21.3实际问题与一元二次方程复习讲义 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 典例分析 1．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)2 750元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后售价由3000元变为2430元列出方程求解即可； （2）假设下调a个50元，则每台的利润为元，销售量为台，再根据总利润为5000元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得 或（舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得， ∴下调150元， ∴定价为2 750元， 答：每台冰箱的定价应为2750元． 2．在一块长，宽的矩形荒地上建一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．图①是小明的设计方案，花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．图②是小丽的设计方案，其中花园四个角上的扇形都相同． (1)你认为小明的计算结果对吗？ 请说明理由． (2)请你帮小丽求出图中的(精确到)． (3)你还有其他的设计方案吗？ 请在图③中画出你设计的草图，并简要说明． 【答案】(1)小明的计算结果不对．理由见解析 (2) (3)方案及作图见解析 【分析】本题考查一元二次方程的解法的运用，矩形的面积公式的运用，扇形的面积公式的运用， （1）根据条件路的宽度小于，故得出小强的结果不对，应该是； （2）根据四个扇形的面积=矩形的面积的一半建立方程求出的值即可； （3）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案； 解题的关键是抓住等量关系：花园的面积等于荒地面积的一半． 【详解】（1）解：小明的计算结果不对．理由如下： 设小路宽， 依题意，得：， 解得： ，， ∵荒地的宽为， ∴当时，不符合题意，舍去， ∴， ∴小路的宽为； （2）依题意得：， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去），． ∴； （3）答案不唯一． 如图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，则三角形的面积为：，矩形面积为：． ∴此时三角形的面积等于矩形面积的一半． 精选好题 一、单选题 1．已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（        ） A．7 B．9 C． D． 2．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 3．雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（    ）． A． B． C． D． 4．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在 5．某电影第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（      ） A． B． C． D． 6．毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条，这个班级的学生总人数是（    ） A． B． C． D． 7．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 8．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为 人 10．哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ． 11．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 12．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ． 13．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗．设竹竿的长度为，则可列出方程为 ． 14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元了．为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，若商场平均每天盈利元，每件村衫应降价多少元?设每件衬衫应降价元，根据题意，所列方程为 ． 15．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，可得方程 ． 16．如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 三、解答题 17．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 18．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 19．某商店以每件1元的进价购进一种商品，如果以每件2元的售价可卖出该商品50件，经调查发现，该商品零售单价降0.1元，每天可多销售10件， (1)若每天多销售30件，该商品零售单价为______元； (2)在不考虑其他因素的条件下，为了让利于顾客，要使商店每天销售这种商品获取的利润为50元，求该商品的定价． 20．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 21．八月，某文具店购进甲、乙两种文创笔记本共500个，总共花费3300元，甲笔记本售价6元，乙笔记本售价9元． (1)求文具店分别购进多少个甲笔记本和乙笔记本； (2)第一次购进的笔记本很快销售一空．临近开学，文具店又购进了相同总量的甲、乙笔记本，并推出了促销活动，每个甲笔记本的售价降低了，每个乙笔记本的售价便宜了元．为了尽可能多购入乙笔记本，文具店在（1）的基础上购买乙笔记本的数量增加了个，最终的总费用比第一次减少了元，求的值． 22．如图，在中，，，点M从点A开始沿以的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作，交与点N，并设点M的运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)若，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C D B D B 1．D 【分析】此题主要利用三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为10”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长． 【详解】解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得 解得：，， ∴另一直角边为或， ∴直角三角形两直角边为4，5， ∴直角三角形的斜边为． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 3．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，由此可解． 【详解】解：若设每年的下降率为x，则2023年雾霾天气天数为，2024年雾霾天气天数为， 故所列方程为． 故选B． 4．C 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：，解得 当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题(一元二次方程的应用)，先表示第二天的票房：；再表示第三天的票房：；因为三天后票房收入累计达18亿元，所以相加即可作答． 【详解】解：∵第一天票房约3亿元，增长率记作x ∴第二天的票房：；第三天的票房： ∵三天后票房收入累计达18亿元 ∴ 故选：D 6．B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个班级的学生总人数是，则每一位同学需发送条祝福短信，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个班级的学生总人数是，则每一位同学需发送条祝福短信， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴这个班级的学生总人数是， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数除以2． 关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B． 9．10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设参加酒会的人数为人，利用碰杯的总次数参加酒会的人数参加酒会的人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设参加酒会的人数为人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 参加酒会的人数为人． 故答案为： 10．9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 根据题意得： 解得（舍去） 即这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 11． 【分析】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键． 【详解】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，勾股定理．用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可． 【详解】解：设竹竿的长为．由题意得： ． 故答案为： 14． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用衬衫平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衫利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，则销售量为件， 根据题意，所列方程为： ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设圆的半径为，根据正方形面积是圆面积的，列出方程即可． 【详解】解：设圆的半径为，根据题意得： ， 故答案为：． 16．或 【分析】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F作于H，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设，从而得出，，然后根据折叠的性质可得，再利用勾股定理求出x，即可求出结论． 【详解】解：过点F作于H， ∵四边形为矩形，平分 ∴ ∴为等腰直角三角形，设， 则，， 由折叠的性质可得， 在中， 即 解得：， ∴或 故答案为：或． 17．(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后共有729人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）解：（人． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 18．(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 19．(1)1.7 (2)1.5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据“该商品零售单价降0.1元，每天可多销售10件”，即可求出每天多销售30件时的零售单价； （2）设该商品的定价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让利于顾客，即可得出该商品的定价． 【详解】（1）， 故答案为：1.7． （2）设该商品的定价为元，由题意，得 解得 ∵让利于顾客， ∴． 答：该商品的定价为1.5元． 20．(1)A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 (2)每台A款电器应降价40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； （2）解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 21．(1)购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本． (2)m的值为20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用等知识点，正确列出一元二次方程、一元一次方程成为解题的关键． （1）设购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据“总共花费3300元”，列出方程求解即可； （2）先求出现在每个甲、乙种笔记本的售价，再根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 根据题意得：，解得：，则． 答：购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本． （2）解：根据题意得：现在每个甲种笔记本的售价为元， 每个乙种笔记本的售价为元， ， 整理得：，解得：． 因为尽可能多购入乙笔记本， ∴． 答：m的值为20． 22．(1)t为2 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解题方法． （1）根据题意得出，根据三角形面积公式得出，求出t即可； （2）根据，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ∴， 解得，（舍）， ∴当t为2时，的面积为 （2）解：∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 可得，（舍）， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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