数列-江苏省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江苏省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----数列 一、单选题 1．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 5．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏南京·二模）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（    ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 8．（2024·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．（2024·江苏宿迁·一模）设是等比数列的前项和，若成等差数列，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 10．（23-24高三下·江苏南京模拟预测 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 二、填空题 11．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 . 12．（2024·江苏南京·模拟预测）设数列的前项和为，则满足的数列的一个通项 .（写出一个正确的答案即可，不必考虑所有情况） 13．（2024·江苏泰州·模拟预测）设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 14．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 15．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知是曲线上的点，是数列的前项和，且满足． (1)证明：数列是常数数列； (2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； 16．（2024·江苏南京·二模）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. (1)设，，求数列的通项公式； (2)设，求数列的通项公式. 17．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 18．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 20．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”． (1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值； (2)已知数列为等比数列，公比为q． ①若数列为“数列”，，求q的值； ②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数． 参考答案： 1．D 【分析】结合已知等式可得，进而化简整理得到，由此可得；利用等比数列求和公式可求得，验证即可求得结果. 【详解】 当时，， ， ， ； 当时，，解得：，不满足，； 当时，， 又满足，. 故选：D. 2．B 【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为，可得， 所以有，解得， 故选：B. 3．C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 4．B 【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，， 故选：B. 5．B 【分析】根据给定的递推公式求出，再按为奇数、偶数分类求解即可得的范围. 【详解】由，得， 当时，，则， 整理得，即， 而，解得， 于是，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， 由，得， 当为奇数时，，即，显然为递增数列， 当时，，于是， 当为偶数时，，即，显然恒有，于是， 所以实数的取值范围为. 故选：B 6．C 【分析】根据题意求得数列的前8项，通过观察找到规律，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以， ， ， ， ， ，…， 可以看出数列的前20项为， 故. 故选：C. 7．C 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 8．C 【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出，再求解不等式即得. 【详解】数列中，，当时，，则， 整理得，即，而，即， 因此数列是以为首项，公比为的等比数列，， 则，由，知为奇数，此时是递增的， 而，， 所以正整数k的最小值为13. 故选：C 9．B 【分析】解法一：根据等比数列的性质判断；解法二：根据等比数列的基本量运算；解法三：利用二级结论求解. 【详解】解法一：性质+特值. ，排除C，D； 当时，，矛盾， 所以，所以，故排除A， 对B：时，由得， 此时 ， ， 所以成立. 故选：B． 解法二：基本量运算. 当时，，矛盾， 所以， 当时，则 ，. 故选：B． 解法三：二级结论. ， 由，则， 又， 则或， 当时，，无解，故舍去. 所以. 故选：B． 10．B 【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件． 【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，… 即数列为5的非负整数倍加3， 故， 数列是以3为首项，5为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当时， 所以当时，取得最小值且最小值为. 故选：B. 11．或（答案不唯一） 【分析】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可. 【详解】已知正项等比数列是“可倒数数列”， 首先， 若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故， 则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中， 因为正项等比数列是“可倒数数列”， 所以数列严格单调，而， 所以只能， （否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中）， 从而，所以， 解得或（舍去）， 所以解得或. 故答案为：或（答案不唯一）. 12．（答案不唯一） 【分析】不妨设，根据等差数列求和公式进行验证即可. 【详解】不妨设，则， 故答案为：（答案不唯一） 13． / / 【分析】（1）令解方程即可求解；（2）分为奇数和偶数两种情况即可求解. 【详解】（1）令，所以， 所以，（2）因为， 所以， 当为偶数时，可得， 所以，当为奇数时，可得， 所以， 所以. 故答案为：；. 14． 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 15．(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）根据与的关系求数列的递推公式，再求证为常数数列. （2）根据（1）的结果，写出数列的通项公式，在根据数列的单调性求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以：. 因为，所以 所以 两式相减，得： . 所以 所以， 所以：当时，为常数. 故当时，为常数数列. （2）由题意：， 当时，. 当时，. 因为，所以数列，分别是以，为首项，以6为公差的等差数列. 所以，. 因为数列为递增数列， 所以. 所以 16．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列定义可得答案； （2）方法1：利用递推得是公差为等差数列，求出；方法2：利用递推得是公差为等差数列，求出； 【详解】（1）因为，所以时，， 又，所以时，， 即，又，所以为公差为4等差数列， 所以，所以时，， 所以； （2）方法1： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时，由得，③， 同理，时，④， 由③得，时，， 所以时，两式相加得， 即，结合④得，时，， 即， 所以时，， 设，则时，， 由得，时，， 所以， ， 所以时，， 所以是公差为等差数列，所以时，， 又由①得，所以， 又，， 所以，所以，又，所以，， 所以时，符合此式， 所以. 方法2： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时由得，③， 同理，时，④， 由③得，成等差数列，设公差为, 成等差数列，设公差为； 由④得，成等差数列，公差为， 成等差数列，设公差为； 成等差数列，设公差为； 所以，， ， ，所以， 又由①得，所以⑤， 同理 ， 所以，与⑤联立解得， 所以， 故，， 所以时，符合此式， 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是要求，得求出的递推关系式，而由求出的递推关系式. 17．(1) (2) 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 18．(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求的通项公式； （2）可求得，进而可得结论. 【详解】（1）因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． （2）由（1），， 所以， 所以． 20．(1)； (2)①或；②证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件及“数列”的定义，列出方程组并求解即得. （2）①由数列为“数列”可得，再由，即可求出结果；②根据数列为“数列”可得，构造函数，再按均为偶数；为偶数，为奇数；均为奇数分类，结合导数的方法进行处理，推理即得. 【详解】（1）由首项为，公差为的等差数列是“数列”，得， 即，解得， 所以d的值是. （2）①由数列为“数列”，得，而数列为等比数列，公比为q， 当时，无解，则，，整理得， 而，则当时，；当时，， 所以或. ②由数列为“数列”， 得，而数列为等比数列，公比为q， 又，则，整理得， 当均为偶数时，由，得，有，不符合题意； 当为偶数，为奇数时，，不符合题意； 当均为奇数时，，令， 求导得， 令，，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 即，因此函数在上单调递增，即，不符合题意， 所以为奇数，为偶数. 【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$