14.2 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年华东师大版 数学八年级上册

14.2　勾股定理的应用 第1课时　勾股定理 的应用(一) 1.利用勾股定理解决立体图形问题 将立体图形的侧面展开成平面图形,构造直角三角形,再利用勾股定理解决两点间的距离问题. 2.利用勾股定理解决实际问题 航海问题、梯子问题等可根据已知条件,画出图形,添加辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理及其逆定理解决. 利用勾股定理解决立体图形问题 如图,长方体的底面是边长为1 cm 的正方形,高为3 cm. (1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少厘米? (答案图) 解:(1)如答案图,将长方体的侧面展开,连结AB'. 根据两点之间,线段最短,得 AB'==5(cm). 故所用细线最短需要5 cm. (2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要  cm.(直接填空) 　 1.(2023·内江)如图,已知长方体的三条棱AB、BC、BD的长分别为4、3、2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是 (　　) A.53 B.37 C.41 D.9 (第1题) C 2.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是　 　尺. (第2题) 25 3.如图,圆柱形容器的高为120cm,底面周长为100cm,在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处,求壁虎捕捉蚊子的最短距离. (第3题) (答案图) 解:如答案图,将容器侧面展开,作点A关于EC的对称点A',连结A'B交EC于点F,则A'B即为最短距离. 由题意可知,A'D=50cm,BD=120cm. 在Rt△A'BD中,由勾股定理,得 A'B===130(cm). 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm. 利用勾股定理解决实际问题 沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很浑浊,水平能见度很低的一种天气现象.人类在发展经济过程中大肆破坏植被,导致沙尘暴爆发频数增加.如图,某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动,已知点C为一城镇,且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=30 km,BC=40 km,AB=50 km,以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域. (1)请通过计算说明城镇C会受到此沙尘暴影响的原因; (答案图) 解:(1)如答案图,过点C作CD⊥AB. ∵AC=30 km,BC=40 km,AB=50 km, ∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形, ∴S△ABC=AC·BC=AB·CD, 即30×40=50×CD, ∴CD=24 km. ∵以沙尘暴中心为圆心,周围25 km以内为受影响区域,24 km<25 km, ∴城镇C会受到此沙尘暴影响. (2)若此沙尘暴中心的移动速度为20 km/h,则此沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长? (答案图) (2)如答案图,在AB边上找E、F两点,连结CE、CF. 当CE=25 km,CF=25 km时,在线段EF中,此沙尘暴正好影响城镇C, ∴DE===7(km). 同理,DF=7 km,∴EF=14 km. ∵此沙尘暴中心的移动速度为20 km/h, ∴=0.7(h), ∴此沙尘暴影响该城镇持续的时间为0.7 h. 4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算出两圆孔中心A和B的距离为　 　mm. (第4题) 150 5.如图,在一条绷紧的绳子一端系着一艘小船,河岸上一男子拽着绳子另一端向右走,绳端从点C移动到点E,同时小船从点A移动到点B,绳子始终绷紧且绳长保持不变. (1)若AB=18 m,AF=24 m,CE =7 m,求该男子向右移动的距离;(结果保留根号) (第5题) 解:(1)由题意可知, ∠AFC=90°,AF=24 m,CF=7 m, ∴AC===25(m). ∵AB=18 m,∴BF=AF-AB=6 m, ∴BC== =(m), ∴CE=AC-BC=(25-)m. 答:该男子向右移动的距离为(25-)m. (2)此人以0.5 m/s的速度收绳,请通过计算回答,该男子能否在30 s内将船从点A处移动到岸边点F的位置? (2)∵需收绳的绳长为 AC-CF=25-7=18(m), 且此人以0.5 m/s的速度收绳, ∴收绳时间为=36(s)>30 s, ∴该男子不能在30 s内将船从点A处移动到岸边点F的位置. $$第2课时　 勾股定理的应用(二) 勾股定理的应用 (1)利用数轴构造直角三角形,由勾股定理可求出边长为无理数的斜边长,通过尺规作图就能在数轴上找到无理数点. (2)利用勾股定理及其逆定理可求不规则图形(或网格中图形)的边、角的大小(或图形面积). 利用勾股定理作无理数线段 (答案图) 作长为、、的线段. 解:作法: ①如答案图,作直角边长为1(单位长)的等腰直角三角形ABC,∠C为直角; ②以斜边AB为直角边,作另一直角边长为1的Rt△ABB1; ③依次这样作下去,最后得到Rt△AB2B3,这时斜边AB、AB1、AB3的长度就分别等于、、. 1.如图,Rt△ABC的直角边AB在数轴上,点A表示的实数为-1,以点A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D.若AB=2,BC=1,则点D表示的实数为 (　 　) (第1题) D A.+1 B.-+1 C.--1 D.--1 (第2题) (答案图) 2.在数轴上画出表示的数. 解:如答案图,点A表示的数即为. 利用勾股定理求边、角或面积 有一块土地的形状如图所示,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,AD=2,请计算这块土地的面积S. (答案图) 解:如答案图,连结AC.∵∠B=90°,AB=BC=4, ∴AC==,∴AC2+AD2=()2+22=36. ∵CD2=62=36,∴AC2+AD2=CD2, ∴∠DAC=90°,∴S=S△ABC+S△ADC=AB·BC+AD·AC=×4×4+×2×=8+, 即这块土地的面积S为8+. 3.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为 (　　) (第3题) A.96 m2 B.204 m2 C.196 m2 D.304 m2 A 图2 图1 (第4题) 4.一长方体容器(如图1)的长、宽均为2,高为8,里面盛有水,水面高为5.若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示.若倾斜容器使水恰好倒出容器,则CD=  . 　 $$