三角函数与解三角形-江苏省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江苏省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·三模）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知角满足， 则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·一模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个单调增区间 B．是的一个对称中心 C．在上值域为 D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知的角对应的边分别为的平分线交边于点，若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏泰州·模拟预测）设的内角的对边分别为若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数和， 下列说法正确的是（    ） A．和均为周期函数，且是、的周期之一 B．和均为周期函数，且是、的周期之一 C．的值域为 D．对恒成立 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 13．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 14．（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 15．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称 C．函数在区间上有2个零点 D．函数在区间上单调递增 三、填空题 16．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 17．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 18．（2024·江苏盐城·一模）在中，已知，，点P在内，且满足，，则四边形面积的最大值为 . 19．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数在上单调递减，则满足条件的值有 个. 20．（2024·江苏南通·二模）在中，，，M为BC的中点，，则 . 四、解答题 21．（2024·江苏南京·二模）在中，内角的对边分别为，，且， (1)求； (2)线段上一点，满足，求边的长. 22．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 23．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，求的面积; (2)若，求使得恒成立时，实数的最小值. 24．（2024·江苏南通·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积. (1)求角的大小； (2)设是边的中点，若，求的长. 25．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 26．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为. (1)求角； (2)若，求的最小值. 参考答案： 1．B 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 2．A 【分析】将展开，结合辅助角公式得到，再结合有界性即可求解. 【详解】因为 所以 由辅助角公式可得：，其中， 所以 所以 解得 故选:A 3．C 【分析】根据函数的图像变换规律得到，由正弦函数的对称性可得，从而求得的最小值. 【详解】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 4．A 【分析】化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，得， 所以的最小正周期. 故选：A. 5．C 【分析】化简函数由函数，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数 ， 对于A中，当，可得，此时函数不是单调函数，所以A错误； 对于B中，由，所以函数的一个对称中心为，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以， 所以，即，所以C正确； 对于D中，将的图象向右平移个单位，得到， 再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为，所以D错误. 故选：C. 6．C 【分析】根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值． 【详解】   ，因为的平分线交边于点，且， 所以， ，， 而，所以， 化简得，即， 则， 当且仅当时取等号，即最小值为． 故选：C． 7．B 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 8．C 【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解. 【详解】因为，则，则， 所以， 而，则， 所以. 故选：C 9．D 【分析】解法1：根据题意，得到，设，，结合两角和的正切公式，利用方程求得，得到，结合基本不等式求得的最大值，进而求得三角形的最大面积，得到答案. 解法2：根据题意，求得，过点作，求得，取的中点，得到，求得在以为直径的圆上，进而求得面积的最大值. 【详解】解法1：由， 可得， 所以，所以， 又由，所以， 可得，所以，可得为钝角，为锐角， 设， 可得，即 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：D. 解法2、由， 可得，可得， 则角为钝角，为锐角， 过点作，如图所示， 在直角中，可得， 在直角 中，可得， 由，可得，即为的中点， 取的中点，则，可得， 可得点在以为直径的圆上，此圆的半径为，所以最大面积为. 故选：D. 10．B 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 11．CD 【分析】由周期函数的定义得出不是周期函数，即可判断AB；由周期函数的定义得出是周期为的周期函数，分别求出和时的值域，即可判断C；由正弦和余弦函数的图象及诱导公式即可判断D． 【详解】对于AB，因为为偶函数，但不是周期函数，所以不是周期函数， 例如，，故AB错误； 对于C，因为，周期为，周期为，所以是周期为的周期函数， 所以当时，， 因为，所以， 所以当时，， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时， ， ，即，故D正确； 故选：CD． 12．BC 【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D. 【详解】， 对于A：的最小正周期为，错误； 对于B：令可得， 所以的图象关于直线对称，正确； 对于C：令可得，且， 所以的图象关于点对称，正确； 对于D：因为，所以， 由在上单调递增，上单调递减可知， 在上单调递增，在单调递减，错误； 故选：BC. 13．AB 【分析】对A，将条件利用三角恒等变换结合正弦定理化简求得角；对B，利用向量，运算结合基本不等式求解；对C，由B选项结合三角形面积公式求解；对D，由题可得，令，由，得，解得，所以三角形周长，利用导数求解判断. 【详解】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得 ，因为，, 可得，化简得，又， .故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确； 对于C，由B，可得，故C错误； 对于D，由前面选项，可得，且，， ，即，令，由，得，解得， 所以三角形周长， 则，令，解得，又，所以在 上单调递减，所以，故D错误. 故选：AB. 14．ABC 【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D. 【详解】 延长交于点. 因为是的重心， 所以点是中点，， 则. 对于选项A：因为，故选项A正确； 对于选项B：由得：， 所以，当且仅当时等号成立. 又因为，即，， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，， 所以，故选项C正确； 对于选项D：由，， 得， 所以由余弦定理可得： ，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是，故选项D错误. 故选：ABC. 15．ACD 【分析】利用三角恒等变换易得，采用代入检验法即可判断A项，利用平移变换，求得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将看成整体角，求出其范围，利用余弦函数的图象观察分析，易对C,D两项进行判断. 【详解】 对于当时，而，故A正确； 对于将向左平移个单位后可得， 为奇函数，关于原点对称，故B错； 对于当时，， 因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确； 对于当时，因在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确. 故选：ACD． 16．1或 【分析】根据三角形内角和定理，结合二倍角余弦公式、正弦定理、三角形面积公式分类讨论进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，或， 因为， 所以，或． 因为，， 当时，，可得，； 当时，由正弦定理，可得， 可得． 故答案为：1或 17． 【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】因为， 所以是以为周期的周期函数， 当时， 由，则，所以，则； 当时， 由，则，所以，则； 综上可得的值域为. 故答案为： 18．2 【分析】设，，分别在和中，由余弦定理得到与的关系式，然后根据四边形的面积可得到面积与和的关系式，利用同角三角函数的关系最终得到面积与的关系式，利用基本不等式即可求出最大值. 【详解】如图所示    设，，则，，. 分别在和中，由余弦定理得， ， ， 所以， ，由，可知. 所以四边形的面积： ， 又， 当且仅当，即，，时，四边形的面积最大，最大值为2. 故答案为：2. 19．3 【分析】化简，再利用复合函数的单调性得到在上单调递减，然后结合正弦型三角函数的性质找到的大致范围，逐一代入检验即可. 【详解】， 时，， 令，时，随的增大而增大， 又在上单调递减，所以在上单调递减， ，所以，， 时，，单调递减，符合题意， 时，，单调递减，符合题意， 时，，单调递增，不符合题意， 时，，不单调，不符合题意， 时，，单调递减，符合题意， 时，，不单调，不符合题意， 综上，，所以满足条件的值有3个. 故答案为：3. 20． 【分析】根据给定条件，取的中点，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，取的中点，连接，由为的中点，得， 在中，由余弦定理得， 则，即，而，所以. 故答案为： 21．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得.方法1：利用三角恒等变换可得，即可得结果；方法2：利用倍角公式可得，即可得结果； （2）方法1：利用向量可得，再根据数量积整理可得，结合余弦定理运算求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合解得，即可得结果. 【详解】（1）因为，可化为， 方法1：因为，则，整理可得， 又因为，则，可得，解得； 方法2：因为，，则，，可得， 则，即， 又由，得，则，即. （2）方法1：因为线段上一点，，，则， 即，可得， 两边平方得， 又因为，则，可得①， 在中，由余弦定理得，可得②， 由①②消去常数项得，，代入②得； 方法2：在中，因为，则，可得，， 在和中，由正弦定理得， 则，整理可得， 代入，解得(舍去)或， 所以. 22．(1) (2) 【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得，根据锐角三角形可得的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解. 【详解】（1）在中， ， 因为， 所以， 化简得，由余弦定理得， 又，所以； （2）由正弦定理知 ， 由为锐角三角形可知，而， 所以得， 所以， 所以，即 ， 则的取值范围为. 23．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】（1）因为，即，所以， 即，则，所以， 所以，且，由正弦定理可得，则， 所以，则. （2）因为，由余弦定理可得， 又，则，即， 所以，化简可得， 因为，所以，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，故即可，所以的最小值为. 24．(1) (2) 【分析】（1）由向量的数量积和三角形的面积公式以及正弦定理化简已知等式可得，再由两角和的正弦展开式结合特殊角的三角函数化简整理即可； （2）法一：结合已知由正弦定理可得，代入数据化简后可得，再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出，即可得到结果； 法二：由三角形的面积公式结合已知可得，再在中，据余弦定理得，解出，然后在中，据勾股定理解出结果即可； 法三：延长到点，使得，由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定义关系求出即可； 法四：延长到，使，连结，，由已知结合三角函数的定义和勾股定理解出即可； 【详解】（1）据，可得， 即， 结合正弦定理可得. 在中，， 所以， 整理得. 因为，，故，即， 又，所以. （2） 法一：因为是边的中点，，所以. 在中，，则. 在中，，，， 据正弦定理可得，，即， 所以. 所以，即， 所以， 又，， 所以，解得， 所以. 法二：因为是边的中点，故， 所以，即， 整理得① 在中，据余弦定理得，， 即② 联立①②，可得，. 在中，据勾股定理得，， 所以. 法三：延长到点，使得. 在中，，，故， 又是的中点，所以是的中点， 所以，，且. 在中，，，， 所以，且. 所以，即，解得（负舍）， 所以. 法四：延长到，使，连结，. 因为是的中点，且， 故四边形是平行四边形，. 又，所以. 在中，，，，， 所以，且. 在中，，，，， 据勾股定理，可得， 将代入上式，可得（负舍）， 所以. 25．(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故，所以， 所以的面积为． 26．(1) (2) 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得，结合二倍角公式可得，即可得解； （2）结合题意借助向量，可得，结合模长与数量积的关系计算即可得，利用基本不等式即可得其最值. 【详解】（1）， 结合余弦定理得，， ，， 即，又，，故； （2）由（1）知：， ，， ， 又， 当且仅当时，长取最小值，此时， 长的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$