平面解析几何-江苏省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江苏省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----平面解析几何 一、单选题 1．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，是双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上一点，，实轴长为2，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知拋物线，过点的直线与直线交于点，与交于两点（点A在第一象限）.若线段恰被点平分，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（    ） A．的斜率可能不存在，且不为0 B．点纵坐标为 C．直线的斜率 D．直线过定点 二、多选题 11．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点到的距离比到轴的距离大2 B．点到直线的最小距离为 C．以为直径的圆与轴相切 D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形 12．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线C：，过点的直线与抛物线交于，两点，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，则（   ） A． B．点T与抛物线上任意一点的最短距离为4 C．的最小值为32 D．的最小值为11 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 14．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 15．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为抛物线上两点下列说法正确的是（    ） A．若直线过点，则面积的最小值为2 B．若直线过点，则点在以线段为直径的圆外 C．若直线过点，则以线段为直径的圆与直线相切 D．过两点分别作抛物线的切线，若两切线的交点在直线上，则直线过点 三、填空题 16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 ． 17．（2024·江苏南通·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．    18．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 19．（2024·江苏宿迁·三模）若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ． 20．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 21．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 22．（2024·江苏徐州·模拟预测）设.若曲线上一点不满足，则曲线在点处的切线方程为.则曲线过点的切线方程为 . 四、解答题 23．（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点. (1)求椭圆C的方程； (2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标. 24．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 25．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围； (3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点 26．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． (1)求的取值范围； (2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 27．（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 28．（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 29．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 30．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆长半轴长为，离心率为，过左焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆方程； (2)求直线的方程； (3)若点位于直线的左侧且为椭圆上一点，点关于点的对称点为，设直线，的交点为，求面积的最大值． 31．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，CD的中点分别为点M，N． (1)证明：轴； (2)若点P为半椭圆上的动点，求四边形ABDC面积的最大值． 32．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 参考答案： 1．B 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 2．A 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 3．D 【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所截线段的长度为. 故选：D. 4．C 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 5．A 【分析】由条件，实轴长为2，结合双曲线定义求，再结合数量积运算求，利用余弦定理求半焦距，根据离心率定义求结论. 【详解】因为，所以， 又实轴长为2，所以. 由双曲线定义可得， 所以， 因为，所以， 所以， 设双曲线的半焦距为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 所以双曲线的离心率， 故选：A. 6．D 【分析】根据题意可知，根据之间的关系可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上， 则， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：D. 7．B 【分析】设出点坐标，由中点得出点坐标，代入抛物线方程后求得参数值，然后由两点间距离公式计算． 【详解】由题意设，由于是中点，则， 在第四象限，则，解得， 又在抛物线上，∴，解得（舍去）， 因此有，∴， 故选：B．    8．C 【分析】使用题设条件得到的比值，然后引入参数并得到等量关系，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，根据题意，三点共线，三点共线. 而，且由知， 故. 所以， 故可设，，. 由于， 故. 从而，，故，. 而，结合余弦定理得. 故，解得，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究. 9．B 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 10．D 【分析】A选项，求出，得到，由离心率得到椭圆方程，求出，若的斜率不存在，则重合，A错误；B选项，设出直线，联立抛物线方程，得到两根之和，得到，进而得到；C选项，求出，联立抛物线方程，得到，结合，同理得到，从而得到当时，满足要求；D选项，在C选项基础上，分与两种情况，求出直线的方程，判断其过定点. 【详解】A选项，由题意得，故， 因为，且，解得， 故椭圆方程为，故， 若的斜率不存在，则重合， 因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，故A错误； B选项，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立得，， 则，故， 故，B错误； C选项，直线， 联立得，， 则，故， 则， 因为，所以，， 若，则，， ，，此时不与重合，两者也不重合，满足要求，C错误； D选项，若，此时，故直线与轴垂直，且过点； 若， 由于，， 故 ， 故直线方程为， 令得. 故直线过定点， 综上，直线过定点，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 11．BC 【分析】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设， .利用抛物线的定义可得，即可判断出正误； .，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，进而判断出正误； .设的中点为，可得，即可判断出正误； .，令，可得，，解得，即可判断出正误. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设， 因为，因此不正确； 因为，则点到直线的距离为， 当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确； 设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切， 因此正确； ，令，则，，解得， 此时，是正三角形，因此不正确． 故选：BC． 12．ACD 【分析】由条件确定直线的斜率不为，设其方程为，联立方程组，利用设而不求法求，计算，判断A，化简，求其最小值，判断C，化简，求其最小值判断D，设为抛物线上一点，求的表达式及其最小值，判断B， 【详解】若直线的斜率为，其方程为， 直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不为，故可设其方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，A正确； 所以， 所以当时，取最小值，最小值为32．C正确； ， 因为，， 所以， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为，D正确； 设为抛物线上一点，则， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为，B错误； 故选：ACD． 13．BCD 【分析】根据为的直径，所以，可求，得点轨迹，判断A的真假；根据两圆公共弦的直线方程的求法 ，判断B的真假；利用二倍角公式，求，判断C的真假；利用点与圆的位置关系，判断D的真假. 【详解】对A：如图 时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误； 对B：如图： 当，时，的方程为：即， 所以直线的方程为. 故B正确； 对C：如图： 当，时，在中，， 所以. 故C正确； 对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1， 所以，所以，即. 故D正确. 故选：BCD 14．ACD 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可. 【详解】对于A，连接，，， ，， ， 在中，， 故有，解得，则， 而在中，，，故A正确， 对于B，而的倾斜角为，而， 则，故B错误. 对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确， 对于D，因为，则，故， 易知的方程为，设， 联立方程组，解得或， 故，又，即， 由两点距离公式得， 而，，故D正确. 故选：ACD. 15．AC 【分析】设出的方程为，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得中点的横坐标和中点到准线的距离，以及面积表达式，可判断AC；设出的方程为，代入抛物线的方程由可判断B；设直线的方程为，由导数的几何意义写出切线方程求出交点P坐标，结合韦达定理即可判断D． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设， 对AC选项：设的方程为，代入抛物线，可得， 易知，，， 故 , 当等号成立，故A正确； 而， 则弦长， 设的中点为，到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，故C正确； 对B选项：又设的方程为，代入抛物线可得， 易知，，， ， 则点在以线段为直径的圆上，B错误； 对D选项：不妨设在第一象限，在第四象限，则， 则点处切线斜率 ，，则点处切线斜率， 则点处切线方程为， 同理点处切线方程为， 联立两直线求得交点横坐标为，故， 设直线的方程为，代入抛物线可得， 则，故（负值舍去），即直线的方程为， 则直线过点，故D错误. 故选：AC. 16． 【详解】，设，满足①， 当时，可得：②， ①②联立， 所以当是锐角时， 再由，得到，开方得第一象限曲线解析式：， 求导可得：当时，，即此点处的切线斜率为； 结合图象可知：圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 故答案为： 17． 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】解：如图所示：    设,因,故， 又， 由余弦定理，， 即，    设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于，与椭圆交于，， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系， 过点作， 则， ， 则， ， 则， 又由得：， , 从而， 则得， 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程， 解得， 则， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程求得半短轴长. 18．3 【分析】由已知可求得，进而可得，求解即可. 【详解】由双曲线左支上一点，可得， 又，所以， 又，所以，所以， 所以该双曲线离心率的最大值为. 故答案为：. 19．4 【分析】利用等面积法得，结合椭圆定义和离心率为，求得答案. 【详解】如图，， 所以，. 故答案为：4.    20． 【分析】过点作，根据题意，得到，设，由为的角平分线，求得，化简得到，结合任意的都成立，列出方程组，求得，即可求解. 【详解】如图所示，过点作交于点，可得， 因为，所以， 设，则， 由为的角平分线，可得， 所以， 由，可得， 所以， 整理得， 若对于任意的都成立，则必有，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：.    21．4 【分析】方法一：联立方程可得韦达定理，结合分析可得，即可得离心率；方法二：根据双曲线的性质可得，，结合题意列式求解即可；方法三：直线方程写为参数方程，联立方程，根据韦达定理结合参数的几何意义分析求解；方法四：建立极坐标系，双曲线方程可以写为，结合极坐标的定义分析求解. 【详解】方法一：可知直线过左焦点，斜率， 且直线与双曲线相交，可知，则， 联立方程，消去x可得， 设，则， 由可知， 与联立可得， 代入可得，则， 所以双曲线的离心率； 方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角， 可得，， 因为，可知， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程， 代入双曲线可得， 整理得， 可知两解为， 由可知，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系， 则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离． 由直线的倾斜角为可知，取可得两点， 由条件知在的延长线上，则当时为负值， 可得， 则，即，解得. 故答案为：4. 22．和 【分析】由已知条件表示出曲线在点处切线方程，代入结合曲线方程求出，得切线方程. 【详解】，若， 则，，，， 点在曲线上，有， 由题意可知，若满足时， 则，则， 若不满足， 则曲线在点处的切线方程为， 切线过点，则有， 即，得， 由，解得或， 两组解都不满足，符合题意， 把两组解代入， 得切线方程为和. 故答案为：和. 【点睛】方法点睛： “新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移.在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 23．(1) (2) 【分析】（1）方法一：由题意得，，把点直接代入椭圆方程求出即可；方法二：把代入求出即可； （2），而的面积为定值，所以只要的面积最大，进一步分析得知，只需求的最大值，方法一：用判别式法求最值；方法二：利用基本不等式求最值，结合取最值的取等条件即可求解. 【详解】（1）设，又离心率，则. ，则. 法一：则C：，点代入得， 法二：则，点代入得， 所以C方程为：. （2）因为，而的面积为定值，所以只要的面积最大. 设，则①. ， ，则线段AM长度为定值. 由图知，P在直线的上方，直线：， P到直线的距离为 只需求的最大值. 法一：设，代入得：， 因为，得.     当时，联立①，解得：，.     法二：因为 . 所以， 当且仅当时，. 所以当四边形的面积最大时，此时点P坐标为 (). 24．(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解； （2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果. 【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 25．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设外接圆的半径为，，由已知可得，在中可得，设直线，与抛物线方程联立根据直线与曲线只有一个交点即可求解； （2）直线的方程与抛物线方程联立可得，坐标，设，，可得，设，通过求导判断函数的单调性求最值即可求解； （3）设，由导数的几何意义可得，的方程，联立可得的坐标，由得，设直线的方程为，与联立得，即可求解. 【详解】（1） 当点为时，设外接圆的半径为，， 则，， 在中有，，， 则，，即，， 设直线，与联立得， 令，又，得， 所以抛物线方程为； （2）联立，整理得，解得或， 不妨设，， 设，，则，， 所以， 又，，， 设，， 则， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，而， 故的取值范围是； （3）由得，设，， 直线，，即， 令，得，同理，， 所以， 直线与直线两方程联立解得， 得， 又，由得， 得， 设直线的方程为，与联立得， 则， 所以，则直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键利用导数得到切线方程，从而求出，再计算出，再设直线方程，将其与抛物线联立，得到，从而解出值，得到定点坐标. 26．(1) (2)① 存在；；② 【分析】（1）设，记，根据对称轴的位置结合二次函数的性质、基本不等式可得答案； （2）由（1）得椭圆，①设，可得直线、方程，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理可得、两点坐标，求出的斜率即可；②由①知直线方程，与直线方程联立，求出代入椭圆方程得求出，可得的轨迹方程可得答案． 【详解】（1）设，由题知，，即， 则，即， 记， 则在上的最大值为9，对称轴为， ①当，即时，，成立； ②当，即时， ， 当且仅当，即时等号成立，可知不成立； 综上，； （2）由（1）得，， 所以当时，离心率达到最大，此时，椭圆， ①存在，理由如下， 设，则，其中，即， ， 由， 得， 即， 所以，， 所以， ， 由， 得， 即， 所以，， 可得， 所以，的斜率； ②由①知， ， 由，，即， 将代入椭圆方程得：， 所以，的轨迹方程为， 所以，线段长度的取值范围为． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 27．(1) (2)存在； 【分析】（1）根据题意，得到，列出方程，求得，再由点在双曲线上，得到，结合，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为，求得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设为，由，得到，联立方程组，得到，代入求得，得到到直线的距离为，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． （2）解：（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 28．(1) (2) 【分析】（1）由可得，再由三角形的面积公式即可得到，结合余弦定理可得，由双曲线的定义，代入计算，即可得到； （2）方法一：分直线轴与直线与轴不垂直讨论，设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式代入计算，由基本不等式即可得到最值；方法二：设，表示出点的坐标，结合点差法代入计算，可得，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）在中， 因为，所以． 所以的面积， 解得． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因为在双曲线上，所以，得． 所以的方程为． （2） 法1：设，则， 当直线轴时，设直线与交于点， 所以，即， 所以． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，利用对称性不妨设在直线上． 联立，得． 联立并消去，得， 所以． 则， 同理，得． 所以 （当且仅当时，取等号，满足）， 综上，的最小值为1． 法2：设，则， 当垂直轴时，设的方程为：， 则． 因为两式相减，得，所以． 当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去并化简， 得． 所以 则，同理． 所以 ． 综上所述，当轴时，的最小值为1． 29．(1) (2)当时四边形ABDC的面积最大 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值. 30．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，由离心率求出，即可求出，从而得解； （2）设，，根据得到关系，再由点在椭圆上得到方程组，解得、坐标，即可得到方程； （3）依题意为的中点，设，根据向量共线求出，从而得到，求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）依题意，，解得，则， 所以椭圆方程为； （2）设，，由（1）可知， 因为，又直线的斜率为，所以， 所以，所以，即， 所以，解得或（舍去），则， 即，，则，所以直线的方程为； （3）因为点关于点的对称点为，所以为的中点， 设，则， 由、、三点共线，所以，解得， 所以， 因为为的中点，所以，， 所以， 所以， 当过点的切线与平行时，的面积最大，设， 则，且切线方程为，则， 则，又点位于直线左侧，解得，即， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，所以. 其中，椭圆上一点的切线方程为的证明过程如下： ①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是将的面积转化为的面积. 31．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合斜率分析可得，即可得轴； （2）根据题意利用韦达定理求长度，可得面积，结合二次函数分析运算即可. 【详解】（1） 由C，D分别为PA，PB的中点，则， 所以直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 因式分解得，约分得， 所以，即，所以轴． （2）设，则，且， 由，，所以， 整理得，同理得， 所以，是方程的两个根， ，得，， 有，得轴，又， 所以， 因为， 所以， ， ，当时，取得最大值， 所以四边形ABDC面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围最值问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 32．(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； （ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解. 法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 法二：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故， 由（i）可知，，故， 所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离， 思路1  显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线：与直线：之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为. 思路2  因为直线的方程为， 所以， 依题意，，，，故， 所以， 因为在椭圆上，故，即， 所以， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即的面积的最大值为. 思路3 因为直线的方程为， 所以， 因为在椭圆上，故， 设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$