第二单元：分数混合运算（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

分数混合运算 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) ( 思维导图 ) ( 知识梳理 ) 知识点一、分数的四则混合运算 1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。 2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。 3、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。 知识点二：分数四则复合应用题 1、分数四则运算： （1）、分数加法：同分母分数相加，分母不变，分子相加；异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法的法则进行计算。 （2）、分数减法：同分母分数相减，分母不变，分子相减；异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法的法则进行计算。 （3）、分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （4）、分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分。 2、方法总结： （1）、认真审题，找出关键语句，确定单位“1”。 （2）、画线段图帮助分析题意。 （3）、分步计算，写清楚每一步的思路。 ( 典例分析 ) 【典例1】水果批发部运来苹果240箱，运来的桃是苹果的，桃的数量又是梨的，运来的梨有多少箱？ 【答案】192箱。 【思路分析】首先把运来苹果的箱数看作单位“1”，运来的桃是苹果的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出运来桃的箱数，再把运来梨的箱数看作单位“1”，桃的数量又是梨的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【解答】解：240 ＝144 ＝192（箱） 答：运来梨192箱。 【名师点评】此题属于基本的分数乘法、分数除法应用题，关键是确定单位“1”，根据一个数乘分数的意义，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的方法解答。 【典例2】小明原来有36枚邮票，他把自己邮票的送给小华后，两人的邮票枚数正好一样多。小华原来有多少枚邮票？ 【答案】18张。 【思路分析】把36张邮票平均分成4份，其中一份是这36张邮票的，是36÷4＝9（张），小明送给小华9张邮票。小明剩下36﹣9＝27（张），这时小华也是27张，减去小明送的9张，就是小华原来的邮票数。 【解答】解：36÷4＝9（张） 36﹣9﹣9 ＝27﹣9 ＝18（张） 答：小华原来有邮票18张。 【名师点评】本题的关键是理解所表示的意义，并根据的意义计算出送给小华的邮票数。 【典例3】红光小学有学生960人，六年级学生人数占全校学生的，六年级的男生人数是全年级人数的，六年级有男生多少人？ 【答案】210人。 【思路分析】首先把该小学生总人数看作单位“1”，六年级学生占全校学生总数的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出六年级学生人数；六年级男生人数是本年级学生人数的，再把六年级学生人数看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出六年级男生人数。 【解答】解：960 ＝360 ＝210（人） 答：六年级男生有210人。 【名师点评】此题属于简单的分数乘法应用题，关键是确定单位“1”，利用基本数量关系解决问题。 【典例4】物流公司要运一批货物，第一次运走了总数的，第二次运走的总数的，这时还有28吨货物没有运完．这批货物一共有多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】把总数看作单位“1”，则剩下的占总数1，对应剩下28吨，用除法即可求出货物的总数，据此解答即可． 【解答】解：28÷（1） ＝28 ＝210（吨） 答：这批货物一共有210吨． 【名师点评】解答此类问题，首先找清单位“1”，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好地解答问题． 【典例5】某厂计划生产3600个零件，上半月完成计划的，下半月完成的相当于上半月的，这样可以超额完成多少个零件？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】把这批零件总个数看作单位“1”，上半月完成计划的，再把下半月完成看作单位“1”，根据分数乘法的意义，下半月完成了总个数的．根据分数乘法的意义，用部个数乘（1）就是超额完成的个数． 【解答】解：3600×（ 1） ＝3600×（1） ＝3600 ＝180（个） 答：超额完成180个零件． 【名师点评】此题主要是考查分数乘法的意义及应用．求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率．也可根据分数乘法的意义，先求出这个月实际完成了多少个，再用实际完成的个数减计划生产的个数． ( 高频考题 ) 1．六（1）班有45人，六（2）班的人数是六（1）班的，六（3）班的人数是六（2）班的，六（3）班有多少人？ 2．一个足球的表面黑色五边形和白色六边形皮共有32块。黑色五边形块数是白色六边形块数的，两种颜色的皮各有多少块？ 3．甲、乙、丙三堆围棋子各有60枚，甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，丙堆中白子枚数是黑子的。三堆中共有白子多少枚？ 4．甲乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，行驶了全程的，距离乙地还有多少千米？ 5．甲、乙各有课外读物若干本，甲又买来18本，这时甲的本数是乙的2倍．如果把这18本给乙，则乙的本数为甲的．甲、乙原来各有课外读物多少本？ 6．晓晓一家去登山，先用25分钟走了全程的一半，又用20分钟走完了全程的，最后用15分钟登上了山顶．他们最后15分钟走了全程的几分之几？ 7．水果店运来圣女果和草莓共120千克，圣女果卖出，草莓卖出后，两种水果一样重。运来的圣女果和草莓各有多少千克？ 8．水果店运来香蕉48筐，运来苹果的筐数是香蕉的，又是梨的．运来梨多少筐？ 9．一根绳子长15米，第一次用去它的，第二次用去米，这根绳子用去多少米？ 10．甲乙两书架共有书118本，如果甲书架借出原有的，乙书架借出6本，则甲、乙两书架余下的书的本数相等，甲、乙两书架原来各有书多少本？ 11．原有5千克的糖，第一次用去，第二次用去2千克，还剩几分之几？ 12．春天到了，农民伯伯给果树浇水。第一天上午浇了全部果树的，下午浇了，第二天上午浇了，这时还剩下全部果树的几分之几没有浇？ 13．一个长方形的周长是70厘米，宽是长的。这个长方形的面积是多少？ 14．学校买来800本书，五年级分得这些书的，四年级分得的本数是五年级的，四年级分得多少本？ 15．北纬30°线贯穿四大文明古国，是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在其附近。已知庐山约有植物2400种，庐山的植物种类约是黄山的，黄山的植物种类约是峨眉山的，那么峨眉山约有植物多少种？ 16．六年级有学生120人，是五年级学生人数的，四年级学生人数比五年级少，四年级有学生多少人？ 17．乐乐用一张8平方分米的卡纸折千纸鹤，先用去整张卡纸的，又用去平方分米，共用去多少平方分米卡纸？ 18．五年级（2）班图书角藏书200本，第一周借出总数的，第二周借出了25本，两周一共借出总数的几分之几？ 19．六年级三个班在一次植树活动中共植树480棵，其中六（1）班和六（2）班植树棵数的比是2：3，六（3）班植树棵数是总数的。三个班分别植树多少棵？ 20．新年到，妈妈在“我爱我家”家庭微信群发了100元的红包。哥哥抢了红包总钱数的，弟弟抢了红包总钱数的。剩下的都是爸爸抢的。爸爸抢了多少钱的红包？ 21．长兴饲养场养牛900头，养羊的只数是牛的，兔的只数又是羊的，这个饲养场养兔多少只？ 22．某村去年植树造林80公顷，今年植树的面积比去年增加了，今年植树造林多少公顷？ 23．为防止疫情扩散，保障人民生命安全，某小区对小区内1200人连夜做核酸检测，第1小时做核酸检测的人数占总人数的，第2小时做核酸检测的人数比第1小时多，第2小时有多少人做了核酸检测？ 24．果园里有桃树720棵，梨树的棵数比桃树少。果园里有梨树多少棵？ 25．仓库在货100吨，第一次运走10吨，第二次运走了剩下的，现在仓库中还剩存货多少吨？ 26．商店运来120台彩电，第一天卖出，第一天卖出的台数正好是第二天的，第二天卖出多少台？ 27．小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，已知第一天比第二天多看20页．这本书共有多少页？ 28．一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应从第几页读起？ 29．一杯250mL的鲜牛奶大约含有g的钙质，占一个成年人一天所需钙质的。一个成年人一天大约需要多少钙质？ 30．一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了第一天的，第二天读了多少页？ ( 答案解析 ) 1．【答案】见试题解答内容 【思路分析】六（1）班有45人，六（2）班的人数是六（1）班的，根据分数乘法的意义，六（2）有45人，又六（3）班的人数是六（2）班的，则用六（2）班人数乘六（3）班占六（2）人数的分率，即得六（3）班有多少人． 【解答】解：4546（人） 答：六（3）有46人． 【名师点评】求一个数的几分之几是多少，用乘法． 2．【答案】白色六边形20块，黑色六边形12块。 【思路分析】由“黑色五边形块数是白色六边形块数的”可知单位“1”是白色六边形块数，设白色六边形有x块，则黑色五边形有x块，根据等量关系式：黑色五边形块数+白色六边形块数＝32块，列方程解答。 【解答】解：设白色六边形有x块。 xx＝32 x＝32 x＝20 32﹣20＝12（块） 答：白色六边形20块，黑色六边形12块。 【名师点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 3．【答案】三堆中共有白子75枚。 【思路分析】因为每堆棋子有60枚，甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，所以甲堆中的白子与乙堆中的白子加起来就是60枚；丙堆中白子枚数是黑子的，则丙堆中白子枚数是60枚的，用6015（枚），即求出丙堆中白子的枚数。进而求出三堆中共有白子的数量。 【解答】解：甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，所以甲堆中的白子与乙堆中的白子加起来就是60枚。 1+3＝4 6015（枚） 60+15＝75（枚） 答：三堆中共有白子75枚。 【名师点评】解答此题的关键是求出：甲堆中的白子与乙堆中的白子加起来就是60枚。 4．【答案】见试题解答内容 【思路分析】把全程看成单位“1”，用全程乘上就是行驶的路程，再用全程减去行驶的路程即得距离乙地还有多少千米． 【解答】解：420﹣420 ＝420﹣300 ＝120（千米） 答：距离乙地还有120千米． 【名师点评】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法． 5．【答案】见试题解答内容 【思路分析】甲多18本后就是乙的2倍，甲此时的本数占此时总本数的，乙多18本后就是甲的 7/8，则甲占此时本数的。根据分数除法的意义，用18本除以（），就是又买来18本后的总本数。再根据分数乘法的意义，此时的总本数乘就是甲多18本后的本数，减18本就是原来的本数；用总本数乘（1）就是乙多18本后的本数，减18本就是原来的本数。 【解答】解：18÷（） ＝18÷（） ＝18 ＝135（本） 13518 ＝13518 ＝90﹣18 ＝72（本） 135×（1）﹣18 ＝135×（1）﹣18 ＝13518 ＝63﹣18 ＝45（本） 答：甲原来有课外读物72本，乙原来课外读物45本。 【名师点评】弄清甲多18本后的占总本数的几分之几，乙多18本后甲占总本数的几分之几，进而弄清18本占总本数的几分之几，根据分数除法的意义，求出此时总本数是关键，也是难点。 6．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据题意，把全程长度看作单位“1”，有全长单位“1”﹣25分钟走的路程占全长的分率﹣20分钟走的路程占全长的分率＝最后15分钟走的路程占全长的分率．即：1． 【解答】解：1 答：他们最后15分钟走了全程的． 【名师点评】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找对单位“1”，利用关系式做题． 7．【答案】运来的圣女果45千克；草莓有75千克。 【思路分析】圣女果卖出，则圣女果剩1；草莓卖出后，则草莓剩1，因为剩下的两种水果一样重，所以有圣女果草莓，根据比例的性质有：圣女果：草莓：，化成最简整数比是圣女果：草莓＝3：5，再按比例分配的方法解答即可。 【解答】解：1 1 圣女果：草莓：3：5 120÷（3+5）＝15（千克） 15×3＝45（千克） 15×5＝75（千克） 答：运来的圣女果45千克；草莓有75千克。 【名师点评】本题的关键是求出圣女果和草莓的数量比是多少。 8．【答案】见试题解答内容 【思路分析】水果店运来香蕉48筐，运来苹果的筐数是香蕉的，把香蕉的筐数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，运来苹果有4840筐，又是梨的，再把梨的筐数看作单位“1”，根据分数除法的意义，用苹果的筐数除以其占梨的筐数的分率，即得梨有多少筐． 【解答】解：48 ＝40 ＝70（筐） 答：运来梨70筐． 【名师点评】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算．已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算． 9．【答案】见试题解答内容 【思路分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第一次用去它的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第一次用去的米数，然后根据加法的意义，用加法把两次用去的米数合并起来即可。 【解答】解：15 ＝3（米） 答：这根绳子用去3米。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握一个数乘分数的意义及应用，分数加法的意义及应用。 10．【答案】80本，38本。 【思路分析】由题意可知，乙书架书的本数比甲书架书的本数的（1）多6本；设甲书架原有x本，则乙书架原有[（1）x+6]本，合起来共118本，根据这个等量关系列方程解答。 【解答】解：设甲书架原有x本。 x+（1）x+6＝118 xx+6＝118 x+6﹣6＝118﹣6 x112 x＝80 118﹣80＝38（本） 答：甲书架原有80本，乙书架原有38本。 【名师点评】利用方程解决问题的关键是找准题目中的等量关系。 11．【答案】。 【思路分析】把5千克看作单位“1”，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法求出第二次用去几分之几，然后根据求剩余问题的方法，用减法解答。 【解答】解：12÷5 答：还剩。 【名师点评】此题考查的目的是理解分数减法、分数除法的意义，掌握分数减法、分数除法的计算法则及应用。 12．【答案】 【思路分析】把全部果树的数量看作单位“1”，根据减法意义，可知剩下分率＝单位“1”﹣第一天上午浇的分率﹣第一天下午浇的分率﹣第二天上午浇的分率。 【解答】解：1 答：这时还剩下全部果树的没有浇。 【名师点评】本题考查分数加减法的运算以及解决实际问题的应用。 13．【答案】300平方厘米。 【思路分析】设这个长方形的长为x厘米，则宽为x厘米，根据长+宽＝周长÷2，列方程求出长后，进一步求出宽，再根据长方形面积公式S＝ab计算即可。 【解答】解：设这个长方形的长为x厘米，则宽为x厘米。 xx＝70÷2 x＝35 x35 x＝20 当x＝20时，x20＝15 20×15＝300（平方厘米） 答：这个长方形的面积是300平方厘米。 【名师点评】解答本题需熟练掌握长方形周长和面积公式。 14．【答案】120本。 【思路分析】先把这些书的总本数看作单位“1”，用总本数乘五年级占的分率，求出五年级分得的本数；再把五年级分得的本数看作单位“1”，用五年级分得的本数乘四年级分得的本数占五年级的分率即可求解。 【解答】解：800 ＝160 ＝120（本） 答：四年级分得120本。 【名师点评】本题主要考查了分数四则复合应用题，解题的关键是求出五年级的本数。 15．【答案】3300种。 【思路分析】先把黄山的植物种类数看作单位“1”，庐山的植物种类约是黄山的，运用分数除法意义求出黄山的植物种类数，再把峨眉山的植物种类数看作单位“1”，黄山的植物种类约是峨眉山山的，运用分数除法意义即可解答。 【解答】解：2400 ＝1500 ＝3300（种） 答：峨眉山约有植物3300种。 【名师点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 16．【答案】140人。 【思路分析】把五年级学生人数看作单位“1”，六年级有学生120人，是五年级学生人数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出五年级学生人数，四年级学生人数比五年级少，也就是四年级学生人数相当于五年级的（1），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。 【解答】解：120（1） ＝140（人） 答：四年级有学生140人。 【名师点评】此题属于基本的分数乘法、分数除法应用题，关键是确定单位“1”，重点是根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出五年级学生人数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出四年级学生人数。 17．【答案】2平方分米。 【思路分析】把这张卡纸的面积看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出这张卡纸的是多少平方分米，再根据加法的意义，把两次用去的合并起来即可。 【解答】解：8 （平方分米） 答：共用求2平方分米卡纸。 【名师点评】此题考查的目的是理解分数乘法、分数加法的意义，掌握分数乘法、分数加法的计算法则及应用。 18．【答案】。 【思路分析】用第二周借出的本数除以图书角藏书总本数，得出第二周借出总数的分率，再与第一周借出总数的分率相加即可。 【解答】解：25÷200 答：两周一共借出总数的。 【名师点评】本题主要考查了分数四则复合应用题，关键是得出第二周借出总数的分率。 19．【答案】六（1）班植树128棵，六（2）班植树192棵，六（3）班植树160棵。 【思路分析】把植树的总棵数看作单位“1”，六（3）班植树棵数是总数的，根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求出六（3）班植树的棵数，又知六（1）班和六（2）班植树棵数的比是2：3，也就是六（1）植树的棵数占还剩的，六（2）植树的棵数占还剩的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。 【解答】解：六（3）班植树： 480160（棵） 六（1）班植树： （480﹣160） ＝320 ＝128（棵） 六（2）班植树： （4800﹣160） ＝320 ＝192（棵） 答：六（1）班植树128棵，六（2）班植树192棵，六（3）班植树160棵。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义，比与分数之间的联系及应用。 20．【答案】50元。 【思路分析】由题意可知，爸爸抢了100元红包的（1），据此解答。 【解答】解：100×（1） ＝100 ＝50（元） 答：爸爸抢了50钱的红包。 【名师点评】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 21．【答案】450只。 【思路分析】先将900头牛看作单位“1”，用900乘，求出养羊的只数；再将羊的只数看作单位“1”，用羊的只数乘，即可求出兔的只数。 【解答】解：900 ＝600 ＝450（只） 答：这个饲养场养兔450只。 【名师点评】解答本题还可以先用乘，求出兔的只数是牛头数的几分之几，再用900乘这个分率。 22．【答案】100公顷。 【思路分析】把去年植树的面积看作单位“1”，用单位“1”加上，可以计算出今年植树的面积占去年植树面积的几分之几，再根据单位“1”的量×部分量的分率＝部分量，可以计算出今年植树造林多少公顷。 【解答】解： ＝100（公顷） 答：今年植树造林100公顷。 【名师点评】本题考查分数应用题的解题方法，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，根据单位“1”的量×部分量的分率＝部分量，列式计算。 23．【答案】108人。 【思路分析】将1200人看作单位“1”，先用1200乘，求出第1小时做核酸检测的人数；再将第1小时做核酸检测的人数看作单位“1”，用第1小时做核酸检测的人数乘（1），即可求出第2小时有多少人做了核酸检测。 【解答】解：1200（1） ＝96 ＝108（人） 答：第2小时有108人做了核酸检测。 【名师点评】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算。 24．【答案】540。 【思路分析】把桃树的棵数看成单位“1”，梨树的棵数比桃树少，那么梨树的棵数就是桃树棵数的（1），用桃树的棵数乘这个分率就是梨树的棵数。 【解答】解：720×（1） ＝720 ＝540（棵） 答：果园里有梨树540棵。 【名师点评】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法求解。 25．【答案】67.5吨。 【思路分析】用货物的总数减去第一次运走的数量，可以计算出剩下的数量，再用剩下的数量乘，计算出第二次运走的数量，最后用第一次运走后剩下的质量减去第二次运走的数量，可以计算出现在仓库中还剩存货多少吨。 【解答】解：100﹣10＝90（吨） 90﹣90 ＝90﹣22.5 ＝67.5（吨） 答：现在仓库中还剩存货67.5吨。 【名师点评】本题解题关键是先用减法计算出第一次运走后剩余的吨数，再根据分数乘法的意义，计算出第二次运走的吨数，最后用减法计算出仓库中还剩存货多少吨。 26．【答案】见试题解答内容 【思路分析】的单位“1”是彩电的总台数，即120台，根据分数乘法的意义，求出第一天卖的台数；的单位“1”是第二天卖的台数，是要求的结果，根据分数除法的意义，即可求出第二天卖出的台数． 【解答】解：120 ＝30 ＝36（台）； 答：第二天卖出36台． 【名师点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题． 27．【答案】见试题解答内容 【思路分析】把全书页数看作单位“1”，有关系式：第一天看的页数﹣第二天看的页数＝20页，根据已知数量占整体的分率，求单位“1”，用除法计算．把数代入计算即可． 【解答】解：20 ＝20 ＝240（页） 答：这本书共240页． 【名师点评】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找对单位“1”，利用关系式做题． 28．【答案】见试题解答内容 【思路分析】先把故事书页数看作单位“1”，依据分数乘法意义，求出第一天看书页数，再求出剩余书的页数，并把此看作单位“1”，依据分数乘法意义，求出第二天看书页数，最后把前两天看书页数相加后加1页即可解答． 【解答】解：120（120﹣120）1， ＝20+（120﹣20）1， ＝20+1001， ＝20+25+1， ＝46（页）， 答：第三天应从第46页读起． 【名师点评】本题主要考查学生依据分数乘法意义解决问题的能力，注意第三天起始看书的页数应该是前两天看书总页数加1页． 29．【答案】g钙质。 【思路分析】把一个成年人一天所需钙质的重量看作单位“1”，依据题意可得：g的钙质占一个成年人一天所需钙质的，依据分数除法意义即可解答。 【解答】解：（g） 答：一个成年人一天大约需要g钙质。 【名师点评】本题考查分数除法的计算及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 30．【答案】15页。 【思路分析】把这本书的页数看作单位“1”，小明第一天读了全书的，第二天读了第一天的，根据求一个数的几分之几是多少先求出第一天读的页数，再求出第二天读的页数。 【解答】解：120 ＝15（页） 答：第二天读了15页。 【名师点评】此题属于基本的分数乘法应用题，关键是确定单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$