12.2　整式的乘法 课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第12章　整式的乘除 12.2　整式的乘法 第1课时　单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的 、 ⁠ 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字 母，连同它的 一起作为积的一个因式. 例如：（2 a2 b ）·（3 a ）＝2×3· · b ＝6 a3 b . 系数　 相同 字母的幂　 指数　 知识导航 2. 单项式与单项式相乘的法则的依据 幂的运算性质，乘法 律、 律. 注意：（1）相同字母的幂相乘，利用同底数幂的乘法 法则：“底数不变，指数相加”； （2）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式； （3）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则依然 适用； （4）单项式的乘法中，含有乘方、乘法的混合运算 时，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行. 交换　 结合　 知识导航 题型一　直接运用单项式与单项式相乘的法则计算 计算： （1）（－2 a2 b3）·（－6 ab ）； 解：原式＝ ·（ a2· a ）·（ b3· b ） ＝12 a3 b4. 典例导思 （2）（－2 x2）· ； 解：原式＝－2 x2·9 x4 y4 ＝ ·（ x2· x4）· y4 ＝－18 x6 y4. （3） ·（－3 xyn ）·（－ x2 z ）； 解：原式＝4 x2 y4·（－3 xyn ）·（－ x2 z ） ＝[4×（－3）×（－1）]·（ x2· x · x2）·（ y4· yn ）· z ＝12 x5 yn＋4 z . 典例导思 （4）－6 a2 b ·（ x － y ）3· ab2·（ y － x ）2； 解：原式＝ ·（ a2· a ）·（ b · b2）[（ x － y ）3· （ x － y ）2] ＝－2 a3 b3（ x － y ）5. （5）－ x2· x3·（－2 y ）3＋（2 xy ）2·（－ x3 y ）. 解：原式＝8 x5 y3＋（－4 x5 y3） ＝4 x5 y3. 典例导思 [误区点拨] 运用单项式的乘法法则进行计算时，不要忽 视符号问题，不要漏掉只在一个单项式中出现的字母. 典例导思 1. 计算： （1）（－5 a4）·（－8 ab2）＝ ⁠； （2）（－4 xny ）2·（3 y ）＝ ⁠； （3）（2×102）×（15×106）＝ ⁠. 40 a5 b2　 48 y3　 3×109　 典例导思 2. 计算： （1）2 xy2· ； 解：原式＝ ·（ x · x ）·（ y2· y ） ＝ x2 y3. 典例导思 （2） · · xz2； 解：原式＝9 x4 y2· · xz2 ＝－ x6 y3 z3. （3） a2 b2 c ·（－3 ab ）2－ a3 c ·（－2 ab4）. 解：原式＝ a2 b2 c ·9 a2 b2＋ a3 c ·2 ab4 ＝3 a4 b4 c ＋2 a4 b4 c ＝5 a4 b4 c . 典例导思 题型二　运用单项式与单项式相乘的法则解决问题 如图是变压器铁芯片的示意图，尺寸如图所示，试 求变压器铁芯片的面积. 典例导思 [分析] 方法1：阴影部分可以看成长为（ a ＋2 a ＋2 a ＋2 a ＋ a ），宽为（2.5 a ＋1.5 a ）的长方形与两个 长为2.5 a ，宽为2 a 的长方形的面积差；方法2：将阴 影部分看成长为（ a ＋2 a ＋2 a ＋2 a ＋ a ），宽为1.5 a 的大长方形与长为2.5 a ，宽分别为 a 、2 a 、 a 的三 个长方形的面积和. 典例导思 解法二：1.5 a ·（ a ＋2 a ＋2 a ＋2 a ＋ a ）＋2.5 a · a ＋2.5 a ·2 a ＋2.5 a · a ＝1.5 a ·8 a ＋2.5 a2＋5 a2＋2.5 a2＝12 a2＋ 2.5 a2＋5 a2＋2.5 a2＝22 a2. 解法一：（1.5 a ＋2.5 a ）（ a ＋2 a ＋2 a ＋2 a ＋ a ）－ 2×2 a ·2.5 a ＝4 a ·8 a －10 a2＝32 a2－10 a2＝22 a2. 典例导思 [方法总结] 不规则图形的面积一般需要通过分割转化为 规则图形求解. 典例导思 3. （1）若（ ax3）·（2 xk ）＝－8 x18，则 a ＝ ， k ＝ ⁠； （2）若（－2 axb ）（3 y ）＝12 x11 y7，则 a ＋ b ＋ c 的值为 ⁠. －4　 15　 7　 典例导思 4. 某公园欲建草坪的形状如图（阴影部分），该草坪的 面积是多少平方米？若铺设1 m2草坪需要花费120元， 则为铺设该草坪需投资多少元？ （第4题） 典例导思 解： S阴影＝ a ·3 a ＋2 a ·3 a ＋ a ·4 a ＋2 a ·4 a ＝3 a2＋6 a2＋4 a2＋8 a2＝21 a2（m2）. 120×21 a2＝2 520 a2（元）. 答：该草坪的面积是21 a2 m2，为铺设该草坪需投资2 520 a2元. （第4题） 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.2　整式的乘法 第2课时　单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的 ⁠ ，再将所得的积 .即 m （ a ＋ b ＋ c ） ＝ （ m 、 a 、 b 、 c 都是单项式）. 注意：（1）单项式与多项式相乘的依据是乘法分配 律，把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相 乘； 每 一项　 相加　 ma ＋ mb ＋ mc 　 知识导航 （2）积中符号的确定与去括号法则一致，括号前的单 项式系数为正数，去括号后多项式各项符号都不变，括 号前的单项式系数为负数，则符号都改变； （3）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数 与因式中多项式的项数相同. 知识导航 题型一　直接运用单项式与多项式相乘的法则运算 计算： （1）（－2 x3 y ）·（3 xy2－3 xy ＋1）； 解：原式＝－2 x3 y ·3 xy2＋（－2 x3 y ）·（－3 xy ）＋ （－2 x3 y ）·1 ＝－6 x4 y3＋6 x4 y2－2 x3 y . 典例导思 （2）（－3 y ）·（－4 x2 y －2 xy ）； 解：原式＝（－3 y ）·（－4 x2 y ）＋（－3 y ）·（－2 xy ） ＝12 x2 y2＋6 xy2. （3）－2 a2 －5 a （ a2 b － ab2）； 解：原式＝－ a3 b －2 a2 b2－5 a3 b ＋5 a2 b2 ＝－6 a3 b ＋3 a2 b2. 典例导思 （4）（ x2）3－2 x3·[ x3－ x2（4 x ＋1）]. 解：原式＝ x6－2 x3（ x3－4 x3－ x2） ＝ x6－2 x6＋8 x6＋2 x5 ＝7 x6＋2 x5. [误区点拨] （1）在单项式与多项式相乘时，注意不要 因漏乘而漏项；（2）计算时要注意符号，多项式中的 每一项都包括它前面的符号. 典例导思 1. （2023·广西）计算（－ m ）·（ m2－ mn ）的结果正 确的是（　D　） A. m2＋ mn B. m3＋ m2 n C. m2－ mn2 D. － m3＋ m2 n D 典例导思 2. 计算： （1） x （3 x2－5 x ＋1）－3 x2（ x －2）； 解：原式＝ x2＋ x . （2） ·（3 xy －4 xy2＋2）； 解：原式＝ x3 y5－ x3 y6＋ x2 y4. （3） ·（2 ab2）. 解：原式＝2 a2 b2－2 a2 b3－2 a3 b3. 典例导思 题型二　运用单项式与多项式相乘的法则解决问题 （1）先化简，再求值： [ xy （ x2－3 y ）＋3 xy2]·（－2 xy ）＋ x3 y2·（2 x － y ）， 其中 x ＝－ ， y ＝－2； 典例导思 解：（1）原式＝（ x3 y －3 xy2＋3 xy2）·（－2 xy ）＋ 2 x4 y2－ x3 y3 ＝－2 x4 y2＋2 x4 y2－ x3 y3 ＝－ x3 y3. 当 x ＝－ ， y ＝－2时， 原式＝－ ×（－2）3＝－1. 典例导思 （2）（2023·浙江）若要使（ x2＋ ax ＋5）·（－6 x3） ＋6 x4的展开式中不含 x4的项，求常数 a 的值. 解：（2）（ x2＋ ax ＋5）·（－6 x3）＋6 x4 ＝－6 x5－6 ax4－30 x3＋6 x4 ＝－6 x5＋（－6 a ＋6） x4－30 x3. ∵展开式中不含 x4的项，∴－6 a ＋6＝0，解得 a ＝1. 典例导思 3. 某同学在计算－3 x2乘一个多项式时错误的计算成了 加法，得到的答案是 x2－ x ＋1，由此可以推断正确的计 算结果是（　C　） A. 4 x2－ x ＋1 B. x2－ x ＋1 C. －12 x4＋3 x3－3 x2 D. 无法确定 C 典例导思 4. （1）如果（ x2－ a ） x ＋ x 的展开式中只含有 x3这一 项，那么 a 的值为 ⁠； （2）若 x （ x2－ a ）＋3 x －2 b ＝ x3＋5 x －6对任意 x 都 成立，则 a ＋ b ＝ ⁠. 1　 1　 典例导思 题型三　单项式乘多项式的应用 如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两 个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的 地砖？如果某种地砖的价格为每平方 米 a 元，那么购买地砖至少需要多少 元？（单位：米） 典例导思 解：由题意知，两个卧室以外的部分面积为 3 y · y ＋2 y ·（3 x － x － y ） ＝3 y2＋4 xy －2 y2 ＝ y2＋4 xy （平方米）. ∴购买地砖至少需要 （ y2＋4 xy ） a ＝（ ay2＋4 axy ）元. 典例导思 5. 若三角形的底边为5 m ，底边上对应的高为2 m －1， 则此三角形的面积为（　D　） A. 10 m2＋5 m B. 5 m2－1 C. 10 m2－5 m D. 5 m2－ m D 典例导思 6. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a 米，下底 宽（ a ＋2 b ）米，坝高 a 米，则防洪堤坝的横断面积 为 平方米. 　 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.2　整式的乘法 第3课时　多项式与多项式相乘 思考：如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原 长 a 米、宽 p 米的长方形绿地，加长了 b 米，加宽了 q 米. 你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 方法一： ⁠， 方法二： ⁠， 则： ＝ ⁠. （ a ＋ b ）（ p ＋ q ）　 ap ＋ aq ＋ bp ＋ bq 　 （ a ＋ b ）（ p ＋ q ）　 ap ＋ aq ＋ bp ＋ bq 　 知识导航 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 ⁠分 别乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 ⁠ .即（ m ＋ n ）（ a ＋ b ）＝ ⁠ （ m 、 n 、 a 、 b 都是单项式）. 每一项　 每一项　 相 加　 ma ＋ mb ＋ na ＋ nb 　 知识导航 注意：（1）运用多项式与多项式相乘的法则时，必须 按一定的顺序进行，做到不重不漏； （2）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在合并 同类项前，多项式与多项式相乘的项数是原两个多项式 项数的积，这是检验运算是否漏项的一种有效方法. 知识导航 题型一　直接运用多项式与多项式相乘的法则运算 计算： （1）（2 m －3 n ）（3 m －5 n ）； 解：原式＝6 m2－10 mn －9 mn ＋15 n2 ＝6 m2－19 mn ＋15 n2. （2）（1－2 a ）（2 a2＋3 a －5）； 解：原式＝2 a2＋3 a －5－4 a3－6 a2＋10 a ＝－4 a3－4 a2＋13 a －5. 典例导思 （3） x （2 x －3）＋（3－ x ）（1－5 x ）； 解：原式＝2 x2－3 x ＋3－15 x － x ＋5 x2 ＝7 x2－19 x ＋3. （4）（2 x －3）（ x ＋3）－（2 x －1）（ x －2）. 解：原式＝2 x2＋6 x －3 x －9－2 x2＋4 x ＋ x －2 ＝8 x －11. 典例导思 1. （2023·福建）计算（ x －3）（ x ＋2）的结果为 （　C　） A. x2－6 B. x2－ x ＋6 C. x2－ x －6 D. x2＋ x －6 C 典例导思 2. 计算： （1） x （2 x － y ）（ y － x ）； 解：原式＝（2 x2－ xy ）（ y － x ） ＝2 x2 y －2 x3－ xy2＋ x2 y ＝－2 x3＋3 x2 y － xy2. （2）（ a2＋3）（ a －2）－ a （ a2－2 a －2）； 解：原式＝ a3－2 a2＋3 a －6－ a3＋2 a2＋2 a ＝5 a －6. 典例导思 （3）2（ x ＋2）（2 x ＋3）－3（1－ x ）（ x ＋6）. 解：原式＝2（2 x2＋7 x ＋6）－3（－ x2－5 x ＋6） ＝4 x2＋14 x ＋12＋3 x2＋15 x －18 ＝7 x2＋29 x －6. 典例导思 题型二　运用多项式与多项式相乘的法则解决问题 先化简，再求值：（3 x ＋2 y ）（ x －2 y ）－ x （3 x －2 y ），其中 x ＝1， y ＝ . 解：（3 x ＋2 y ）（ x －2 y ）－ x （3 x －2 y ） ＝3 x2－6 xy ＋2 xy －4 y2－3 x2＋2 xy ＝－2 xy －4 y2. 当 x ＝1， y ＝ 时，原式＝－2×1× －4× ＝－12. 典例导思 （2023·河北）已知（2 x2＋ mx － n ）（ x －1）展 开的结果中不含 x2和 x 项（ m 、 n 为常数）. （1）求 m 、 n 的值； 解：（1）原式＝2 x3－2 x2＋ mx2－ mx － nx ＋ n ， ＝2 x3＋（ m －2） x2－（ m ＋ n ） x ＋ n . ∵展开的结果中不含 x2和 x 项， ∴ m －2＝0， m ＋ n ＝0，∴ m ＝2， n ＝－2. 典例导思 （2）在（1）的条件下，求（ m － n ）（ m2＋ mn ＋ n2）的值. 解：（2）（ m － n ）（ m2＋ mn ＋ n2） ＝ m3＋ m2 n ＋ mn2－ m2 n － mn2－ n3＝ m3－ n3. 把 m ＝2， n ＝－2代入，得 原式＝23－（－2）3＝8－（－8）＝16. 典例导思 3. 已知 x － y ＝7， xy ＝5，则（ x ＋1）（1－ y ）的值为 （　B　） A. 13 B. 3 C. －11 D. －13 B 典例导思 4. 试说明代数式（ x －1）（ x2＋ x ＋1）－（ x2＋ 1）·（ x ＋1）＋ x （ x ＋1）的值与 x 的取值无关. 解：原式＝ x3＋ x2＋ x － x2－ x －1－ x3－ x2－ x －1＋ x2 ＋ x ＝－2， ∴该代数式的值与 x 的取值无关. 典例导思 5. 如图，某小区的内坝是一块长为（3 a ＋ b ）米，宽为 （2 a ＋ b ）米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿 化（图中阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点， 则绿化的面积是多少平方米？ 并求出当 a ＝3， b ＝2时的绿 化面积. （第5题） 典例导思 解：由题意，得绿化的面积是 （3 a ＋ b ）（2 a ＋ b ）－（ a ＋ b ）2 ＝6 a2＋5 ab ＋ b2－ a2－2 ab － b2 ＝（5 a2＋3 ab ）平方米. 当 a ＝3， b ＝2时，5 a2＋3 ab ＝5×32＋3×3×2＝63. 答：绿化的面积是（5 a2＋3 ab ）平方米，当 a ＝3， b ＝ 2时的绿化面积是63平方米. （第5题） 典例导思 $$