第07讲 实数指数幂及幂函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第07讲 实数指数幂及幂函数 【考纲要求】 1. 实数指数幂：了解n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念； 2. 了解实数指数幂的运算法则。 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为 奇数 时，＝a；n为 偶数 时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝ 1 .这里a ≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ① ② ③ 3．幂函数 (1)幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. (2)幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 考点一 根式、幂的有关概念及运算 例1：= . 【答案】π-3 【解析】＝|3－π|＝π－3. 变式：下列各式正确的是（ ） A.　　　　B. C. D. 【答案】C 【解析】由于，，，故A，B，D项错误. 例2：已知，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 变式：将表示成分数指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 例3：下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确； 对于D，，故D正确. 变式：有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 例 4：用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0). ； 【答案】; (2) 【解析】解：原式＝. 变式：用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0) 【解析】解：原式＝. 例5：计算下式：＋2－2× －(0.01)0.5 【答案】 【解析】解：原式＝1＋＝. 变式：计算 【解析】原式= 例6：化简结果为（ ） A．a B．b C． D． 【答案】A 【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：. 变式： . 【答案】 【解析】原式． 例7：已知，则的值为______. 【解析】由，两边平方得，则， 所以. 变式：已知，求下列各式的值： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）平方得，； （2）由（1），平方得，. 考点二 幂函数 例1：在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【解析】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数. 变式：下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据幂函数的定义可知，幂函数的模型为（是有理数），故只有函数与函数是幂函数，其余均不是. 例2：已知为幂函数， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为幂函数，设，则，所以，可得，则. 变式：已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【解析】令，则，可得，所以，故. 例3：已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于幂函数，若，在上单调递增；若，上单调递减，所以在上单调递减. 变式：下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，函数，由，所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意； 对于B中，函数，由，所以函数为偶函数，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D中，函数在为单调递减函数，不符合题意. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 实数指数幂及幂函数 【考纲要求】 1. 实数指数幂：了解n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念； 2. 了解实数指数幂的运算法则。 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用 表示，负的n次方根用符号 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为 时，＝a；n为 时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝ .这里a ≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ① ② ③ 3．幂函数 (1)幂函数的概念：一般地，函数称为 ，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. (2)幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 考点一 根式、幂的有关概念及运算 例1：= . 变式：下列各式正确的是（ ） A.　　　　B. C. D. 例2：已知，则 （ ） A． B． C． D． 变式：将表示成分数指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 例3：下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 变式：有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 例 4：用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0). ； 变式：用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0) 例5：计算下式：＋2－2× －(0.01)0.5 变式：计算 例6：化简结果为（ ） A．a B．b C． D． 变式： . 例7：已知，则的值为______. 变式：已知，求下列各式的值： （1）；（2）. 考点二 幂函数 例1：在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 变式：下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2：已知为幂函数， 且， 则（    ） A． B． C． D． 变式：已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（    ） A．3 B． C．9 D． 例3：已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 变式：下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$