3.1.认识晶体课后练习2023-2024学年下学期高二化学鲁科版(2019)选择性必修2

2024-09-19
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3.1.认识晶体课后练习2023-2024学年下学期高二化学鲁科版(2019)选择性必修2 一、单选题 1.对物质的研究可改善我们的生活。下列描述错误的是 A.纳米晶体会有不同于大块晶体的特性,主要原因是晶体的表面积增大 B.用X射线衍射摄取石英玻璃和水晶的粉末得到的图谱是相同的 C.超分子具有分子识别与自组装的特征 D.等离子体和离子液体都具有良好的导电性 2.化学与生产、生活密切相关,下列说法错误的是 A.推广使用可降解塑料聚乳酸,能减少白色污染 B.三星堆青铜大立人以合金为材料,其深埋于地下生锈是因为发生了析氢腐蚀 C.液晶既有液体的流动性、形变性和黏度,又有类似晶体的各向异性 D.汽车防冻液的主要成分为乙二醇,其沸点高的原因是易形成分子间氢键 3.晶体具有各向异性,如石墨在与层垂直的方向上的电导率是与层平行的方向上的电导率的。晶体的各向异性主要表现在 ①硬度 ②导热性 ③导电性 ④光学性质 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 4.下列物质的化学式能表示分子式的是 A.NaCl B.SiO2 C.Ar D.Na 5.下列说法不正确的是 A.液晶具有液体的流动性,在某些物理性质方面具有类似晶体的各向异性 B.超分子的特征是分子识别和分子自组装 C.电子跃迁时,会吸收或放出特定的能量产生原子光谱 D.等离子体基本构成粒子只有阴、阳离子 6.下列区别晶体和非晶体最可靠的方法是 A.观察形状 B.光谱仪测定 C.X射线衍射法 D.质谱仪测定 7.钴的一种化合物的晶胞结构如图所示,下列说法错误的是 A.元素钛在元素周期表中的位置为第四周期ⅣB族 B.基态的核外电子排布式为 C.该化合物的化学式为 D.与距离最近的有4个 8.中国首个自主研制的火星探测器“天问一号”成功实现火星捕获,迈出了中国行星探测的第一步.下列说法正确的是 A.航天防热涂层中的酚醛树脂是通过加聚反应制得的 B.温控系统中的镁铝合金熔点比纯铝高 C.在探测器“落”“巡”任务中发挥作用的纳米气凝胶能产生丁达尔效应 D.新型铝基碳化硅复合材料中的增强体是分子晶体 9.钴的一种化合物的晶胞结构如图,已知晶胞参数为,A点的原子坐标参数为,B点为。下列说法中错误的是 A.与最近的是 B.的配位数为6 C.该物质的化学式为 D.C点的原子坐标参数为 10.图甲为锑钾(Sb-K)合金的立方晶胞结构,图乙为晶胞的。下列说法正确的是    A.锑钾合金的熔点比金属钾的高 B.该合金的组成可表示为 C.与Sb最邻近的K原子数为4 D.K和Sb之间的最短距离为pm 11.下图是某物质的分子结构模型图,下列有关该物质的说法中错误的是 A.分子式为TiC B.是共价化合物 C.Ti位于元素周期表的第四周期第ⅣB族 D.Ti与C之间形成的是极性键 12.金刚砂与金刚石具有相似的晶体结构,硬度为9.5,熔点为2700°C,其晶胞结构如图所示。下列说法错误的是 A.金刚砂的化学式为SiC B.金刚砂和金刚石中C的配位数相同 C.C-Si键的长度为apm,则晶胞边长为2 apm D.C位于Si构成的四面体空隙中 13.如图所示是晶体结构中具有代表性的最小重复单元(晶胞)的排列方式,图中○—X、●—Y、⊗—Z。其对应的化学式不正确的是 A. B. C. D. 14.硒化锌是一种重要的半导体材料,其晶胞结构如图甲所示。已知晶胞参数为q nm,乙图为晶胞的俯视图,a点的原子分数坐标为。 下列说法正确的是 A.晶胞中硒原子的配位数为12 B.晶胞中d点的原子分数坐标为 C.相邻两个Zn原子的最短距离为nm D.Zn和Se在元素周期表中分别位于d区与p区 15.磷化硼(BP)是一种超硬耐磨涂层材料,其晶胞结构如图所示。下列能正确表示硼、磷原子沿着晶胞体对角线及其延长线方向的分布规律(原子的比例大小和相对位置)的是    A.   B.   C.   D.   16.二茂铁的发现是有机金属化合物研究中具有里程碑意义的事件,它开辟了有机金属化合物研究思维新领域。已知二茂铁的熔点是(在以上能升华),沸点是,不溶于水,易溶于苯、乙醚等有机溶剂。下列说法正确的是 A.在二茂铁中,与之间形成的化学键类型是离子键 B.二茂铁属于离子晶体 C.中键和π键个数之比为 D.已知环戊二烯的结构式为,则分子环戊二烯中有2个碳原子采用杂化 17.元素周期表可以有多种表示方法,如图1为八角形元素周期表,八角形的每个顶角对应一种元素,下列说法错误的是    A.图1中沿虚线箭头方向,元素单质的还原性逐渐增强 B.元素第一电离能大小关系:②>①>④ C.最简单气态氢化物分子的键角:②>⑥ D.Na与③、④可形成冰晶石(已知(熔融),形成的晶胞如图2所示,其中黑球代表,该晶体密度为g⋅cm 18.下列关于晶体的说法中正确的是 A.具有各向异性的固体可能是晶体 B.晶胞是晶体中最小的平行六面体 C.晶胞中的任何一个粒子都属于该晶胞 D.用玻璃制成的具有规则几何外形的弹珠是晶体 19.AlN具有耐高温、抗冲击等优良品质,广泛应用于电子工业、陶瓷工业,其晶胞结构如图所示。下列说法错误的是 A.AlN晶体属于离子晶体 B.N2分子中σ键和π键数目之比为1:2 C. AlN晶体中含有配位键 D.基态Al原子的价电子排布式为3s23p1 20.第VA族元素的原子可与Cl结合形成NCl3、AsCl3、AsCl5等分子。化合价为+3的铬的卤化物有CrF3、CrCl3等,制备三氯化铬的主要反应式为Cr2O3+3CCl42CrCl3+3COCl2。CrCl3溶于水得到的配合物为[Cr(H2O)4Cl2]Cl。已知CrCl3、CrF3的熔点依次为83℃、1100℃。下列有关物质的说法正确的是 A.[Cr(H2O)4Cl2]Cl的中心离子配位数为7 B.CCl4是极性键形成的非极性分子 C.CrCl3和CrF3晶体类型相同 D.1mol[Cr(H2O)4Cl2]Cl和足量硝酸银溶液反应生成3molAgCl 21.锗(Ge)是典型的半导体元素,在电子、材料等领域应用广泛。Ge与碳是同族元素,碳原子之间可以形成双键、三键,但Ge原子之间难以形成双键或三键。Ge单晶的晶胞结构类似于金刚石,如图。(=1.732,π=3.14)(注:晶胞中所有的球是等径硬球,且A球和D球相切)下列说法错误的是 A.原子坐标参数表示晶胞内部各原子的相对位置,其中原子坐标参数A为(0,0,0),则C(,,0),D(),B(,0,) B.碳原子之间可以形成双键、三键,但Ge原子之间不能形成的原因是Ge原子的半径大,原子间形成的σ单键长,p-p轨道肩并肩的重叠程度小 C.若Ge原子半径为r,Ge单晶晶胞边长为a,Ge原子在晶胞中的空间占有率为34%(一个晶胞中构成晶体粒子在整个晶体空间中所占的体积百分比) D.两个最近的Ge原子之间的距离为(Ge单晶晶胞边长为a) 22.阿伏加德罗常数约为6.02×1023mol-1,下列说法中一定正确的是 A.60gSiO2晶体中含有2×6.02×1023个Si-O键 B.石墨烯是由碳原子构成的单层片状结构的新材料(结构示意图如图1所示),则0.12g石墨烯中含有6.02×1022个碳原子 C.720gC60晶体(如图2所示)中含有6.02×1023个晶胞结构单元 D.14g两种烯烃CnH2n和CmH2m的混合物,含有共用电子对数目为3×6.02×1023 23.类比方法是学习化学的重要方法。下列说法正确的是 A.同样是第ⅣA族,干冰(固态CO2)形成分子晶体,SiO2也形成分子晶体 B.同样是三原子分子,二氧化硫分子有极性,则二氧化碳分子也有极性 C.SO2的分子结构为Ⅴ形,则同主族的三原子分子O3的分子结构也为Ⅴ形 D.同周期原子的第一电离能:Be大于Li,则O也大于N 24.下列关于晶体的叙述不正确的是 A.CaF2的晶胞结构如图,C点的坐标为(,,) B.氯化钠晶体中,每个Na+周围紧邻6个Cl- C.氯化铯晶体中,每个Cs+周围紧邻8个Cl- D.1个干冰晶胞中含有4个二氧化碳分子 25.在硅酸盐中,四面体(如图甲为俯视投影图)通过共用顶角氧原子可形成单链状(图乙)、双链状(图丙)等多种结构。其中,石棉为由钙、镁离子以离子数1∶3的比例与单链状硅酸根离子形成的一种硅酸盐,下列说法不正确的是 A.硅氧四面体结构决定了大多数硅酸盐材料硬度高 B.单链状硅酸盐中硅氧原子数之比为1∶3 C.石棉的化学式为 D.双链状硅酸盐中硅氧原子数之比为2∶5 二、填空题 26.晶体的共性 (1)晶体物质各个部分的宏观性质总是 ,例如具有相同的密度、相同的化学组成等。 (2)晶体总能自发地形成 外形。 (3)晶体都具有确定的 。 27.测定过程:当单一波长的X射线通过晶体时,X射线和晶体中的 相互作用,会在记录仪上产生分立的 或者明锐的 。 28.Ⅰ.硒—钴—镧La 三元整流剂在导电玻璃中应用广泛,且三种元素形成的单质及其化合物均有重要的应用。请回答下列问题: (1)钴位于元素周期表中 (填“s”、“p”、“d”或“ds”)区,与钴位于同一周期且含有相同未成对电子数的元素有 种。 (2)元素Se 、O、N 的第一电离能由大到小的顺序 。 硒的某种氧化物为链状聚合结构如图所示,该氧化物的化学式为 。    (3)二硒键和二硫键是重要的光响应动态共价键,其光响应原理可用图表示。    已知光的波长与键能成反比,则图中实现光响应的波长: λ1 λ 2 (填“>”、“<”或“=”),其原因是 。 Ⅱ. (4)ZnO 的晶胞结构如下图,则 Zn2+的配位数为 ;已知晶胞参数为 a cm,该晶体的密度为 g cm-3(写出计算式,阿伏加德罗常数的值为 NA)。    试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C D C D C A B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A C B B A C B A A B 题号 21 22 23 24 25 答案 D D C A D 1.B 【详解】A.纳米晶体的表面积更大,因此有不同于大块晶体的特性,A正确; B.石英玻璃为非晶态SiO2,水晶为晶态SiO2,二者研成粉末摄取的X射线衍射图谱不相同,B错误; C.分子识别与自组装是超分子的特征,C正确; D.等离子体和离子液体都具有良好的导电性,D正确;故答案为B。 2.B 【详解】A.可降解塑料聚乳酸能自行降解,减少白色污染,A正确; B.青铜深埋于地下生锈是因为发生了吸氧腐蚀,B错误; C.液晶具有特殊的性质,既有液体的流动性、形变性和黏度,又有类似晶体的各向异性,C正确;   D.乙二醇易形成分子间氢键,导致去哦沸点高,D正确; 故选B。 3.D 【详解】晶体具有各向异性,主要表现在硬度、导热性、导电性、光学性质等多项物理性质中;故选D。 4.C 【详解】A.NaCl是离子化合物,不存在分子,故A不符合题意; B.SiO2是共价晶体,不存在分子,故B不符合题意; C.Ar是惰性气体,是分子,故C符合题意; D.Na由金属原子组成,不存在分子,故D不符合题意; 此题选C。 5.D 【详解】A.在一定范围内存在液体流动性,也存在晶体各向异性的物质,称之为液晶,故A正确; B.超分子的特征是分子识别和分子自组装,故B正确; C.原子核外电子发射光子形成的光谱称为原子发射光谱,吸收光子能量形成的光谱称为原子吸收光谱,故C正确; D.等离子体是由电子、阳离子和电中性粒子组成的整体上呈电中性的物质聚集体,故D错误; 故答案选D。 6.C 【详解】构成晶体的粒子在微观空间里呈现周期性的有序排列,晶体的这一结构特征可以通过X-射线衍射图谱反映出来,因此区分晶体和非晶体的最可靠的科学方法是对固体进行X-射线衍射实验,故选C。 7.D 【详解】A.钛的原子序数为22,在元素周期表中的位置为第四周期ⅣB族,A正确; B.Co原子失去最外层的两个电子形成,故基态的核外电子排布式为,B正确; C.该晶胞中,的个数为1,的个数为,的个数为,则该化合物的化学式为,C正确; D.由晶胞图可知,与距离最近的有8个,D错误; 答案选D。 8.C 【详解】A.酚醛树脂是通过缩聚反应制得的,A错误; B.镁铝合金的熔点比纯铝低,B错误; C.纳米气凝胶属于胶体,能产生丁达尔效应,C正确; D.是共价晶体,D错误; 故选C。 9.A 【详解】A.与的最近距离为棱长的,与的最近距离为棱长的,所以与距离最近的是,A错误; B.由晶胞结构图可看出,距离最近的个数为6,则的配位数为6,B正确; C.晶胞中,位于顶角的个数为,位于面心的个数为,位于体心的个数为1,则该物质的化学式为,C正确; D.C点位于晶胞的体心,则C点的原子坐标参数为,D正确; 故选A。 10.B 【详解】A.合金的熔点低于成分金属的熔点,锑钾合金的熔点比金属钾的低,故A错误; B.根据均摊原则,晶胞中K原子数为 ,Sb原子数为,该合金的化学式为K3Sb,故B正确; C.根据图示,晶胞中与Sb最邻近的K原子上下2层,每层各4个,故共为8,故C错误; D.K和Sb之间的最短距离为小正方体的体对角线的二分之一,也就是晶胞体对角线的四分之一,故为pm,故D错误; 故选B。 11.A 【详解】A.该模型是一个分子的结构模型,即它不是晶胞,所以确定其组成时不能按均摊法进行计算,观察结构模型图知,分子中有14个钛原子、13个碳原子,故分子式为,A项错误; B.钛与碳原子间形成的是共价键,该物质是共价化合物,B项正确; C.Ti是22号元素,位于元素周期表的第四周期第ⅣB族,C项正确; D.该物质由分子构成,则钛与碳原子间形成的是极性共价键,D项正确; 答案选A。 12.C 【详解】A.晶胞中C原子位于顶点和面心,一个晶胞中C原子数目为,Si原子位于晶胞内部,一个晶胞中Si原子数目为4,化学式为SiC,A正确; B.由结构可知,金刚砂和金刚石中C的配位数相同,均为4,B正确; C.设晶胞边长为x,则,,C错误; D.由结构可知,C位于Si构成的四面体空隙中,D正确; 故选C。 13.B 【详解】A.图中X、Y均处于顶点,且个数均为4,个数比为1:1,化学式为XY,故A正确; B.Y有8个位于顶点,个数为8×=1,X位于体心,个数为1,个数比为1:1,化学式为X2Y,故B错误; C.图中X的数目:4×+1=,Y的数目:4×=,化学式X3Y正确,故C正确; D.图中,X的数目:8×=1,Y的数目:6×=3,Z位于体心,数目为1,化学式XY3Z,故D正确; 故选:B。 14.B 【详解】A.该晶胞中Zn原子的配位数是4,则ZnSe晶胞中Se原子的配位数也是4,A错误; B.该晶胞中a点坐标为,b点坐标为,则a原子位于坐标原点,b原子在坐标轴正方向空间内,由图乙可知d原子也在坐标轴正方向空间内,且到x轴、y轴、z轴的距离分别为,即d原子的坐标为,B正确; C.面对角线的两个Zn原子距离最短,为,C错误; D.Zn的价层电子排布式为,位于ds区,Se的价层电子排布式为,位于p区,D错误; 故选B。 15.A 【详解】根据磷化硼的晶胞结构可知,晶胞体对角线(P原子和P原子的连线)的中点处没有原子,只在离一端P原子较近处有一个B原子,晶体中晶胞体对角线延长线上的P原子和B原子分布情况按此循环,A项正确,故选A。 16.C 【详解】A.碳原子含有孤电子对,铁原子含有空轨道,两者形成配位键,A错误; B.根据二茂铁的物理性质,熔点低,易升华,易溶于有机溶剂,说明二茂铁为分子晶体,B错误; C.中有10个σ键,2个π键,σ键与π键个数之比为,C正确; D.已知环戊二烯的结构式为,1号碳原子含有4个σ键,无孤电子对,杂化类型为,2、3、4、5碳原子有3个σ键,无孤电子对,杂化类型为,因此仅有1个碳原子采取杂化,D错误; 本题选C。 17.B 【详解】A.虚线箭头方向为同主族元素,同主族元素随核电荷数的递增,元素单质还原性增强,故A说法正确; B.根据图1,分析出①为O,②为N,④为F,同周期从左向右第一电离能逐渐增大,但ⅡA>ⅢA,ⅤA>ⅥA,因此三种元素第一电离能大小顺序是F>N>O,故B说法错误; C.⑥为S,N的简单氢化物为NH3,S的简单氢化物为H2S,NH3中N有1个孤电子对,H2S中S有2个孤电子对,一般来说孤电子对数越多,键角越小,因此NH3的键角大于H2S,故C说法正确; D.黑球位于晶胞的顶角和面心,个数为=4,则晶胞的质量为,晶胞的体积为(a×10-8)3cm3,晶胞的密度为g/cm3=g/cm3,故D说法正确; 答案为B。 18.A 【详解】A.具有各向异性特点的固体一定是单晶体,属于晶体,A正确; B.晶胞是从晶体中“截取”出来具有代表性的最小重复单元,不一定是最小的平形六面体,B错误; C.处于晶胞内部的粒子完全属于该晶胞,处于顶点、面心和棱边上的微粒与其它晶胞共用,C错误; D.玻璃属于混合物,不是晶体,D错误; 故选A。 19.A 【详解】A.AlN熔点高、硬度大,属于共价晶体,A错误; B.N2分子的结构式为N≡N,三键含一个σ键,二个π键,故分子σ键和π键数目之比为1:2,B正确; C.AlN晶体中Al和N形成3个共价键、1个配位键,C正确; D.Al是13号元素,位于第三周期第ⅢA族,基态Al原子的价电子排布式为3s23p1,D正确; 答案选A。 20.B 【详解】A.[Cr(H2O)4Cl2]Cl中配体H2O和Cl-与Cr形成配位键,配位数为6(注意外界Cl-不是配体),故A错误; B.CCl4为正四面体结构,是由C—Cl极性键形成的非极性分子,故B正确; C.已知CrCl3、CrF3的熔点依次为83 ℃、1 100 ℃,说明CrCl3和CrF3晶体类型不同,故C错误; D.1 mol [Cr(H2O)4Cl2]Cl只能电离出1 mol Cl-,和足量硝酸银溶液反应生成1 mol AgCl,故D错误; 故选B。 21.D 【详解】A.根据上图几何关系可知, 原子坐标参数A为(0,0,0),则C(,,0),D(),B(,0,),A正确; B. Ge原子的半径大,原子间形成的σ单键长,p-p轨道肩并肩的重叠程度小,所以难以形成π键,即难以形成双键、三键,B正确; C. 若Ge原子半径为r,Ge单晶晶胞边长为a,则根据几何关系可知,2r=a,上述晶胞中含Ge原子的个数为,所以原子在晶胞中的空间占有率为,C正确; D. 根据上述几何关系可知,两个最近的Ge原子(如A球和D球)之间的距离d为晶胞对角线的四分之一,即d=,D错误; 答案选D。 22.D 【详解】A.60g二氧化硅的物质的量为1mol,含有1mol硅原子,形成了4mol硅氧键,含有4×6.02×1023个Si-O键,故A错误; B.0.12g石墨烯中含有0.12g碳原子,含有0.01molC,即含有6.02×1021个碳原子,故B错误; C.720g C60晶体含有1molC60,根据图示可知,C60晶体为面心立方排布,所以每个C60晶胞有4个C60分子(面心3个,顶点1个),1molC60分子可以形成0.25mol晶胞结构单元,即含有1.505×1023个晶胞结构单元,故C错误; D.烯烃中,1molC可以形成1mol碳碳共用电子对、1molH可以形成1molC-H共用电子对;烯烃的最简式为:CH2,14g混合物中含有1molCH2,能够形成1molC-C共用电子对和2molC-H共用电子对,总共形成3mol共用电子对,含有共用电子对数目为3×6.02×1023,故D正确; 故选D。 23.C 【详解】A.干冰(固态CO2)形成分子晶体,SiO2却是形成原子晶体,故A错误; B.二氧化硫的价层电子对是,分子结构是V型,正负电荷重心不重合,是极性分子,而二氧化碳的价层电子对是,分子结构是直线型,正负电荷重心重合,是非极性分子,故B错误; C. 由B知SO2的分子结构为Ⅴ形,同主族的三原子分子O3的分子结构与SO2的分子结构相似也为Ⅴ形,故C正确; D.同周期原子的第一电离能:Be大于Li,而有反常N大于O,故D错误; 故答案为:C 24.A 【详解】A.观察A、B、C的相对位置,可知C点的x轴坐标是,y轴坐标是,z轴坐标是,A错误; B.在氯化钠的晶胞中,钠离子在棱心和体心时,顶点和面心为氯离子,则每个Na+周围距离相等的Cl-共有6个,B正确; C.氯化绝晶体的晶胞中,铯离子在体心,氯离子在顶点,每个Cs+周围紧邻8个C,C正确; D.在干冰晶胞中,二氧化碳分子位于8个顶点和6个面心的位置,二氧化碳分子数为8×+6×=4,D正确; 答案选A。 25.D 【详解】A.由于硅氧四面体结构的存在,大多数硅酸盐材料硬度高,A正确; B.由图乙可知,每个四面体通过共用两个氧原子与其他四面体连接形成链状结构,所以每个四面体中的硅原子数为1,氧原子数为,即单链状硅酸盐中Si与O的原子数之比为1∶3,B正确; C.石棉为由钙、镁离子以离子数1∶3的比例与单链状硅酸根离子形成的一种硅酸盐,单链状硅酸根离子为,结合元素化合价可确定石棉的化学式为,即,C正确; D.由图丙可知,双链状硅酸盐中有两种硅氧四面体,且数目比为1∶1,其中一种与单链状中的相同,硅氧原子数之比为1∶3,另一种硅原子数为1,氧原子数为,则双链状硅酸盐中硅氧原子数之比为2∶5.5,即4∶11,D错误。 故选D。 26. 相同的 多面体 熔点 【详解】(1)晶体物质各个部分的宏观性质总是相同的,例如具有相同的密度、相同的化学组成等,(2)晶体总能自发地形成多面体外形,(3)晶体都具有确定的熔点,故答案为:相同的;多面体;熔点。 27. 电子 斑点 衍射峰 【解析】略 28.(1) d 2 (2) N>O>Se SeO2 (3) < Se的原子半径比S的原子半径大,Se-Se键的键能比S-S键的键能小,断裂Se-Se键所需要的最低能量小,对应的光波的波长较长。 (4) 4 【详解】(1)钴为27号元素,价层电子排布式为3d74s2,故为d区。钴有3个未成对电子,与钴位于同一周期且含有相同未成对电子数的元素的有钒和砷两种元素; (2)同一主族元素从上到下第一电离能逐渐减小,同一周期主族元素从左向右第一电离能呈增大趋势,氮元素的2p轨道电子处于半充满稳定状态,第一电离能大于同周期相邻元素。元素Se 、O、N 的第一电离能由大到小的顺序N>O>S。从图分析,该氧化物的化学式为SeO2; (3)Se的原子半径比S的原子半径大,Se-Se键的键能比S-S键的键能小,断裂Se-Se键所需要的最低能量小,对应的光波的波长较长,所以图中实现光响应的波长λ1<λ 2; (4)从图分析,一个氧连接4个锌,根据化学式分析,则一个锌连接4个氧,故锌离子的配位数为4。该晶胞中锌的个数为,故一个晶胞含有4个氧化锌,则晶胞的密度为 g cm-3。 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$

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