠．得到，点C的对应点为点Q，当以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，的长为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题以翻折为背景考查平行四边形性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程方程，过点C作的垂线构造直角三角形是解题的关键，熟悉相关性质是解题的基础． 过点C作，注意分点Q在上方和下方两种情况进行讨论，构造，，利用翻折的特点和平行四边形的性质寻找和的关系，然后在求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点D， ①当点Q在上方时，如图所示， 是由折叠得到的， 四边形是平行四边形， ， 设， 则， 在中， ， ， 在中， ， 解得：或，（舍去）， ②当点Q在下方时，如图所示， 是由折叠得到的， ， 四边形是平行四边形， ， , , 由①可知：, 设， 在中， 即： 解得：负值舍去 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8 分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算．利用零指数幂，有理数的乘方法则，立方根的定义，有理数的乘法计算即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果，最后将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 当今社会提倡全民健康与体育运动，提高公民身体素质．某校为了解九年级共480名同学身体素质情况，对他们进行了体能测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生体能测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生体能测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 47.3 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，求a和b的值． （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加体能测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人． （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生体能测试的整体成绩较好？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1）， （2）304人 （3）甲班成绩较好，理由见解答过程 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可； （3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）． 【小问1详解】 解：甲班15名学生体能测试成绩中100分的出现了2次且次数最多，因此众数， 乙班有15名学生，因此中位数是第8名学生的成绩，从表格中得到第8名的成绩落在这一档，且是第2个数据为91，因此中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人， 答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人； 【小问3详解】 解：甲班成绩较好，理由如下： 甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班， 甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）． 【点睛】本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念，解答本题的关键是掌握它们的定义：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 17. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （杯）， 制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形： （2）若AB=3，BC=5，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 【答案】（1） 证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝CD， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥AB，再证四边形ABDF是平行四边形，得AF＝BD，则AF＝DC，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AC⊥DF，AD＝CD＝BD＝CF，再证△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则AC＝4，然后由平行四边形的性质得DF＝AB＝3，最后由菱形的面积求出DG的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D是BC的中点， ∴， ∵四边形ADCF是菱形， ∴BD=AD＝CD＝， ∴∠B=∠BAD，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC＝180°÷2=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC4， 由（1）可知，四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝3， ∵DG⊥CF， ∴S菱形ADCFAC•DF＝CF•DG， 即4×3•DG， ∴DG， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 19. 阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； （2）若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； （3）若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （4）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】（1）和； （2）点P的坐标为或， （3）点的坐标为或； （4）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可， （3）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； 【小问2详解】 解：在上， ， ， ， ， 或， 【小问3详解】 解：在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； 【小问4详解】 解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 20. 【综合与实践】 【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？ 【问题解决】下面是两位同学的转化方法： 方法1：如图1，连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形． （1）请直接写出和之间的数量关系：______． 方法2：如图2，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，可以得出． （2）求证：四边形是平行四边形； 【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状． （3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由． （4）已知，在四边形池塘中，对角线与交于点．，，，则求四边形池塘的面积． 【答案】（1）； （2）证明：∵E，H分别为，中点 ∴．， ∵F，G分别为，中点 ∴，， ∴，， ∴四边形EFGH为平行四边形， （3）能，如图所示，连接对角线，交于点O， 过点D作的平行线，过点B作的平行线 过点A作的平行线，过点C作的平行线 四边形即为所求， （4）． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理． （1）根据平行四边形的判定得到四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案； （2）根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案； （3）本题考查作平行线，根据题目要求构造平行线即可得到答案； （4）本题考查平行四边形的性质，勾股定理，过H作于点M，结合勾股定理求出，结合面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：（1），理由如下， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∴， 故答案为：， （2）略． （3）略． （4）过H作于点M， ∵， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年深圳市罗湖区翠园东晓中学初中学业水平测试 数学学科试卷 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1－8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9－20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 每月阅读课外书本数的众数是58本 B. 每月阅读课外书本数的中位数是45本 C. 从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降 D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是45 5. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 6. 在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 10. 如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 _______． 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 12. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为__________． 13. 如图，在中，，，点P为直线上一个动点，以为对称轴折叠．得到，点C的对应点为点Q，当以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，的长为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8 分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 当今社会提倡全民健康与体育运动，提高公民身体素质．某校为了解九年级共480名同学身体素质情况，对他们进行了体能测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生体能测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生体能测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 47.3 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，求a和b的值． （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加体能测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人． （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生体能测试的整体成绩较好？请说明理由（一条即可）． 17. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形： （2）若AB=3，BC=5，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 19. 阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； （2）若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； （3）若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （4）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 20. 【综合与实践】 【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？ 【问题解决】下面是两位同学的转化方法： 方法1：如图1，连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形． （1）请直接写出和之间的数量关系：______． 方法2：如图2，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，可以得出． （2）求证：四边形是平行四边形； 【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状． （3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由． （4）已知，在四边形池塘中，对角线与交于点．，，，则求四边形池塘的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $