12.2　三角形全等的判定 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第1课时　三角形全等的判定（一）（SSS） 1. 边边边公理 三边分别相等的两个三角形 .（可以简写成 “边边边”，用字母表示为“SSS”） 符号语言： 如图，在△ABC 和△DEF 中， 全等　 ∴△ ABC ≌△ DEF （SSS）. 知识导航 注意：（1）在所给的两个三角形中，如果有两边对应 相等，又没有角对应相等时，往往寻找或构造第三组边 也相等，从而利用“SSS”证明全等. （2）证明两个三角形全等的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 知识导航 2. 用尺规作一个角等于已知角 已知α，作∠ AOB ＝α. 知识导航 题型一　利用“SSS”进行证明 已知：如图， AB ＝ CD ， AE ＝ CF ， DE ＝ BF . 求 证： 典例导思 （1）△ABF ≌△ CDE ； 证明：（1）∵ AE ＝ CF ， ∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 AF ＝ CE . 在△ ABF 和△ CDE 中， ∴△ ABF ≌△ CDE （SSS）. 典例导思 （2） AB ∥ CD . 证明：（2）∵△ ABF ≌△ CDE ， ∴∠ A ＝∠ C ，∴ AB ∥ CD . [方法点拨] 用“SSS”证全等时，找相等的边主要有以 下几种方式：①已知相等的边；②中点；③公共边；④ 一部分相等，另一部分是公共边. 典例导思 1. 已知：如图，点 A ， D ， C ， B 在同一条直线上， AD ＝ BC ， AE ＝ BF ， CE ＝ DF ，求证： AE ∥ BF . （第1题） 证明：∵ AD ＝ BC ， ∴ AD ＋ CD ＝ BC ＋ CD ， 即 AC ＝ BD . 在△ ACE 和△ BDF 中， ​ 典例导思 ∴△ ACE ≌△ BDF （SSS）， ∴∠ A ＝∠ B ，∴ AE ∥ BF . （第1题） 典例导思 题型二　利用“SSS”解决实际问题 如图是一个测平架， AB ＝ AC ，在 BC 的中点 D 处 挂一个重锤，自然下垂，使用时调整架身，使点 A 恰好 在重锤线上，就说明此时 BC 处于水平位置，你能说明 其中的道理吗？ 典例导思 解：∵点 D 是 BC 的中点，∴ BD ＝ CD . 在△ ABD 和△ ACD 中， ∴△ ABD ≌△ ACD （SSS），∴∠ ADB ＝∠ ADC . 又∵∠ BDC ＝180°， ∴∠ ADB ＝90°，即 AD 与 BC 垂直. ∵ AD 是垂直于地面的， ∴此时 BC 处于水平位置. 典例导思 2. 如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD ，其中 AB ＝ AD ， BC ＝ DC . 将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ， C 画一条射线 AE ， AE 就是∠ PRQ 的 平分线. （第2题） 典例导思 小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ ABC ≌△ ADC ；②∠ BCA ＝∠ DCA ；③∠ ABC ＝∠ ADC ；④∠ BAE ＝∠ ACD . 其中正确的结论有 .（填序号） ①②③　 （第2题） 典例导思 题型三　添辅助线构造“SSS”证明角相等 如图，已知 AB ＝ DC ， DB ＝ AC . 求证：∠ ABD ＝∠ DCA . 证明：连接 AD . 在△ BAD 和△ CDA 中， ∴△ BAD ≌△ CDA （SSS），∴∠ ABD ＝∠ DCA . 典例导思 [方法归纳] 本题作辅助线的意图是构造全等的三角 形，即两个三角形的公共边，构造公共边是常添的辅 助线之一. 典例导思 3. 如图1，已知∠ AOB ，求作∠ A ' O ' B '，使∠ A ' O ' B ' ＝∠ AOB . 作法如下： ①作射线O'A'； ②以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA 于点 C ， 交 OB 于点 D （如图2）； ③以点O'为圆心， OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'； ④以点C'为圆心， CD 长为半径画弧，与③中所画的弧 相交于点D'； 典例导思 ⑤过点D'画射线O'B'，∠A'O'B'就是所求作的角（如图 3）. （第3题） 作图依据是： ⁠. SSS，全等三角形的对应角相等　 典例导思 4. 如图， AB ＝ AD ， BC ＝ DC ，求证：∠ ABC ＝ ∠ ADC . （第4题） 证明：连接 AC . 在△ ABC 和△ ADC 中， ∴△ ABC ≌△ ADC （SSS）， ∴∠ ABC ＝∠ ADC . 典例导思 $$第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第2课时　三角形全等的判定（二）（SAS） 边角边公理 和它们的 ⁠分别相等的两个三角形全 等.（可以简写成“边角边”，用字母表示为“SAS”） 符号语言： 如图，在△ ABC 和△DEF 中， 两边　 夹角　 ∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）. 知识导航 注意：“SAS”中的角必须是两条边的夹角，而不是其 中一边的对角，两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形 （填“一定”或“不一定”）全等. 如图所示的两个三角形的两组边及一条边的对角分别相 等，很明显这两个三角形不全等. 不一定　 知识导航 题型一　利用“SAS”证明三角形全等 已知：如图， AB ∥ DE ，且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC . 求证：∠ B ＝∠ E . 证明：∵ AB ∥ DE ， ∴∠ A ＝∠ D . ∵ AF ＝ DC ， ∴ AF ＋ CF ＝ DC ＋ CF ， 即 AC ＝ DF . 典例导思 在△ ABC 和△DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）， ∴∠ B ＝∠ E . 典例导思 [方法点拨] 利用“SAS”判定两个三角形全等时，一定 要注意角是两边的夹角.边相等的条件与“SSS”中的条 件相同，角相等的条件有以下几种：①已知相等的角； ②公共角；③对顶角；④角平分线；⑤角的和差；⑥平 行线的性质；⑦垂直；⑧等角的余角或补角；⑨全等三 角形的性质. 典例导思 1. 如图，已知 AD ＝ BC ，若再添加一个条件∠ ADB ＝ ∠ CBD ，证得△ ABD ≌△ CDB ，则证三角形全等的依 据是（　A　） A. SAS B. SSS （第1题） A C. AAS D. ASA 典例导思 2. 如图，△ ABC 是等边三角形， D ， E 在直线 BC 上， DB ＝ EC . 求证：∠ D ＝∠ E . （第2题） 证明：∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB ＝ AC ，∠ ABC ＝∠ ACB ， ∴∠ ABD ＝∠ ACE . 在△ADB 和△AEC 中， ∴△ ADB ≌△ AEC （SAS），∴∠ D ＝∠ E . 典例导思 题型二　全等三角形判定（SAS）与性质的综合运用 如图， AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， AC ＝ BC ， DC ＝ EC ， AE 与 BD 交于点 F . （1）求证： AE ＝ BD ； （1）证明：∵ AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， ∴∠ ACB ＝∠ ECD ＝90°， ∴∠ ACB ＋∠ BCE ＝∠ ECD ＋∠ BCE ， 典例导思 即∠ ACE ＝∠ BCD . 在△ ACE 和△ BCD 中， ∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），∴ AE ＝ BD . 典例导思 （2）求∠ AFD 的度数. （2）解：∵△ ACE ≌△ BCD ，∴∠ A ＝∠ B . 设 AE 与 BC 交于点 O ，则∠ AOC ＝∠ BOF . ∵∠ A ＋∠ AOC ＋∠ ACO ＝∠ B ＋∠ BOF ＋∠ BFO ＝180°， ∴∠ BFO ＝∠ ACO ＝90°， ∴∠ AFD ＝180°－∠ BFO ＝90°. 典例导思 3. 如图，△ ABC 中， D 是 BC 延长线上一点，满足 CD ＝ AB ，过点 C 作 CE ∥ AB 且 CE ＝ BC ，连接 DE 并延长， 分别交 AC ， AB 于点 F ， G . （1）求证：△ ABC ≌△ DCE ； （第3题） 典例导思 （1）证明：∵ CE ∥ AB ， ∴∠ B ＝∠ ECD . 在△ABC 和△DCE 中， ∴△ ABC ≌△ DCE （SAS）. 典例导思 （2）若∠ B ＝50°，∠ D ＝22°，求∠ AFG 的度数. （2）解：∵△ ABC ≌△ DCE ， ∴∠ A ＝∠ D ＝22°， 在△ AGF 中，∠ AGF ＝∠ B ＋∠ D ＝72°， ∴∠ AFG ＝180°－∠ AGF －∠ A ＝ 180°－72°－22°＝86°. （第3题） 典例导思 题型三　利用“SAS”解决实际问题 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示 的卡钳， O 为卡钳两柄的交点，且有 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD . 如果圆形工件恰好通过卡钳 AB ，则此工件的外径 必是 CD 之长，你能说明其中的道理吗？ 典例导思 解：连接 AB ， CD . 在△AOB 和△ COD 中， ∴△ AOB ≌△ COD （SAS），∴ AB ＝ CD . 典例导思 4. 如图， A ， B 两点位于高墙外，不能直接到达.为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出 A ， B 间的距离.学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达点 A 和点 B 的点 O ，连接 AO 并延长到点 C ，使 OC ＝ OA ；连接 BO 并延长到点 ，使 OD ＝ OB ；连接 CD 并测量出 CD 的长度， CD 的长度就是 A ， B 间的距离.请根据以上的信息，说明 AB ＝ CD 的理由. （第4题） 典例导思 解：在△AOB 与△COD 中， ​ ∴△ AOB ≌△ COD （SAS）， ∴ AB ＝ CD . （第4题） 典例导思 题型四　添辅助线——倍长中线构造“SAS”全等 如图， AC 是△ ABD 的中线， AD 是△ ABE 的中 线， BA ＝ BD . 求证： AE ＝2 AC . 证明：如图，延长 AC 到点 F ，使 CF ＝ AC ，连接 DF . ∵ AC 是△ABD 的中线， ∴ BC ＝ DC . 典例导思 在△ABC 和△ FDC 中， ∴△ ABC ≌△ FDC （SAS）， ∴∠ B ＝∠ FDC ， DF ＝ BA . ∵ BA ＝ BD ， AD 是△ ABE 的中线， ∴∠ BAD ＝∠ BDA ， BA ＝ BD ＝ DF ＝ DE ， ∴∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝∠ FDC ＋∠ BDA ＝∠ ADF . 典例导思 在△ ADE 和△ADF 中， ∴△ ADE ≌△ ADF （SAS）， ∴ AE ＝ AF ＝2 AC . [方法总结] 遇到“中点”或“中线”时，可考虑倍长中 线模型，倍长中线构造全等三角形，利用中线的性质证 明三角形全等. 典例导思 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝8， AC ＝6， AD 是 BC 边上 的中线，则 AD 长的取值范围是（　C　） A. 6＜ AD ＜8 B. 2＜ AD ＜4 C. 1＜ AD ＜7 D. 无法确定 （第5题） C 典例导思 $$第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第3课时　三角形全等的判定（三） （ASA与AAS） 1. 角边角公理 两角和它们的 分别相等的两个三角形全等. （可以简写成“角边角”，用字母表示为“ASA”） 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 夹边　 ∴△ ABC ≌△ DEF （ASA）. 知识导航 2. 角角边定理 两角分别相等且其中一组等角的 ⁠相等的两个三 角形全等.（可以简写成“角角边”，用字母表示为 “AAS”） 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 对边　 知识导航 ∴△ ABC ≌△ DEF （AAS）. 注意：（1）两个三角形，如果具备两个角和一边对应 相等，则可判断其全等，但其中“对应”必不可少； （2）三个角分别相等的两个三角形 ⁠（填 “一定”或“不一定”）全等. 不一定　 知识导航 题型一　利用“ASA”证明三角形全等 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， AD 与 CE 交于点 F ，且 AD ＝ CD . （1）求证：△ ABD ≌△ CFD ； （1）证明：∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ ADB ＝∠ CDF ＝∠ CEB ＝90°， ∴∠ BAD ＋∠ B ＝∠ FCD ＋∠ B ＝90°， ∴∠ BAD ＝∠ FCD . 典例导思 在△ABD 和△CFD 中， ∴△ ABD ≌△ CFD （ASA）. 典例导思 （2）已知 BC ＝9， AD ＝6，求 AF 的长. （2）解：由（1）知，△ABD ≌△ CFD ，∴ BD ＝ DF . ∵ BC ＝9， AD ＝ CD ＝6， ∴ BD ＝ BC － CD ＝3， ∴ AF ＝ AD － DF ＝ AD － BD ＝3. 典例导思 证明：∵ DE ⊥ AC ，∠ B ＝90°，∴∠ DEC ＝∠ B ＝90°. ∵ CD ∥ AB ，∴∠ A ＝∠ DCE . 在△CED 和△ABC 中， ∴△ CED ≌△ ABC （ASA）. 1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， CD ∥ AB ， DE ⊥ AC 于点 E ，且 CE ＝ AB . 求证：△ CED ≌△ ABC . （第1题） 典例导思 题型二　利用“AAS”证明三角形全等 如图，在△ ABC 中，点 D 在射线 BC 上，过 AC 的中 点 E 作线段 FG 交 AB 于点 G ，且∠ DCF ＝∠ B . （1）求证：△ AEG ≌△ CEF ； （1）证明：∵∠ B ＝∠ DCF ， ∴ CF ∥ AB ， ∴∠ FCA ＝∠ A ，∠ F ＝∠ FGA . 典例导思 ∵点 E 是 AC 的中点，∴ AE ＝ CE . 在△AEG 和△CEF 中， ∴△ AEG ≌△ CEF （AAS）. 典例导思 （2）若 CF ＝6， AC ＝ BC ＝10， AG ＝3 BG ，求△ ABC 的周长. （2）解：∵△ AEG ≌△ CEF ， ∴ AG ＝ CF ＝6. 又∵ AG ＝3 BG ，∴ BG ＝2，∴ AB ＝8， ∴△ ABC 的周长＝ AB ＋ AC ＋ BC ＝28. 典例导思 如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， 过点 C 在△ ABC 外作直线 MN ， AM ⊥ MN 于点 M ， BN ⊥ MN 于点 N . （1）求证： MN ＝ AM ＋ BN ； （1）证明：∵∠ ACB ＝90°，点 M ， C ， N 在同一条直线上，∴∠ ACM ＋∠ BCN ＝90°. ∵ AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ， ∴∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°， 典例导思 ∴∠ ACM ＋∠ CAM ＝90°，∴∠ CAM ＝∠ BCN . 在△ACM 和△CBN 中， ∴△ ACM ≌△ CBN （AAS）， ∴ AM ＝ CN ， CM ＝ BN ， ∴ MN ＝ CN ＋ CM ＝ AM ＋ BN . 典例导思 （2）如图2，若过点 C 作直线 MN 与线段 AB 相交， AM ⊥ MN 于点 M ， BN ⊥ MN 于点 N ，（1）中的结论是否 仍然成立？成立请说明理由，不成立请说明 MN ， AM ， BN 之间的关系； （2）解：（1）中的结论不成立，结论为 MN ＝ AM － BN . 理由如下： ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ACM ＋∠ BCN ＝90°. ∵ AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ， 典例导思 ∴∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°， ∴∠ ACM ＋∠ CAM ＝90°，∴∠ CAM ＝∠ BCN . 在△ACM 和△CBN 中， ∴△ ACM ≌△ CBN （AAS）， ∴ AM ＝ CN ， CM ＝ BN ， ∴ MN ＝ CN － CM ＝ AM － BN . 典例导思 （3）在图2中，若 MN 与 AB 相交的位置可以改变，（2）中的结论是否一定成立？若不一定成立，你还能得出什么结论？请直接写出这个结论. （3）解：（2）中的结论不一定成立. 还能得到的结论： MN ＝ BN － AM . 典例导思 2. 如图，点 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ ABE ＝∠ C ， AF 平分∠ BAE 交 BE 于点 F ， FD ∥ BC 交 AC 于点 D . （第2题） （1）求证：△ ABF ≌△ ADF ； （1）证明：∵ FD ∥ BC ， ∴∠ ADF ＝∠ C . 又∵∠ ABE ＝∠ C ， ∴∠ ABE ＝∠ ADF . 典例导思 ∵ AF 平分∠ BAE ， ∴∠ BAF ＝∠ DAF . 在△ABF 和△ ADF 中， ∴△ ABF ≌△ ADF （AAS）. （第2题） 典例导思 （2）若 BE ＝7， AB ＝8， AE ＝5，求△ EFD 的周长. （2）解：∵△ ABF ≌△ ADF ， ∴ AD ＝ AB ＝8， BF ＝ DF . ∵ AE ＝5，∴ DE ＝ AD － AE ＝3， ∴△ EFD 的周长＝ EF ＋ DF ＋ DE ＝ EF ＋ BF ＋ DE ＝ BE ＋ DE ＝7＋3＝10. （第2题） 典例导思 题型三　全等判定方法的综合应用 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ ABE ≌△ ADE . 典例导思 证明：在△ DEC 和△ BEC 中， ∴△ DEC ≌△ BEC （ASA），∴ DE ＝ BE . ∵∠3＝∠4，∴∠ AED ＝∠ AEB . 在△ABE 和△ADE 中， ∴△ ABE ≌△ ADE （SAS）. 典例导思 3. 已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图所示， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠1＝∠2.求证： （1） BD ＝ CE ； 证明：（1）在△ ABD 和△ ACE 中， ​ ∴△ ABD ≌△ ACE （SAS），∴ BD ＝ CE . （第3题） 典例导思 （2）∠ M ＝∠ N . 证明：（2）∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠ DAE ＝∠2＋∠ DAE ， 即∠ BAN ＝∠ CAM . 由（1）知△ABD ≌△ ACE ， ∴∠ B ＝∠ C . 又∵ AC ＝ AB ，∠ CAM ＝∠ BAN ， ∴△ ACM ≌△ ABN （ASA）， ∴∠ M ＝∠ N . （第3题） 典例导思 题型四　添辅助线构造“ASA”或“AAS”全等 我们知道，“对称补缺”的思想是解决问题时一种 重要的添加辅助线的策略.请参考这种思想，解决本 题：如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，且 BD 是∠ ABC 的平分线.求证： AE ＝ BD . 典例导思 证明：如答案图，延长 AE ， BC 交于点 F . （答案图） ∵ AE ⊥ BE ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ BEF ＝∠ BEA ＝90°，∠ ACF ＝∠ ACB ＝90°， ∴∠ DBC ＋∠ AFC ＝∠ FAC ＋∠ AFC ＝90°， ∴∠ DBC ＝∠ FAC . 在△ ACF 和△ BCD 中， 典例导思 ∴△ ACF ≌△ BCD （ASA）， ∴ AF ＝ BD . ∵ BD 是∠ ABC 的平分线， ∴∠ ABE ＝∠ FBE . 在△ ABE 和△ FBE 中， ∴△ ABE ≌△ FBE （ASA）， ∴ AE ＝ EF ＝ AF ， ∴ AE ＝ BD . 典例导思 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2， 3），且 AO ＝ BO ，∠ AOB ＝90°，则点 B 的坐标 为 ⁠. （第4题） （－3，2）　 典例导思 $$第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第4课时　三角形全等的判定（四）（HL） 1. 直角三角形全等的判定“HL” ⁠分别相等的两个直角三角形全 等.（可以简写成“斜边、直角边”，用字母表示为 “HL”） 斜边和一条直角边　 知识导航 符号语言： 如图，∠ C ＝∠ F ＝90°， 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC ≌Rt△DEF （HL）. 知识导航 2. 直角三角形全等的五种判定方法 （1） ；（2） ；（3） ⁠； （4）AAS；（5）HL. SSS　 SAS　 ASA　 知识导航 题型一　运用“HL”证明直角三角形全等 如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， DE 是过点 A 的直 线， BD ⊥ DE 于点 D ， CE ⊥ DE 于点 E . （1）若点 B ， C 在 DE 的同侧（如图1），且 AD ＝ CE ，求证： AB ⊥ AC ； 图1 典例导思 （1）证明：∵ BD ⊥ DE ， CE ⊥ DE ， ∴∠ ADB ＝∠ AEC ＝90°. 在Rt△ABD 和Rt△CAE 中， ∴Rt△ABD ≌Rt△CAE （HL）， ∴∠ DAB ＝∠ ECA . ∵∠ EAC ＋∠ ECA ＝90°， ∴∠ EAC ＋∠ DAB ＝90°， ∴∠ BAC ＝180°－（∠ EAC ＋∠ DAB ）＝90°， ∴ AB ⊥ AC . 图1 典例导思 （2）若点 B ， C 在 DE 的两侧（如图2），且 AD ＝ CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出 证明；若不是，请说明理由. 图2 （2）解： AB ⊥ AC . 证明如下： 同（1）可证得Rt△ABD ≌Rt△CAE ， ∴∠ DAB ＝∠ ECA . ∵∠ CAE ＋∠ ECA ＝90°， ∴∠ CAE ＋∠ DAB ＝90°，即∠ BAC ＝90°， ∴ AB ⊥ AC . 典例导思 1. 如图， DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F ，且 DE ＝ BF . 若利用“HL”可直接证明△DEC ≌△ BFA ， 则需添加的条件是（　B　） A. EC ＝ FA B. DC ＝ BA C. ∠ D ＝∠ B D. ∠ DCE ＝∠ BAF （第1题） B 典例导思 2. 如图，已知 BE ⊥ CD 于点 E ，且 BE ＝ DE ， BC ＝ DA ，延长 DA 交 BC 于点 F . 求证： （1）△BEC ≌△ DEA ； 证明：（1）∵ BE ⊥ CD ， ∴∠ BEC ＝∠ DEA ＝90°. 在Rt△BEC 和Rt△DEA 中， ∴Rt△BEC ≌Rt△DEA （HL）. （第2题） 典例导思 （2） BC ⊥ FD . 证明：（2）由（1）知△BEC ≌△ DEA ， ∴∠ B ＝∠ D . 又∵∠ D ＋∠ DAE ＝90°， ∠ DAE ＝∠ BAF ， ∴∠ BAF ＋∠ B ＝90°，即∠ BFA ＝90°， ∴ BC ⊥ FD . （第2题） 典例导思 3. 如图， AC ⊥ AD ， BC ⊥ BD ， AC ＝ BD ，求证： AD ＝ BC . （第3题） 证明：如答案图，连接 DC . ∵ AC ⊥ AD ， BC ⊥ BD ， ∴∠ A ＝∠ B ＝90°. 在Rt△ADC 和Rt△BCD 中， ​ ∴Rt△ADC ≌Rt△BCD （HL），∴ AD ＝ BC . （答案图） 典例导思 题型二　直角三角形全等的综合运用 如图，已知 DE ⊥ AC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， AD ＝ CB ， DE ＝ BF ，求证： AB ∥ DC . 证明：∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ， ∴∠ DEA ＝∠ BFC ＝∠ DEC ＝∠ BFA ＝90°. 在Rt△ADE 和Rt△CBF 中， 典例导思 ∴Rt△ADE ≌Rt△CBF （HL）， ∴ AE ＝ CF ，∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 AF ＝ CE . 在△ABF 和△CDE 中， ∴△ ABF ≌△ CDE （SAS）， ∴∠ BAC ＝∠ DCA ， ∴ AB ∥ DC . 典例导思 [方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时，可考虑证两 次全等或三次全等，证第一次全等是为证第二次全等准 备边或角相等的条件.在分析问题时，可“执因索 果”，也可“执果索因”，这样可使问题简化. 典例导思 4. 下列说法中，正确的有 个. ①两条边对应相等的两个直角三角形全等； ②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等； ③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全 等； ④面积相等的两个直角三角形全等. 3　 典例导思 5. 如图，在△ABC 中，∠ C ＝90°， AD 是∠ BAC 的平分 线， DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在边 AC 上，连接 DF . （1）求证： AC ＝ AE ； （1）证明：∵∠ C ＝90°， DE ⊥ AB ，∴∠ C ＝∠ AED ＝90°.∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 在△ACD 和△AED 中， ∴△ ACD ≌△ AED （AAS），∴ AC ＝ AE . （第5题） 典例导思 （2）若 DF ＝ DB ，试说明∠ B 与∠ AFD 的数量关系； （2）解：∠ B ＋∠ AFD ＝180°.理由如下： 由（1）知，△ACD ≌△ AED ，∴ DC ＝ DE . 在Rt△CDF 和Rt△EDB 中， ∴Rt△CDF ≌Rt△EDB （HL）， ∴∠ CFD ＝∠ B . ∵∠ CFD ＋∠ AFD ＝180°， ∴∠ B ＋∠ AFD ＝180°. （第5题） 典例导思 （3）在（2）的条件下，若 AB ＝ m ， AF ＝ n ，求 BE 的长.（用含 m ， n 的代数式表示） （3）解：由（2）知，Rt△CDF ≌Rt△EDB ， ∴ CF ＝ BE . 由（1）知， AC ＝ AE . ∵ AB ＝ AE ＋ BE ， ∴ AB ＝ AC ＋ BE ＝ AF ＋ CF ＋ BE ＝ AF ＋2 BE . ∵ AB ＝ m ， AF ＝ n ，∴ BE ＝ （ m － n ）. （第5题） 典例导思 $$