第02章 实数 章节测试练习卷-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 实数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．没有平方根 D．2是4的一个平方根 2．若，则（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 5．实数4的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上的点A表示的数是1，，垂足为O，且，以点A为圆心为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．计算： ． 12．比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 13．写出比大且比小的整数是 ． 14．若与的积为，则的值是 ． 15．4的平方根是 ，－64的立方根是 16．已知2x﹣1的平方根是±3，则5x+2的立方根是 ． 17． 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 18．如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ．    三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．在数轴上画出表示的点． 20．求x的值： (1)； (2)． 21．计算 （1）    （2） 22．如图，在某山峰上适当的位置找一点A修建索道口，经测量 A 的垂直高度米，在山下点 B处也修建一个索道口，米，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走 120米，那么大约多少分钟后才能达到山顶？（，结果精确到0.1） 23．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 24．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 25．某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． (1)请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ (2)村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？ 26．（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论． （3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由． ( 2 ) 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考点：1、乘方，2、同底数幂相除，3、二次根式，4、幂的乘方 5．实数4的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平方根的定义：数 的平方等于，则数 叫做另数的平方根，即可选择． 【详解】实数4的平方根由两个，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，关键是理解一个正数的平方根有两个，能正确区分平方根与算术平方根． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质； 根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，原式错误； C.，正确； D.，原式错误； 故选：C． 7．设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 8．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式加减乘除等运算，根据二次根式混合运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 9．下列各式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别化简各项二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，故不符合题意； B选项，，与不是同类二次根式，故不符合题意； C选项，=3，与不是同类二次根式，故不符合题意； D选项，=，与是同类二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及同类二次根式的概念，能正确的化简，并掌握好概念是解题的关键． 10．如图，数轴上的点A表示的数是1，，垂足为O，且，以点A为圆心为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， 又点C在x轴的负半轴上， ∴C点表示的数为． 故选：B． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．计算： ． 【答案】0 【分析】先分别化简负指数幂、零指数幂、立方根，然后再计算，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：0． 【点睛】本题考查了负指数幂、零指数幂以及立方根，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 12．比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 【答案】＜ 【分析】利用平方法比较两数大小关系． 【详解】解：∵7＜9， ∴＜， 即＜3， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查实数比较大小．含有根号的实数在比较大小时，通常采用平方法进行比较． 13．写出比大且比小的整数是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，直接利用，接近的整数是2，进而得出答案，正确得出无理数接近的有理数是解题关键． 【详解】解：设这个数为， ，为整数，且， ． 故答案为：2． 14．若与的积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵与的积为， ∴，即 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题的关键． 15．4的平方根是 ，－64的立方根是 【答案】 ±2 -4 【详解】解：∵（±2）2=4， ∴4的平方根是±2； ∵（-4）3=-64， ∴-64的立方根是-4． 故答案为±2；-4． 16．已知2x﹣1的平方根是±3，则5x+2的立方根是 ． 【答案】3 【分析】先根据平方根定义得出2x﹣1＝9，求出x＝5，求出5x+2的值，最后根据立方根定义求出即可． 【详解】∵2x﹣1的平方根是±3， ∴2x﹣1＝9， ∴x＝5， ∴5x+2＝27， ∴5x+2的立方根是3， 故答案为3 【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x的值，难度不是很大． 17． 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵与是同类二次根式，即被开方数相同， ∴2a-4=2， 解得a=3． 故答案为：3． 18．如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ．    【答案】/ 【分析】由勾股定理求出，从而得出，再由点在数轴上表示的数为得出，最后根据，即可得到答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， 以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 点在数轴上表示的数为， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，利用勾股定理求出是解此题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．在数轴上画出表示的点． 【答案】见解析. 【分析】（1）因为10＝9＋1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可； 【详解】解：（1）因为10＝9＋1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是. 【点睛】本题考查的是作图−复杂作图，熟知是实数与数轴的关系、勾股定理等知识是解答此题的关键． 20．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键． （1）根据先移项、把系数化为1、最后开平方，进行计算即可； （2）根据先移项、再开立方，最后移项合并同类项，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或． （2）∵， ∴， ∴， ∴． 21．计算 （1）    （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先算乘法，再化简二次根式，然后合并即可. 【详解】解：（1）； （2） . 【点睛】本题考查了二次根式的化简与运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算法则和化简的方法是解题的关键. 22．如图，在某山峰上适当的位置找一点A修建索道口，经测量 A 的垂直高度米，在山下点 B处也修建一个索道口，米，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走 120米，那么大约多少分钟后才能达到山顶？（，结果精确到0.1） 【答案】11.2分钟 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，由勾股定理求出，即可求出时间． 【详解】解：由勾股定理可得（米） ∴到达山顶需要得时间是（分钟）． 23．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 【答案】(1)该魔方的棱长 (2)该长方体纸盒的长为 【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键． （1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 可得：， 解得：， 答：该魔方的棱长； （2）解：设该长方体纸盒的长为， 则， 故，解得：， 因为是正数，所以， 答：该长方体纸盒的长为． 24．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1)， (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． 25．某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． (1)请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ (2)村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？ 【答案】(1)回字形福建土楼占地面积为，新中式民宿占地面积为 (2)6 【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，算术平方根的应用： （1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解； （2）结合：，两栋建筑的占地面积均为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：回字形福建土楼占地面积为： ； 新中式民宿占地面积为： ； （2）解：，两栋建筑的占地面积均为， ， ， （负值舍去）， 即a的值为6． 26．（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论． （3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由． 【答案】（1）＝；（2）AD＝ED，证明见解析；（3）△ACE的最大面积为6，． 【分析】（1）求出∠ACH=∠CBN，证明△ACH≌△CBN即可得到AH＝CN； （2）同（1）可证△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，然后可得AH＝CN＝EI，利用AAS证明△EID≌△AHD即可得到AD＝ED； （3）根据全等三角形的性质证明，过点F作FT⊥BC交BC延长线于T，可得FC≥FT，则当FC＝FT＝，即FC与BC垂直时，最大，然后可求出面积的最大值，最后利用勾股定理求出BF即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，， ∴AC=BC，∠ACH+∠BCN=90°， ∵MN⊥PQ于N， ∴∠MNQ=90°，∠BCN+∠CBN=90°， ∴∠ACH=∠CBN， 在△ACH和△CBN中，， ∴△ACH≌△CBN（AAS）， ∴AH＝CN， 故答案为：＝； （2）AD＝ED， 证明：过点A作AH⊥MN于点H，过点E作EI⊥MN于点I， 同（1）可证△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN， ∴AH＝CN，EI＝CN， ∴AH＝EI， 又∵∠EDI＝∠ADH，∠EID＝∠AHD＝90°， ∴△EID≌△AHD（AAS）， ∴AD＝ED； （3）∵，， ∴由勾股定理可得BC＝，CF＝， 如图，∵△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN， ∴，， ∵△EID≌△AHD， ∴， ∴， 过点F作FT⊥BC交BC延长线于T，则， ∵FC≥FT， ∴当FC＝FT＝，即FC与BC垂直时，最大， 此时， ∴△ACE的最大面积为6，此时． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积计算，勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$