25.2 用列举法求概率 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

25.2　用列举法求概率 第1课时　简单事件的概率 知识导航 用列举法求概率 在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率. 注意:要不重不漏. 典例导思 题型一 用列举法求简单事件的概率 例1 (1)现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是 (　 　) A. B. C. D. B (2)有5张正面分别写有数字-3,-2,-1,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为k,则使关于x为自变量的一次函数y=kx+(k+3)不经过第三象限,且k不是一元二次方程x2+x-2=0的解的概率是  　. 跟踪训练 1.如图所示,一只蚂蚁从点A出发到点D,E,F处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C都是岔路口),那么,蚂蚁从A点出发到达E处的概率是  　. 2.从甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名参加社区志愿者服务活动,则甲、乙两人都没被选到的概率是  　. 题型二 几何概率型 例2 如图所示,A,B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点,在格点中任意放置点C,恰好能使△ABC的面积为1的概率是  　. (图中带色的点为符合要求的格点) [方法点拨] 本题可采取找到符合要求的一点(注意AB的两侧均存在),然后过这个点作AB的平行线,看此线穿过多少个格点,此法易做到不重不漏. 跟踪训练 3.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是 (　 　) A. B. C. D. D 4.如图,在5×5的正方形网格中已有5块被涂成阴影,则在未涂的空格中,任选一格涂成阴影,可使阴影部分成为轴对称图形的概率是  　. $$第2课时　用列表法求概率 知识导航 用列表法求概率 当一次试验要涉及　 　因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法. 两个 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,以及某一事件发生的可能的次数和方式,并求出概率的方法. 温馨提示:(1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时,求概率的问题; (2)列表法适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率. 典例导思 题型一 用列表法求概率 例1 如图,甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份,每份内均标有数字.分别旋转这两个转盘,将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘. (1)请将所有可能出现的结果填入如下表: 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 (2)从1~12这12个整数中,随机选取1个整数,该数不是(1)中所填数字的概率为  　. 跟踪训练 1.(2023·重庆B卷)有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片,将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字后放回,洗匀后再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是  　. 2.某书店有一个抽奖活动,其规则是:准备3张大小一样,背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》,将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张,抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍. (1)在上面的活动中,如果从中随机抽出一张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出一张卡片,请用列表的方法,求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率; 解:(1)先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记作A,B1,B2,然后列表如下: 总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而2张卡片都是《辞海》的有2种:(B1,B2),(B2,B1), ∴P(2张卡片都是《辞海》) ==. (2)再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为,那么应添加多少张《消防知识手册》卡片?请说明理由. (2)设再添加x张和原来一样的《消防知识手册》卡片,由题意,得=,解得x=4. 经检验,x=4是原方程的根. ∴应添加4张《消防知识手册》卡片. 题型二 利用概率判断游戏公平性 例2 在一个不透明的口袋里有分别标注2,4,6的3个小球(小球除数字不同外,其余都相同),另有3张背面完全一样,正面分别写有数字6,7,8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球,再从3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片. (1)请你用列表的方法,表示出所有可能出现的结果; 解:(1)列表如下: (2)小红和小莉做游戏,制定了两个游戏规则. 规则1:若两次摸出的数字,至少有一次是“6”,小红赢;否则,小莉赢. 规则2:若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时,小红赢;否则,小莉赢. 小红要想在游戏中获胜,她应该选择哪一种规则?请说明理由. (2)规则1:由(1)可知,至少有一次是“6”的情况有5种, ∴小红赢的概率是P(至少有一次是“6”) =, 小莉赢的概率是. ∵ >,∴此规则小红获胜的概率大. 规则2:摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍的有(2,6),(2,8),(4,8),(6,6),共4种情况, ∴小红赢的概率是P(卡片上的数字是球上数字的整数倍)= ,小莉赢的概率是. ∵ >,∴此规则小莉获胜的概率大, ∴小红要想在游戏中获胜,她应该选择“规则1”. 跟踪训练 3.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次,小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,则我赢.”小红赢的概率是  　,据此判断该游戏　 　(填“公平”或“不公平”). 不公平 4.甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用x,y表示.若x+y为奇数,则甲获胜;若x+y为偶数,则乙获胜. (1)用列表法求(x,y)所有可能出现的结果总数; 解:(1)列表如下: (x,y)所有可能出现的结果共有16种. (2)你认为这个游戏对双方公平吗?请说明理由. (2)这个游戏对双方公平.理由如下: 由表格可知,在16种可能出现的结果中,每种结果出现的可能性相等. ∵x+y为奇数的有8种情况, ∴P(甲获胜) ==. ∵x+y为偶数的有8种情况, ∴P(乙获胜) ==, ∴P(甲获胜)=P(乙获胜), ∴这个游戏对双方公平. $$第3课时　用树状图求概率 知识导航 1.用树状图求概率 当一次试验要涉及三个或更多的因素时,列表就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 注意:画树状图求概率的步骤(如下图): ①把第一个因素所有可能的结果列举出来; ②随着事件的发展,在第一个因素的每一种可能上都会发生第二个因素的所有的可能; ③随着事件的发展,在第二个因素的每一种可能上都会发生第三个因素的所有的可能. 2.列表法和画树状图法的区别与联系: (1)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用画树状图法; (2)当试验在三步或三步以上时,用画树状图法更方便. 典例导思 题型一 用画树状图法求两步试验的概率 例1 一个不透明的口袋中装有4个大小、质地完全相同的乒乓球,球面上分别标有数-1,2,-3,4.摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的3个球中任意摸出1个球. (1)用画树状图的方法表示两次摸球的情况; 解:(1)画树状图如答案图1. (2)求乒乓球球面上的数之和是正数的概率. (2)画树状图如答案图2. 共有12种等可能的结果,其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种, ∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为=. 跟踪训练 1.如图所示,小明、小刚利用两个转盘进行游戏,规则为小明将两个转盘各转一次,如配成紫色(红与蓝),小明胜,否则小刚胜,此规则 (　 　) A.公平 B.对小明有利 C.对小刚有利 D.公平性不可预测 C 2.某中学为进一步提高研学质量,着力培养学生的核心素养,选取了A“青少年科技馆”,B“中都文庙”,C“城市展馆”,D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动.学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生,了解他们对研学活动的看法,已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生. 解:(1)∵基地D的学生中恰有两名女生,则有2名男生,画树状图如答案图. (1)请用画树状图的方法列举出所有可能的情况; (2)求出所选两人都是男生的概率. (2)由(1)可知共有12种等可能的结果,其中所选两人都是男生的结果有2种, ∴所选两人都是男生的概率为=. 题型二 用画树状图法求三步试验的概率 例2 有2部不同的电影A,B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看. (1)求甲选择电影A的概率; 解:(1)∵甲可选择电影A或B, ∴甲选择电影A的概率为. (2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率.(请用画树状图的方法给出分析过程,并求出结果) (2)甲、乙、丙3人选择电影情况如答案图. 由图可知总共有8种情况,甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种, ∴P(甲、乙、丙3人选择同一部电影) ==. 跟踪训练 3.同时投掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面朝上的概率是 (　 　) A. B. C. D. B 4.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字1,2;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数字3,4,5;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字6,7.从三个口袋中各随机取出1个小球,用画树状图求: (1)取出的3个小球上恰好只有一个偶数数字的概率; 解:画树状图如答案图所示. ∵共有12种等可能的结果,取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况, ∴取出的3个小球上恰好只有一个偶数数字的概率是. (2)取出的3个小球上全是奇数数字的概率. 解:画树状图如答案图所示. ∵共有12种等可能的结果,取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况, ∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是=. $$