四边形、一次函数经典压轴训练（二 ）讲义2023-2024学年人教版数学八年级下册

( 四边形、一次函数经典压轴训练二 ) ( 例题精讲 ) 【例1】如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AB＝1，CF＝2． ①求AD的长； ②AE、FD交于点O，连接OC，求OC的长． 【例2】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） （1）如果，AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：CF⊥BD，CF＝BD． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2） 如图4，如果∠BAC是锐角，∠ACB＝45°，点D在线段BC上，点C、D不重合，求证：CF⊥BC． 【例3】如图1，矩形ABCD中，点E，P，K分别在AB，AD，BC上，且DE⊥PK，DE＝PK． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在（1）的条件下，△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，FG⊥AD于点G． ①求证：AG＝FG； ②若点H为CF的中点，求的值． 【例4】在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），D（c，0），+c2﹣4c+4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F． （1）求A，B，D的坐标； （2）在y轴上是否存在点G使得GF+GE有最小值？如果存在，求出GF+GE的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）如图，过P（0，﹣1）作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值． 【例5】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21），一次函数y＝的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点． （1）求证：OD＝BE； （2）连接OM，若三角形ODM的面积为，求点M的坐标； （3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），四边形ABCO为平行四边形，D在x轴上一定点，P为x轴上一动点，且点P从原点O出发，沿着x轴正半轴方向以每秒个单位长度运动，已知P点运动时间为t． （1）点C坐标为　 　，P点坐标为　 　；（直接写出结果，可用t表示） （2）当t为何值时，△BDP为等腰三角形； （3）P点在运动过程中，是否存在t，使得∠ABD＝∠OBP，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由！ 【例7】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）如图1，已知格点（小正方形的顶点）：O（0，0）、A（3，0）、B（0，4），若M为格点，请直接画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （2）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°，求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形； （3）如图3，在四边形ABCD中，△BCD为等边三角形，AB＝6，AD＝8，∠DAB＝30°，求AC长． 【例8】（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为　 　；直线DG与CF所夹锐角的大小为　 　． （2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝　 　． 【例9】如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）． （1）当a＝4时． ①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值； （2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由． 【例10】在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集． ( 总结复习 ) 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． ( 课后作业 ) 1．如图，△PCF中，PC＝PF，∠P＝30°，B为边PF上的一点，且∠BCP＝45°，BC＝2，则FB的长为　 　． 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，∠ABE＝45°，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则BF的长为　 　． 3．在平行四边形ABCD中，AF⊥BC于点F，∠ADC的平分线交AF于点G，交AB于点E． （1）如图1，若∠ADC＝60°，AG＝3，BE＝，求AF的长； （2）如图2，过点K作AK⊥AE交DE于点K，若AF＝AD，求证：AB＝AG+BF； （3）如图3，若点F为BC中点，AB＝BC，点M、N分别在边CD、AD上，AM与CN交于点H，CM＝ND，CH＝2AH＝4，直接写出线段AN的长度． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0． 例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点． 根据阅读材料，解决下列问题． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+3，l2：y＝2x+b． （1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是　 　； （2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，则m的值是　 　； （3）点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF．若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是　 　． 参考答案 【例1】如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AB＝1，CF＝2． ①求AD的长； ②AE、FD交于点O，连接OC，求OC的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，AB＝CD， 又∵AF∥DE，∴四边形AFED是平行四边形，又∵AD＝DE，∴四边形AFED是菱形； （2）①∵四边形AFED是菱形；∴AD＝DE＝EF， ∵DE2＝CD2+CE2，∴DE2＝1+（2﹣DE）2∴DE＝，∴AD＝； ②如图∵∠DCF＝90°，AB＝CD＝1，CF＝2，∴DF＝＝＝， ∵四边形AFED是菱形，∴DO＝FO，又∵∠DCF＝90°，∴CO＝DF＝． 【例2】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） （1）如果，AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：CF⊥BD，CF＝BD． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3） 如图4，如果∠BAC是锐角，∠ACB＝45°，点D在线段BC上，点C、D不重合，求证：CF⊥BC． 【解答】（1）①证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°， 即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF； ②解：当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是： 如图3，∵四边形ADEF正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC， ∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝∠ABC＝45°∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD； （2）如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA＝45°， ∴∠AQC＝45°，∴∠AQC＝∠BCA，∴AC＝AQ， ∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC， ∴∠QAD＝∠CAF， ∴△QAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AQD＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°， 即CF⊥BD． 【例3】如图1，矩形ABCD中，点E，P，K分别在AB，AD，BC上，且DE⊥PK，DE＝PK． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在（1）的条件下，△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，FG⊥AD于点G． ①求证：AG＝FG； ②若点H为CF的中点，求的值． 【解答】（1）证明：如图1中，作KH⊥AD于H交DE于O，设DE交PK于J． ∵PK⊥DE，CH⊥AD，∴∠KJO＝∠DHO＝90°，∵∠DOH＝∠JOK， ∴∠JKO＝∠HDO，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°＝∠KHP，∵DE＝PK， ∴△ADE≌△HKP（AAS），∴AD＝KH， ∵∠CHD＝∠C＝∠CDH＝90°， ∴四边形CDHK是矩形，∴CD＝CH， ∴AD＝CH，∴四边形ABCD是正方形． （2）解：如图2中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M． ∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD ∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形 ∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90° ∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC ∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC ∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG， （3）解：如图2﹣1中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，连接GH并延长GH交CD于点N， ∵FG⊥AD，CD⊥AD ∴FG∥CD ∴＝＝，且CH＝FH， ∴GH＝HN，NC＝FG ∵AG＝FG＝NC， 又∵AD＝CD， ∴GD＝DN，且GH＝HN ∴DH⊥GH， ∴DH＝GH＝HN， ∴∠GDH＝45°， ∴＝cos45°＝． 【例4】在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），D（c，0），+c2﹣4c+4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F． （1）求A，B，D的坐标； （2）在y轴上是否存在点G使得GF+GE有最小值？如果存在，求出GF+GE的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）如图，过P（0，﹣1）作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值． 【解答】解：（1）∵+c2﹣4c+4＝0，∴+（c﹣2）2＝0， ∴a＝3，c＝2，∵b为最大的负整数，∴b＝﹣1， ∴A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0）； （2）∵A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0）， ∴OB＝1，OD＝2，OA＝3，∴AO＝BD，在△ABO和△BED中， ，∴△ABO≌△BED（AAS），∴DE＝BO＝1， ∴E（2，1），设直线AE解析式为y＝kx+b， 把A、E坐标代入可得，解得， ∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，令y＝0，可解得x＝3，∴F（3，0）， 如图1，作点F关于y轴的对称点F'（﹣3，0），连接EF'，交AO于G，则GF+GE最小值为EF'， ∴EF'＝＝＝，∴GF+GE的最小值为； （3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI＝QH，如图2， ∵E（2，1），P（﹣1，0），∴GE＝GP＝GE＝PH＝2， ∴四边形GEHP为正方形，∴∠IGE＝∠EHQ＝90°， 在Rt△IGE和Rt△QHE中， ∴△IGE≌△QHE（SAS），∴IE＝EQ，∠1＝∠2，∵∠QEM＝45°， ∴∠2+∠3＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠IEM＝∠QEM， 在△EIM和△EQM中， ，∴△EIM＝EQM（SAS），∴IM＝MQ， ∴AM﹣MQ＝AM﹣IM＝AI， 由（2）可知OA＝OF＝3，∠AOF＝90°， ∴∠A＝∠AEG＝45°， ∴PH＝GE＝GA＝IG+AI， ∴AI＝GA﹣IG＝PH﹣QH＝PQ， ∴＝1． 【例5】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21），一次函数y＝的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点． （1）求证：OD＝BE； （2）连接OM，若三角形ODM的面积为，求点M的坐标； （3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【解答】解：（1）当x＝15时，y＝＝﹣9+15＝6，故点E（15，6）， 对于y＝，令x＝0，则y＝15，故点D（0，15）， 则DO＝15，BE＝21﹣6＝15＝OD； （2）点M在直线ED上，则设点M（m，﹣m+15）， 三角形ODM的面积＝×DO×m＝×15m＝，解得m＝5， 故点M的坐标为（5，12）； （3）设点P（t，0），点N（a，b），由O、M的坐标知，OM＝＝13， ①当OM是边时， 点O向右平移5个单位向上平移12个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移5个单位向上平移12个单位得到点Q（P）， 则t±5＝a且0±12＝b， 当t+5＝a且0+12＝b时，OP＝OM＝13＝|t|，解得或， 故点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）； 当t﹣5＝a且0﹣12＝b时，OQ＝OM， 同理可得点Q的坐标为（5，﹣12）； ②当OM是对角线时， 由中点公式得：（t+a）＝（5+0）且（0+b）＝（0+12）①， 此时，OP＝OQ，即t2＝（5﹣t）2+122②， 联立①②并解得， 故点Q的坐标为（﹣11.9，12）； 综上，点Q的坐标为（18，12）或（﹣8，12）或（5，﹣12）或（﹣11.9，12）． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），四边形ABCO为平行四边形，D在x轴上一定点，P为x轴上一动点，且点P从原点O出发，沿着x轴正半轴方向以每秒个单位长度运动，已知P点运动时间为t． （1）点C坐标为　 　，P点坐标为　 　；（直接写出结果，可用t表示） （2）当t为何值时，△BDP为等腰三角形； （3）P点在运动过程中，是否存在t，使得∠ABD＝∠OBP，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由！ 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形ABCO为平行四边形，∴BC＝OA＝4，BC∥OA， ∴点C坐标为（4，4）， ∵点P从原点O出发，沿着x轴正半轴方向以每秒个单位长度运动，P点运动时间为t， ∴OP＝t， ∴P点坐标为（t，0），故答案为：（4，4）；（t，0）； （2）当BD＝BP时， ∵BO⊥DP， ∴OP＝OD＝， ∴t＝1； 当DP＝DB时， 由勾股定理得，BD＝＝， ∴OP＝DP﹣DO＝， ∴t＝﹣1； 当PB＝PD时，PD＝OP+OD＝t+，PB2＝OP2+OB2＝（t）2+42， ∴（t+）2＝（t）2+42， 解得，t＝4， 综上所述，当t＝1或t＝﹣1或t＝4时，△BDP为等腰三角形； （3）作DE⊥AB于E， 由勾股定理得，AB＝＝4， ∵OA＝4，OD＝， ∴AD＝OA﹣OD＝， ∴△ADB的面积＝×AD×OB＝××4＝， 则×4×DE＝， 解得，DE＝， 由勾股定理得，BE＝＝， 当∠ABD＝∠OBP时，＝，即＝， 解得，t＝， ∴∠ABD＝∠OBP时，t＝． 【例7】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）如图1，已知格点（小正方形的顶点）：O（0，0）、A（3，0）、B（0，4），若M为格点，请直接画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （2）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°，求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形； （3）如图3，在四边形ABCD中，△BCD为等边三角形，AB＝6，AD＝8，∠DAB＝30°，求AC长． 【解答】解：（1）如图， （2）连接CE，如图2， ∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∠CBE＝60°， ∴△BCE是等边三角形，∴EC＝BC，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形． （3）如图3，将△ABC绕顶点B按逆时针方向旋转60°，使点C与点D重合，得到△EBD， ∴AB＝AE，AC＝DE，∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°， ∴△DAE为直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2， 即AC2＝AD2+AB2，∴AC＝＝10．即AC＝10． 【例8】（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为　 　；直线DG与CF所夹锐角的大小为　 　． （2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝　 　． 【解答】解：（1）①延长EF交DC于H， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB∥CD，EF⊥AB， ∴EH⊥CD，∴四边形DGFH是矩形， ∴HF＝DG，DH＝FG，∵AD＝CD，DH＝AG，∴CH＝DG， ∴CH＝FH，∴CF＝DG； ②连接AF，则A，F，C三点共线， ∴直线DG与CF所夹锐角的大小为45°，故答案为：CF＝DG；45°； （2）仍然成立，证明如下： 过D作DH⊥DG，且DH＝DG，连接GH，HC，并延长交DG、CF交于点K， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵DH⊥DG， ∴∠GDH＝90°，∴∠GDH＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDH， ∴△ADG≌△CDH（SAS），∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD， ∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝GF，∠AGF＝90°， ∵∠GDH＝90°，DH＝DG，∴∠DGH＝∠DHG＝45°， ∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣45°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣90°﹣∠AGD﹣45°＝225°﹣∠AGD， ∴∠CHG+∠HGF＝180°， ∴CH∥FG， ∴四边形CHGF是平行四边形， ∴CF＝HG，CF∥HG， 在Rt△DGH中，HG2＝DH2+DG2＝2DG2， ∴，即 ∵CF∥HG， ∴∠CKG＝∠DGH＝45°， 即直线DG与CF所夹锐角的度数为45°； （3）把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH， ∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD， ∵四边形AEFG是菱形， ∴AG＝FG，∴CH＝GF，∠AGF＝120°， ∴CH＝FG， ∵∠GDH＝120°，DG＝DH， ∴∠DGH＝∠DHG＝30°， ∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣30°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD， ∴∠CHG+∠HGF＝180°，∴CH∥FG， ∴四边形CHGF是平行四边形， ∴CF＝HG，CF∥HG， ∴＝． 故答案为：． 【例9】如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）． （1）当a＝4时． ①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值； （2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由． 【解答】（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∴，∵翻折∴AB'＝AB＝4，PB'＝PB＝t， ∴PC＝3﹣t，CB′＝AC﹣AB'＝1， ∴在Rt△PCB'中，PC2＝PB'2+CB'2，∴（3﹣t）2＝t2+12，∴； ②如图2﹣1中，当∠PCB'＝90°，B'在CD上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，∴， ∴，在Rt△PCB'中，∵B'P2＝PC2+B'C2， ∴，∴； 如图2﹣2中，当∠PCB'＝90°，B'在CD的延长线上时， 在Rt△ADB'中，，∴， 在Rt△PCB'中，则有：， 解得；如图2﹣3中，当∠CPB'＝90°时， ∵∠B＝∠B′＝∠BPB′＝90°，AB＝AB′， ∴四边形AB'PB为正方形， ∴BP＝AB＝4， ∴t＝4， 综上所述，满足条件的t的值为4s或或； （2）当t＜3时，如图3﹣1中， ∵∠PAM＝45°，∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°， 又∵△PAB关于直线PA的对称△PAB'， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB'M，AM＝AM， ∴△AMD≌△AMB'（AAS）， ∴AD＝AB'＝AB，即四边形ABCD是正方形；当t＞3时，如图3﹣2中， 设∠APB＝x，∴∠PAB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x， ∵AB′＝AD，AM＝AM，∴Rt△MDA≌Rt△B'AM（HL）， ∴∠BAM＝∠DAM，∵作△PAB关于直线PA的对称△PAB'， ∴∠PAB＝∠PAB'＝90°﹣x，∴∠DAB'＝∠PAB'﹣∠DAP＝90°﹣2x， ∴∠DAM＝∠DAB'＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°． 【例10】在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集． 【解答】解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1， ∴，得，∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4； （2）∵y＝|x﹣3|﹣4，∴y＝， ∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）； 该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大； （3）由函数图象可得，不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4． ( 总结复习 ) 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． ( 课后作业 ) 1．如图，△PCF中，PC＝PF，∠P＝30°，B为边PF上的一点，且∠BCP＝45°，BC＝2，则FB的长为　 　． 【解答】解：如图，过B作BD⊥CP于D，则∠BDC＝∠BDP＝90°， ∵∠BCP＝45°，∴△CBD是等腰直角三角形，∴BD2+CD2＝BC2，BD＝CD， ∵BC＝2，∴BD＝CD＝2．在直角△BDP中，∵∠BDP＝90°，∠P＝30°， ∴BP＝2BD＝4，DP＝＝2，∴PC＝CD+DP＝2+2， ∵PC＝PF，∴PF＝2+2，∴FB＝PF﹣BP＝2+2﹣4＝2﹣2．故答案为：2﹣2． 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，∠ABE＝45°，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则BF的长为　 　． 【解答】解：∵ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ABF＝∠D＝∠C＝90°，∵∠ABE＝45°， ∴∠EBF＝45°，根据翻折可知：BC′＝DC＝AB＝3，∠EBC′＝∠D＝∠C′＝90°， ∵∠EBF＝45°，∴∠FBC′＝45°，∴∠BFC′＝45°，∴BC′＝C′F＝3， ∴BF＝＝3．故答案为：3． 3．在平行四边形ABCD中，AF⊥BC于点F，∠ADC的平分线交AF于点G，交AB于点E． （1）如图1，若∠ADC＝60°，AG＝3，BE＝，求AF的长； （2）如图2，过点K作AK⊥AE交DE于点K，若AF＝AD，求证：AB＝AG+BF； （3）如图3，若点F为BC中点，AB＝BC，点M、N分别在边CD、AD上，AM与CN交于点H，CM＝ND，CH＝2AH＝4，直接写出线段AN的长度． 【解答】（1）解：如图1中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC＝60°， ∵∠ADC＝60°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝30°， ∴∠AED＝∠CDE＝30°，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE， ∵AF⊥BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，∴∠GAD＝90°， ∴AD＝AG＝3， ∵BE＝， ∴AB＝AE+BE＝4， ∴AF＝AB•tan60°＝6． （2）证明：如图2中，过点D作DT⊥AD交AK的延长线于T． ∵AK⊥AB，AF⊥AD，∴∠EAK＝∠GAD＝90°，∴∠EAG＝∠DAK， ∵AE＝AD，∠AED＝∠ADK，∴△EAG≌△DAK（ASA）， ∴AG＝AK，∴∠AGK＝∠AKG＝∠DKT，∵AF⊥AD，DT⊥AD， ∴AF∥DT，∴∠AGK＝∠TDK，∴∠TDK＝∠TKD， ∴DT＝TK，∵AD＝AF，∠FAB＝∠DAT，∠AFB＝∠ADT， ∴△AFB≌△ADT（ASA），∴BF＝DT＝KT，AB＝AT， ∵AT＝AK+KT＝AG+BF，∴AB＝AG+BF． （3）如图3中，过点C作CK⊥AM于K，MJ⊥AC于J． ∵AF⊥CB，BF＝CF，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝AB＝CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形，∴∠D＝∠ACM＝60°，∵CA＝DC，CM＝DN， ∴△CAM≌△DCN（SAS），∴∠CAM＝∠DCN， ∴∠MHC＝∠CAH+∠ACH＝∠ACH+∠NCD＝∠ACD＝60°，∵CK⊥AM，CH＝4，AH＝2， ∴HK＝CH•cos60°＝2，CK＝2，设CM＝x， ∴AC＝＝＝2，在Rt△MCJ中，CJ＝CM＝x，MJ＝x， ∵•AM•CK＝•AC•MJ，∴AM＝＝x， 在Rt△AMJ中，∵AM2＝AJ2+MJ2， ∴（x）2＝（2﹣x）2+（x）2，解得x＝或﹣4（舍弃），∵AD＝CD，CM＝DN， ∴AN＝DM＝2﹣＝． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0． 例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点． 根据阅读材料，解决下列问题． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+3，l2：y＝2x+b． （1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是　 　； （2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，则m的值是　 　； （3）点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF．若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是　 　． 【解答】解：（1）如图1，将点A（0，4）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝﹣1， ∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是﹣1，0﹣（﹣1）＝1， ∴点A是直线l1的关联点； 将点B（，1）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝2， ∴2﹣＝＜1， ∴点B是直线l1的关联点； 将点C（2，3）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝0， ∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2﹣0＝2＞1， ∴点C不是直线l1的关联点； 故答案为：A，B； （2）将点D的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝3﹣m， ∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3﹣m， ∵点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点， ∴丨3﹣m﹣（﹣1）丨＝丨4﹣m丨＝1，解得：m＝3或5， 故答案为：3或5； （3）如图2， 由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求， 直线与l3正方形AOEF相交于A（0，4）时，b＝4， 直线l4与正方形AOEF相交于A（0，2）时，b＝2， 直线l5与正方形AOEF相交于F（4，4）时，b＝﹣4， 直线l6与正方形AOEF相交于E（4，0）时，b＝﹣8， ∴b的取值范围为2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4． 故答案为：2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$