精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟卷（三）（第1～4章）

浙教版数学八年级下册期中模拟卷（三） 范围（第1~4章） 满分：120分 测试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A B. C. D. 3. 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（ ） A 2 B. 0 C. 6 D. 4 5. 如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 点的对称点是点 D. 6. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ） A. 四边形中没有一个角是钝角或直角 B. 四边形中至多有一个钝角或直角 C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角 7. 已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（　　） A. 当m＝0时，方程只有一个实数根 B. 若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1 C. 无论m取何值，方程都有一个负数根 D. 当m≠0时，方程有两个不相等的实数根 8. 如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 65° 9. 如图，用直尺和圆规在矩形ABCD内进行构图：以A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点E，连结AE，再以E为圆心，EC长为半径作弧交AE于点F，连结DF．下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，F是菱形的边的中点，与相交于E，于G，已知，则下列结论：①；②；③：④其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 计算_______，实数的倒数是_______． 12. 在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 13. 已知关于x的方程x2+kx+4＝0的一个根为﹣3，则k＝_____，另一个根为 _____． 14. 如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ___________． 15. 如图，的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若，则PQ的长是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为_______． 三、解答题（第17至19题每题6分，第20至21题每题8分，第22题至23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，，E是边的中点，D是边上一点，连结并延长至点C，使得． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求长． 20. 规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（每个小正方形的边长为1）． （1）在图1中画出一个以AB为边的平行四边形． （2）在图2中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数． 21. 国家实施“双减”政策后，学生学业负担有所减轻，很多家长选择利用周末时间带孩子去景区游玩．某调查小组从去过乐清雁荡山和江心屿学生中各随机抽取了20名学生对这两个景区分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息． 乐清雁荡山景区得分情况： 7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9． 江心屿得分情况： 7，8，7，6，7，6，9，9，10，10，8，8，8，6，6，10，8，7，8，8． 抽取的学生对两个景区分别打分的平均数、众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 乐清雁荡山 8.2 9 b 江心屿 7.8 a 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的a，b的值______，______； （2）根据上述数据，你认为去过这两个景区的学生对哪个景区评价更高？说明理由（写出一条理由即可）． 22. 已知关于的方程． （1）当方程的一个根为时，求的值． （2）求证：无论取何值，这个方程总有实数根． （3）若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 24. 如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M． （1）______，______．（用含t的代数式表示） （2）如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版数学八年级下册期中模拟卷（三） 范围（第1~4章） 满分：120分 测试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除运算，同类二次根式才可以合并，正确使用运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D 2. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的每一个外角都等于，根据多边形的外角和为，利用公式可以求出边的条数． 【详解】解：多边形的每一个外角都等于，根据多边形的外角和为， 该多边形的边数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的外角和为，解题的关键是：记住公式，理解多边形的外角和为，与边数的多少没有关系． 3. 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染了人，第二轮后则传染了人，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：每轮传染中平均每个人传染了人，根据题意可列出方程，， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 4. 已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（ ） A. 2 B. 0 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据：x1，x2，…，xn的平均数是2，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6，再根据每个数据都减2，即可得出数据：3x1-2，3x2-2，…3xn-2的平均数． 【详解】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是2， ∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6， ∴数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的平均数是6-2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是算术平均数的求法，一般地设有n个数据，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化． 5. 如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 点的对称点是点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，，点的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 6. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ） A. 四边形中没有一个角是钝角或直角 B. 四边形中至多有一个钝角或直角 C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】试题解析：用反证法证明“四边形中至少有一个角钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角． 故选A． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（　　） A. 当m＝0时，方程只有一个实数根 B. 若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1 C. 无论m取何值，方程都有一个负数根 D. 当m≠0时，方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】m＝0化为一元一次方程，即可得；当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，即可得方程的另一个根，根据求根公式得，，解得当时，，根据求根公式得当时，方程有两个不相等的实数根，综上即可得． 【详解】解：当m＝0时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得， ， ∴当m＝0时，方程只有一个实数根， 当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得， 解得，， 此时方程为， ， ， ，， 则方程的另一个根为-1； 当时，， 当时，， 当时，， 解得，，， ∴无论m取何值，方程都有一个负数根， ∴当时，方程有两个不相等的实数根， 综上，选项A、B、C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和分类讨论． 8. 如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质，由“SAS”可证△ABF≌△CBF，依据全等三角形的对应角相等，可得∠AFB＝∠CFB＝70°，由三角形的外角性质可得到∠DEF的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝45°， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）； ∴∠AFB＝∠CFB， 又∵∠AFC＝140°， ∴∠CFB＝70°， ∵∠DFC+∠CFB＝180°， ∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°， ∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC， ∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，证得△ABF≌△CBF(SAS)是解题的关键． 9. 如图，用直尺和圆规在矩形ABCD内进行构图：以A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点E，连结AE，再以E为圆心，EC长为半径作弧交AE于点F，连结DF．下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程和矩形的性质可以证明△DEF≌△DEC，进而可得线段DF与线段AE的位置关系以及DF与DC的数量关系，进一步推导AB与DF，AE与BC的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接DE， ∵矩形ABCD中，，AD＝BC，AB＝DC，∠DCE＝90°， ∴∠ADE＝∠DEC， 由题意得，AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED，AE＝BC，故A正确， ∴∠AED＝∠DEC， 又∵EF＝EC，ED＝ED， ∴△DEF≌△DEC（SAS）， ∴∠DFE＝∠DCE＝90°，DF＝DC， ∴DF⊥AE，AB＝DF，故B、D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题． 10. 如图，F是菱形的边的中点，与相交于E，于G，已知，则下列结论：①；②；③：④其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．证可得；证明，则，证明；由可证，连接，易证，则，得到；同理，可证，可得， 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴，， 又∵F是菱形的边的中点， ∴, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 连接， ∵ ∴ ∴ ∴ 同理，可证， ∴ ∴, 综合上述，①②③正确 故选：A 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 计算_______，实数的倒数是_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化，实数的性质，对于第一空直接根据二次根式的性质化简即可；对于第二空根据倒数的定义只需要求出的结果即可． 【详解】解：； ∵， ∴实数的倒数是 故答案为：；． 12. 在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；解题的关键是明确等量关系，从而构建方程．根据题意明确等量关系：人数（人数），列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程x2+kx+4＝0的一个根为﹣3，则k＝_____，另一个根为 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将x＝﹣3代入方程，即可求出k的值，再根据根与系数的关系，即可求出另一个根． 【详解】解：将x＝﹣3代入方程x2+kx+4＝0， 得9﹣3k+4＝0， 解得k＝， 设另一个根为m， 根据题意，得﹣3m＝4， 解得m＝， ∴另一个根为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 即， ∴四边形是平行四边形； ③， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形； ④， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又， ∴四边形是平行四边形； ②，不能判定， 不能判定四边形是平行四边形； 一定能判定四边形是平行四边形的是①③④， 故答案为：①③④． 15. 如图，的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若，则PQ的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的判定和性质得到BA=BE，AQ=EQ，CA=CD，AP=DP，求出DE=8，再利用三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：∵BQ平分∠ABC， ∴∠ABQ=∠EBQ， 又∵BQ⊥AE， ∴∠BAQ+∠ABQ=90°，∠EBQ+∠BEQ=90°， ∴∠BAQ=∠BEQ， ∴BA=BE， ∴AQ=EQ， 同理CA=CD，AP=DP， ∴PQ为△ADE的中位线， ∴PQ= ， 又∵AB+AC=28-BC=18， 即BE+CD=18， ∴DE=BE+CD-BC=8, ∴PQ=， 故答案为4． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，利用三线合一得到中点是解决问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到直线解析式为。设直线与相交于点F，与相交于点E，则点，，结合直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况①当时，②当时，分析讨论建立等式求解（注意直线要与线段相交），即可解题． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 如答图，设直线与相交于点F，与相交于点E， 则点，， ， ， 直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得， 令，解得； ②当时，， 即， 解得。 令，解得， 直线与边无交点，舍去． 综上所述，k的值为. 【点睛】本题考查一次函数综合应用，矩形性质、待定系数法、坐标与图形、一次函数与坐标轴交点情况，梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 三、解答题（第17至19题每题6分，第20至21题每题8分，第22题至23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可； （2）根据同底数幂与积的乘方的逆运算，结合平方差公式将化简为，再利用零指数幂，绝对值化简剩余各项，最后进行二次根式的四则混合运算，即可解题． 小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减混合运算，零指数幂，绝对值化简，平方差公式，二次根式的四则混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用平方差公式因式分解求解即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，即，． 19. 如图，在中，，，，E是边的中点，D是边上一点，连结并延长至点C，使得． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及勾股定理， （1）根据题意知，结合已知即可证明四边形是平行四边形； （2） 结合（1）和垂直即可判定四边形是菱形，设，在中，，求得x，利用等面积法即可求得． 【小问1详解】 证明：∵E是边的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 设， 在中，， ∴， 解得 ∵， ∴， 20. 规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（每个小正方形的边长为1）． （1）在图1中画出一个以AB为边的平行四边形． （2）在图2中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质画出符合题意的图形； （2）利用矩形的性质画出符合题意得图形即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：如图2所示，矩形即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的判定、矩形的判定、无理数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21. 国家实施“双减”政策后，学生学业负担有所减轻，很多家长选择利用周末时间带孩子去景区游玩．某调查小组从去过乐清雁荡山和江心屿的学生中各随机抽取了20名学生对这两个景区分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息． 乐清雁荡山景区得分情况： 7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9． 江心屿得分情况： 7，8，7，6，7，6，9，9，10，10，8，8，8，6，6，10，8，7，8，8． 抽取的学生对两个景区分别打分的平均数、众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 乐清雁荡山 8.2 9 b 江心屿 7.8 a 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的a，b的值______，______； （2）根据上述数据，你认为去过这两个景区的学生对哪个景区评价更高？说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）8，8.5 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据众数、中位数的定义求解即可； （2）通过平均数、中位数、众数的比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：江心屿得分情况： 7，8，7，6，7，6，9，9，10，10，8，8，8，6，6，10，8，7，8，8． 其中6出现的次数为4，7出现的次数为4，8出现的次数为7，9出现的次数为2，10出现的次数为3， ∴8出现的次数最多， 故众数为8，即a=8， 乐清雁荡山景区得分从小到大排列为： 6，6，6，7，7， 7， 7，8， 8， 8，9，9，9， 9， 9， 9，10，10 ，10，10． 在中间的两个数为8，9， 故中位数b=． 故答案为：8，8.5； 小问2详解】 乐清雁荡山景区的平均数，众数，中位数均比江心屿的得分高， 故乐清雁荡山景区评价更高． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． 22. 已知关于的方程． （1）当方程的一个根为时，求的值． （2）求证：无论取何值，这个方程总有实数根． （3）若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得到关于m的方程，解这个方程即可求解； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出结论； （3）将代入原方程可求出值，代入值解方程即可求出、的长度，再根据三角形的三边关系得到等腰三边长，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求出三角形底边的高，即可由三角形的面积关系求解． 【小问1详解】 解：把代入，得 解得：， 【小问2详解】 证明：， 无论取何值，这个方程总有实数根； 【小问3详解】 解：将代入原方程，得：， 解得：， 原方程为， 解得：，． 、6、6能组成三角形， 该等腰三角形的三边长为、6、6， 如图，在等腰中，设，， 过点A作于D， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是牢记“当时，方程有实数根”求出等腰三边的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57 【解析】 【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可； 任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可； 任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）网上毛利润为：元 实体店毛利润为：元 （2）设网上销售价下降x元/件，则 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总毛利润为： 根据题意得， 解得，； ∴或56 答：该商品的网上销售价是每件58元或56元 （3） ∵ ∴ ∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大 此时销售价为：（元） 故答案为：57 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键． 24. 如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M． （1）______，______．（用含t的代数式表示） （2）如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②存在，或2或3 【解析】 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质求出，进而得到，据此求出即可； （2）①根据，求出，则，利用勾股定理分别求出，，进而求出，则；②分图2-1，2-2，2-3三种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点D为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ②如图2-1所示，当落在上时，则， ∴， ∴此时点D与点M重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上， ∴； 综上所述，t的值为或2或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$