精品解析：山东省德州市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：第二十一章一元二次方程、第二十二章二次函数． 5．难度系数：中等． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 3. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取和时，所得到的的值相同 D. 将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到该函数图象 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C D. 6. 二次函数向左平移2个单位，向上平移1个单位得到函数解析式（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（ ） A B. C. D. 8. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 12. 已知方程有一根为，则的值为________． 13. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为_______________________． 14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________ 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知一个抛物线经过点，和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 21. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 22. 如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 23. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 24. 如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合） （1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？ （2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm； （3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由． 25. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：第二十一章一元二次方程、第二十二章二次函数． 5．难度系数：中等． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不属于一元二次方程； B、不是整式方程，不属于一元二次方程； C、次数为3，不属于一元二次方程； D、属于一元二次方程； 故选： D 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取和时，所得到的的值相同 D. 将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到该函数图象 【答案】C 【解析】 【分析】把x=0，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是：直线x=2，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D. 【详解】∵二次函数的图象与轴的交点坐标是， ∴A错误； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴是：直线x=2， ∴当时，的值随值的增大而增大， ∴B错误； ∵当取和时，所得到的的值都是8， ∴C正确； ∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象， ∴D错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质，是解题的关键. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．分别讨论a的情况，再根据一次函数与二次函数的图象分布，比较看是否一致即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 当时，则，， 一次函数的图象过一、二、三象限， 二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且关于y轴对称， 当时，则，， 一次函数的图象过二、三、四象限， 二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且关于y轴对称， 只有A选项符合题意， 故选：A． 5. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，由此列方程即可． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 则， 故选A． 6. 二次函数向左平移2个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 【详解】解：抛物线，它的顶点坐标是． 将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是， 所以新抛物线的解析式是：． 故选：D． 7. 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】解：， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 和， ， ， 故选：C． 8. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， 即： 解得：， 且． 故答案为：且． 12. 已知方程有一根为，则的值为________． 【答案】2018 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据方程有一根为得出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程有一根为， ∴，即， ∴， 故答案为：2018． 13. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已知条件可知：，每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：，且，，，， 故每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0， ∵， ∴； 故答案为：0． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项得，利用因式分解法求得； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：移项，得： 因式分解，得： ． 【小问2详解】 解： 解得：． 【点睛】本题考查利用因式分解法求解一元二次方程，正确进行因式分解是解题关键． 18. 已知一个抛物线经过点，和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】（1） （2）顶点坐标为；对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 设 将代入，则 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 21. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 【答案】（1） （2）每盒降价元 （3）当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键． （1）设，根据表格代入即可求解； （2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解； （3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：日销售量为盒， 把代入， 得：， 解得：， 即原来日销售单价为元， 设当日销售单价为元时，销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，， 为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元， 降价为：（元）， 答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元； 【小问3详解】 解：设日销售纯利润为元，由题意得： ， ，， 当时，有最大值元， 答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元． 22. 如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当米时，三根“光带”长度之和的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，用的值表示出，，的长度，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 正确记忆相关知识点是解题关键． 【小问1详解】 解：由题意知，顶点，， 可设该抛物线的函数表达式为， 抛物线过原点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 设点的坐标为，则，， 根据抛物线的轴对称性质，可得， 故， ， ， 当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米． 23. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合） （1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？ （2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm； （3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由． 【答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）△PBQ的面积不能等于7cm2．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可； （2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可； （3）根据三角形的面积公式，列出方程，再利用判别式，即可求解． 【详解】解：根据题意，知 BP=AB-AP=5-t，BQ=2t． （1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2， 根据三角形的面积公式，得 PB•BQ=4， t（5-t）=4， t2-5t+4=0， 解得t=1秒或t=4秒（舍去）． 故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2； （2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理，得 PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25， 5t2-10t=0， ∵t≠0， ∴t=2． 故2秒后，PQ的长度等于5cm； （3）根据三角形的面积公式，得 PB•BQ=7， t（5-t）=7， t2-5t+7=0， △=（-5）2-4×1×7=-3＜0． 故△PBQ的面积不能等于7cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解． 25. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】（1），； （2）面积最大值为，； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$