空间向量与立体几何-江苏省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江苏省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为的球面三角形，则该球面三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏南通·二模）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，正五棱柱中，，，F为BC的中点，M,N分别为上两动点，且（），则（    ）    A． B．三棱锥的体积随M的位置的变化而变化 C．当N为的中点时，BM平面 D．直线BN与平面BME所成角的正切值最大为 12．（2024·江苏镇江·三模）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成的角相等 B． C．二面角的大小可能为 D．若，则球的表面积为 14．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图1，在中，是的中位线，沿将进行翻折，连接得到四棱锥（如图2），点为的中点，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角为定值 B．直线与平面所成角为定值 C．平面与平面所成角可能为 D．平面与平面所成角可能为 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 三、填空题 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为 ． 17．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知是球上的三个动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为 ． 18．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 19．（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）    20．（2024·江苏常州·二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 . 四、解答题 21．（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. (1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. (2)若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 22．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 23．（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 24．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)求平面与平面的夹角余弦值的范围． 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．    (1)求证：是的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 26．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 27．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，正方形是圆柱的轴截面，已知，点是的中点，点为弦的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 28．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分别是BC，的中点． (1)若M是的中点，证明：平面平面； (2)若M是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求BM长度． 参考答案： 1．C 【分析】根据侧面展开图结合面积公式求出距离和的最小值. 【详解】先把及展开在一个平面上， 当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值， 因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面， 所以， ， ， ， 在，等面积法得， 因为是靠近的三等分点， 所以，所以. 故选：C.    2．B 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 3．A 【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A 4．B 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B 5．C 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由，解得， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和. 6．C 【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得． 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 7．A 【分析】确定球面三角形与球表面积的关系，可求球面三角形的面积. 【详解】设球面三角形. 因为球的半径为2，所以大圆周长为，求的表面积为. 因为球面三角形的各边长均为，所以. 以为球心，建立如图空间直角坐标系： 则球面三角形的面积就是球面在第一卦限内的部分，根据对称性，球面三角形的面积为球面面积的，为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：确定后，关键是弄清楚球面三角形的面积和整个球的表面积之间的数量关系. 8．D 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 9．C 【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解. 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C 10．A 【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积. 【详解】取正方体的中心为，连接， 由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为， 正方体外接球球心为点，半径， 又易得，且， 所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为， 即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为， 由正弦定理可得，即，所以， 即正方体外接球的球心到截面的距离为， 所以截面被球所截圆的半径， 则截面圆的面积为. 故选：A. 11．ACD 【分析】利用线面垂直的判定性质推理判断AC；利用等体积法求三棱锥的体积判断B；确定出线面角并求出正切值的最大值判断D. 【详解】在正五棱柱中， 对于A，由平面，平面，得， 由F为BC的中点，得，而平面， 因此平面，又平面，所以，A正确； 对于B，由选项A知，点到平面的距离为定值，而的底边， 高，则的面积是定值，三棱锥的体积为定值，B错误； 对于C，当N为的中点时，，在矩形中，， 则，，即， 由选项A知，平面，平面，于是， 而平面，因此BM平面，C正确； 对于D，由平面，得与平面所成的角分别为， 则是直线BN与平面BME所成的角，令， 且，因此 ，当且仅当，即点与点重合时取等号，D正确. 故选：ACD 12．BC 【分析】不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，，则点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为，再分、、三种情况讨论，从而确定的位置，即可得到的范围，即可判断A、B；根据正四棱柱的性质可知为直线与平面所成的角，即可得到，从而判断C；（或补角）即为直线与所成的角，再由锐角三角函数求出的范围，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，， 易知，，，，五点共面，且为线段的中点. 因为平面，且平面平面， 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面平面， 所以点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为. 当时，即为棱的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，，此时在矩形外，故在棱柱外部，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，. 且由平面几何知识易得在内，所以在棱柱内部，符合题意. 综上所述，，所以，A选项错误. 因为，所以B选项正确. 在正四棱柱中，平面与平面平行， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，则为直线与平面所成的角， 所以. 所以在中，. 因为，，，，， 所以，C选项正确. 在正四棱柱中，. 所以（或补角）即为直线与所成的角且，，， 则在等腰中，取棱的中点为，， 因为，，，， 所以，而，所以D选项错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题关键是确定的取值范围，将点关于面对称的点，转化为点关于线对称问题，另外一个就是准确的找到线面角，线线角. 13．ABD 【分析】对于A，取的中点得平面，平面，根据可判断A；可判断B；做， 得即为的平面角，若，则，推出矛盾可判断C；根据，求出正方体的外接球半径可判断D. 【详解】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心， 连接，则平面， 因为是的中点，所以，所以平面， 点是是的中点，，所以， 又，所以，所以，故A正确；    对于B，， ， ，故B正确； 对于C，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 做，交于点， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以即为的平面角，若， 则，而在直角三角形中，斜边， 这是不可能的，故C错误；      对于D，若，则，， 所以，外接球半径， ，故D正确.    故选：ABD． 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 14．ABD 【分析】选项A：利用翻折过程中结合直线与平面平行进行判断；选项B:利用线面垂直判断出直线与平面所成角为定值；选项C和D：对于不完整的平面使用面积投影法转化成对应线段的比，结合平面图形进行判断. 【详解】A选项：取中点设为，连结因为为中点，则为的中位线，则， 又是的中位线，则则四边形为平行四边形，则又面， 面则面则直线与平面所成角为定值，故A选项对. B选项：在图2中平面，所以平面， 由A选项知，，故平面，又则 又面面则又面则面 又则面故直线与平面所成角为定值，故B选项对， C选项：由二面角的定义可知为平面与平面所成角的平面角，假设与矛盾，平面与平面所成角不可能为故C选项错误. D选项：由设平面与平面所成角为，由面积投影法知； 若平面与平面所成角可能为 则，即因为所以符合题意，所以平面与平面所成角可能为故选项D正确. 故选：ABD. 15．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面、平面的法向量计算可判断A；根据向量法计算可判断B；当，水面为六边形可判断C；作出水面，利用水面与平面平行，可计算出水面与交点，再计算后即可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面， 设平面的法向量为，， 点到平面的距离为，， ，而， 令，所以平面的法向量为， 对A，，，，， 故平面， 所以平面的法向量为，又， 所以平面平面，故A正确； 对B，，所以到平面的距离为，故B正确； 对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误； 对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则， 则，，故， 设水面与交点为，所以， ，此时过作交于点，连接， 设的面积为,的面积为，则，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，运用空间向量求解. 16． 【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可. 【详解】如图（1）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，是边长为1的等边三角形，.这样的截面有4个； 如图（2）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，四边形是边长为1的正方形，，这样的截面有3个. 所以满足条件的截面的面积之和为：. 故答案为： 17． 【分析】利用体积桥，可确定取得最大值时平面且，由此可构造方程求得球半径，代入球的体积公式可求得结果. 【详解】 设球的半径为， （当时取等号）， 又， 当平面时，，， 球的体积. 故答案为：. 18． 五/5 / 【分析】利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面，然后截面面积为分别求解相加即可. 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 19．10 【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数. 【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.    设实心球半径为，由得：， ，，，. 设小球的半径为，同理，，，， 到直线的距离为. 空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示：   为相邻两球的切点，，分别为球心， 设，则，， 由三角函数性质可知：，， ，，又，， 故小球个数最多为10个,即的最大值为. 故答案为： 20． 【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作， 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，. 取，的中点，，连接，，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面. 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为. 故答案为:. 【点睛】总结点睛： 解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解. 21．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）若选择①②，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择①③，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择②③，则只需证明⊥平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）选择①②，可证明③. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， AC平面ABC，得⊥， 又⊥；，平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以， 若选择①③，可证明②. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， 平面，得， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以． 选择②③，可证明①. 由，是线段的中点，得⊥ 因为⊥，⊥， 平面，， 所以⊥平面． PD平面PDE，得⊥， ,平面，所以⊥平面． 又平面，故平面⊥平面. （2）方法一：由（1），选择①②，则③成立. 取线段的中点F，连接， 则由，及是线段的中点， 得⊥. 由（1）知，⊥平面， 以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且， ，得，得 所以由，是线段的中点，⊥，得： . 所以，，，. 设面与面的法向量分别为，， 则 ， 得：，所以面的一个法向量为. ， 得：，所以面的一个法向量为. 设平面与平面所成二面角为， 则， 因为，所以面与面所成二面角的大小为． 方法二：延长交的延长线于Q，连接， 则平面与平面. 由三棱锥的体积为，且， ，得，解得. 又由，及是线段的中点，⊥， 在等腰直角三角形中，，， 连结CD，在中，，，， 在等腰直角三角形中，，， 在中，， 在中，由，所以， 又由（1）知，⊥平面，是在面内射影， 由三垂线逆定理得：， 则即为二面角的平面角， ， 所以面与面所成二面角的大小为. 22．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形以及梯形面积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量法求解即可. 【详解】（1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据线面平行，面面平行定理即可证明； (2)建立合适坐标系，将各个点用坐标表示出来，再根据向量垂直列出方程式，求解即可 【详解】（1）因为，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，因为， 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在四边形中，因为，，，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，，，，，，， ，， 设，则， 设为平面的法向量， 则，即，故取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 两边同时平方得 所以，解得，或（舍去）， 所以，所以.    【点睛】关键点点睛：需要构造合适的坐标系，根据各个边的长度确定其各个点坐标，用坐标表示向量，设出平面的法向量，代入可解得. 24．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【详解】（1）设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2）由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． （3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取 ，不妨设， ，，因此随增大而增大 因此． 【点睛】方法点睛：涉及最值问题时，若无法利用函数的性质以及基本不等式解决，可以考虑使用导数进行求解. 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行得到线线平行，从而得到四边形为平行四边形，，得到结论； （2）作出辅助线，得到，结合三角形全等得到，从而证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 平面平面．所以， 又由梯形可得，所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点． （2）连接，由（1）知是的中点，， 故，故， 因为， 所以，故，即， 因为，所以与全等， 所以，即， 又平面，所以平面， 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    因为，由勾股定理得， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即， 取，则，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面． 得， 又是的中点，所以是的中点，． 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 26．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，进而证明为平行四边形，可得，再证明，由面面平行的判定定理得证； （2）方法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2，先证明平面平面，过作交于，则就是直线与平面所成角，利用平面几何求出最小，得解. 【详解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 27．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面平行证明线线平行， （2）利用空间向量的方法解决角度问题，. 【详解】（1）证明：取的中点，连结，. 在中，，分别是，的中点， 所以，且. 在正方形中，，且， 又点是的中点，所以，且. 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）解：因为是圆的直径，是的中点，且，所以，且. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意，，，，，，，. 所以，，. 设是平面的法向量，则即取，得，， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的法向量，则即取，得，， 所以是平面的一个法向量. 所以. 设二面角的大小为，据图可知，， 所以二面角的余弦值为. 28．(1)证明见解析； (2)BM长度为． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再证明，由此证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，用表示二面角的余弦值，由条件列方程，由此可得的长. 【详解】（1）由已知平面，又平面， 所以， 因为为菱形，， 所以，，， 所以为等边三角形，又为中点， 所以，又， 所以，又，平面， 所以平面， 因为M是的中点，为中点， 所以，又，， 所以， 连接，为中点， 则，， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）因为，平面， 以为原点，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，可取， ，可取， 则， 由已知， 所以或（舍去） 所以点的坐标为， 所以的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $$