6.3 反比例函数的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学 九年级上册

3　反比例函数的应用 物理学中常见的反比例函数关系 (1)当压力F一定时,压强p与受力面积S成反比例函数关系,可写成　p=　. (2)当蓄电池的电压U为定值时,电流I与电阻R成反比例函数关系,可写成　I=　. (3)当气体的质量m一定时,密度ρ与体积V成反比例函数关系,可写成　ρ=　. 反比例函数的实际应用 (1)你吃过兰州拉面吗?将一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的变化关系如图1所示(双曲线的一支),如果将这个面团做成粗为0.16 cm2的拉面,则做出来的面条的长度为　800 　cm; (2)如图2所示,制作一种产品的同时,需要将原材料加热,设该材料的温度为y ℃,从加热开始计算的时间为x分钟.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为15 ℃,加热5分钟使材料温度达到60 ℃时停止加热;停止加热后,材料温度逐渐下降,这时温度y与时间x成反比例函数关系. ①分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围; 解:(2)①设加热过程中的函数表达式为y=kx+b. ∴解得 ∴加热过程中的函数表达式为 y=9x+15(0≤x≤5). 设停止加热后的函数表达式为y=. ∴=60,解得a=300, ∴停止加热后的函数表达式为y=(x>5). ②根据工艺要求,在材料温度不低于30 ℃的这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少? ② 根据题意,9x+15=30,=30, 解得x1=,x2=10. 则x2-x1=10-=. ∴对该材料进行特殊处理所用的时间为 分钟. 1.某校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分)之间的关系如图所示(图象由线段OA与部分双曲线AB组成).根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)求药物在燃烧释放过程中,y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围; 解:(1)设双曲线AB的解析式为y=, 将(20,5)代入y=中,得k=20×5=100, ∴双曲线AB的函数解析式为y=. 当y=8时,x=12.5,∴A(12.5,8), ∴线段OA的函数解析式为y=0.64x(0≤x≤12.5), 综上所述,y= (2)根据药物说明书要求,只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时,对预防才有作用,且至少持续作用15分钟以上,才能完全消灭病毒,请问这次消毒是否彻底? (2)将y=4代入y=中,得x=25, 将y=4代入y=0.64x中,得x=6.25. ∵25-6.25=18.75>15, ∴这次消毒很彻底. 反比例函数的综合应用 如图,反比例函数y=(k>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于A,B两点(点A在第一象限). (1)当点A的横坐标为2时,求k的值; 解:(1)在y=x中, 当x=2时,y=×2=, ∴点A的坐标为.∴k=2×=3. (2)若k=12,点C为y轴正半轴上一点,∠ACB=90°. ①求△ACB的面积; (2)①联立解 ∴A(4,3),B(-4,-3),∴AO=BO=5. 又∵∠ACB=90°,∴CO=AO=BO=5,∴C(0,5). ∴S△ACB=×5×4+×5×4=20. ②以A,B,C,D为顶点作平行四边形,求点D的坐标. ② 设点D的坐标为(x,y). i)若AB为对角线,则四边形ACBD是平行四边形, ∴AB与CD互相平分, ∴=,=, ∴x=0,y=-5,∴D(0,-5); ii)若AC为对角线,则四边形ABCD是平行四边形, ∴AC与BD互相平分, ∴=,=, ∴x=8,y=11,∴D(8,11); iii)若BC为对角线,则四边形ACDB是平行四边形, ∴BC与AD互相平分, ∴=,=, ∴x=-8,y=-1,∴D(-8,-1). 综上所述,点D的坐标为(0,-5)或(8,11)或(-8,-1). 2.如图,一动点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC,直线DE分别交x轴、y轴于点P,Q.当=时,图中阴影部分的面积等于  　. 3.如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; 解:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,∴AO=BO. ∵A(-4,0),∴B(4,0). ∵PB⊥x轴,∴P(4,2),∴y2=. 又∵A(-4,0),P(4,2),∴y1=x+1. (2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,请求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由. (2)存在点D,使四边形BCPD为菱形. ∵AC=BC,∴∠CAB=∠ABC. ∵PB⊥x轴, ∴∠APB+∠CAB=90°,∠PBC+∠ABC=90°, ∴∠APB=∠PBC,∴CP=CB. 由y1=x+1,易得C(0,1). 过点C作CD平行于x轴,交PB于点E,交反比例函数图象于点D,连接PD,BD.可求得点D(8,1). ∵BP⊥x轴,∴BP⊥CD. ∴PE=BE=1,CE=DE=4. ∴四边形BCPD是平行四边形. ∵CP=CB,∴四边形BCPD为菱形, 此时点D的坐标为(8,1). $$