11.2　实　数 课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第11章　数的开方 11.2　实　数 第1课时　实数（一） 1. 无理数 （1）无理数的定义 小数叫做无理数. （2）无理数常见的三种形式 ①根号型：含有根号，开方开不尽的数，如 、 . ②π型：化简之后含有π的数，如2π、 、π＋1、 . 无限不循环　 知识导航 ③定义型：有规律但不循环的小数，如 0.020 120 012 000 120 000 12…（2和1之间0的个数逐次 增加1）. 注意：（1）无理数与有理数的和、差、积（有理数不 为0）、商（除数不为0）仍为无理数； （2）两个无理数的和、差、积、商可能为有理数也可 能为无理数.例如： ＋ ＝2 ，π× ＝1， ÷ ＝1等. 知识导航 2. 实数 （1）实数的定义 和 统称实数. （2）实数的分类 ①按定义分 实数 有理数　 无理数　 知识导航 ②按大小分 实数 知识导航 注意：无论怎样对实数进行分类，都要用同一标准进 行，做到不重不漏. 知识导航 3. 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点是 的关系，即数轴上的 每一个点都表示一个实数，每一个实数都可以用数轴上 的一个点来表示. 注意：数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理 数；无理数在数轴上的点可以通过几何作图的方法找 出来. 一一对应　 知识导航 题型一　无理数及实数的分类 （1）下列说法正确的是（　C　） A. 不是有限小数就是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数一定是无限小数 D. 所有无限小数都是无理数 C 典例导思 （2）下列各数：－2， ， ，0， ，0.2 ， ， ，1－ ， ，是无理数的有 　 ， ， ，1－ ⁠； ， ， ，1－ ， 典例导思 （3）把下列各数的序号填在相应的集合中. ①0，② ，③－ ，④ ，⑤－ ，⑥－2，⑦ ，⑧ ，⑨ ，⑩1.212 121，⑪0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），⑫ －1，⑬ . 有理数集合：{①③④⑥⑩⑬…}； 无理数集合：{②⑤⑦⑧⑨⑪⑫…}； 整数集合：{①④⑥…}； 分数集合：{③⑩⑬…}. ①③④⑥⑩⑬ ②⑤⑦⑧⑨⑪⑫ ①④⑥ ③⑩⑬ 典例导思 1. （2023·广东）在－π， ，0， ，5. ，－2.565 665 666 5…（相邻两个5之间6的个数逐次加1）.其中无 理数的个数为（　A　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A 典例导思 2. 将下列各数的序号填入相应的集合中. ①－ ，② ，③ ，④3.14，⑤－ ，⑥0，⑦3 ，⑧－0. ，⑨ ，⑩－ ，⑪－7，⑫0.020 020 002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）. 分数集合：{①④⑦⑧…}； 正实数集合：{②③④⑦⑨⑫…}； 负整数集合：{⑤⑪ …}； 无理数集合：{②③⑨⑩⑫…}. ①④⑦⑧ ②③④⑦⑨⑫ ⑤⑪ ②③⑨⑩⑫ 典例导思 题型二　实数与数轴上的点的关系　 我们在学习“实数”时，画了这样一个图（如图 1），即“以数轴上1个单位长的线段为边作一个正方 形，然后以原点 O 为圆心，正方形的对角线长为半径画 弧交数轴于点 A ”.请根据图形回答下列问题： 图1 典例导思 （1）如图2，有两个边长为1的正方形，把它们分割成4 块拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ⁠； 图2 　 典例导思 （2）线段 OA 的长度是多少？ 解：（2）由（1）可知线段 OA 的长度为 . 图1 典例导思 （3）这个图形是为了说明什么？ 解： （3）这个图形说明“数轴上的点与实数是一一对应的”，即任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示，反过来，数轴上任意一个点都表示一个实数. 图1 典例导思 （4）这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方 法是（　A　） A. 数形结合 B. 代入 C. 换元 D. 归纳 [分析] 根据操作可知，两个小正方形的面积和等于大正 方形的面积，小正方形的对角线就是大正方形的边长， 同时线段 OB ＝ OA ，则可利用正方形的面积公式，探索 出问题的答案. A 图1 典例导思 [思维点拨] 将实数表示在数轴上，或运用数轴来研究数 与式之间的关系是典型的数形结合思想的体现. 典例导思 3. 如图，直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴 无滑动地逆时针滚动一周到达点 A ，则此时点 A 表示的 数是（　C　） A. π＋1 B. －π－1 C. －π＋1 D. π－1 （第3题） C 典例导思   （第4题） －2　 典例导思 第11章　数的开方 11.2　实　数 第2课时　实数（二） 1. 实数的大小比较 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数 ⁠. （2）正数 0，0 负数，正数 ⁠ 一切负数；两个负数， 大的反而小. （3）一些实数，通过计算器计算可以取它们的近似 值，根据近似值的大小来确定它们的大小. 大　 大于　 大于　 大于　 绝对值　 知识导航 2. 实数的相反数、绝对值、倒数及其性质 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数及其性质和有理 数范围内的相反数、绝对值、倒数及其性质完全一样. 知识导航 3. 实数的运算 （1）在实数范围内，有理数的运算法则和运算律依然 成立，实数的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同， 即：先算 ，再算 ，最后算 ⁠ ，同级运算按照 的顺序依次进行，有 括号的先算括号里的. 乘方、开方　 乘除　 加 减　 从左到右　 知识导航 （2）在实数运算中，当遇到无理数并需要求出结果的 近似值时，可按照所要求的精确度用相应的近似有限小 数（比所要求的精确度多保留一位小数）代替无理数， 再计算. 知识导航 题型一　实数的大小比较及估算　 比较下列各组数的大小： （1）－ ＋1与－ ＋1； 解：∵－ ＋1－（－ ＋1）＝ － ＞0， ∴－ ＋1＞－ ＋1. 典例导思 （3） 与 . 解：∵3＜4，∴ ＜ ， ∴ ＜2，∴ ＜ . （2）3 与2 ； 解：∵（3 ）2＝45，（2 ）2＝44，45＞44， ∴3 ＞2 . 典例导思 [方法总结] 对于含“ ”“ ”的无理数，用平 方法或立方法转化为有理数进行比较是常用的有效方 法；对于含字母的代数式，可用特殊值法比较；对于 符号相同且根指数相同的两个实数可用作差法比较； 另外，倒数法、数轴法、估算法都是常用的比较实数 大小的方法. 典例导思 A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 B 估算8－ 的值在（　B　） 典例导思 1. 比较大小： （1）3 ； （2）－2 －6 ； （3） － ； （4） . 2. （1） 的整数部分为 ⁠； （2） －2的小数部分为 　 －4　. ＜　 ＞　 ＞　 ＜　 3　 －4　 典例导思 3. 在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺 序进行排列，用“＜”号连接： π，4，－1.5，0， ，－ . （第3题） 典例导思 解：如答案图所示： （答案图） 按从小到大的顺序排列如下： －1.5＜－ ＜0＜ ＜π＜4. 典例导思 题型二　实数的相反数、绝对值　 （1）计算 ＝ 　 － 　； （2）若 m 的相反数是 － ，则 m ＝ 　 － 　， ＝ 　 － 　. [知识总结] 数的范围扩充到实数后，绝对值、相反数等 相关概念以及性质在实数范围内仍然成立. － 　 － 　 － 　 典例导思 4. 下列各组数中互为相反数的是（　B　） 5. － 的相反数是 　 － 　，绝对值是 　 － ⁠. B － 　 － 　 典例导思 题型三　实数的运算　 计算： （1）（－ ）2－ ＋ － ； 解：原式＝2－4＋ －1＋2＝ －1. （2） ＋ ； 解：原式＝ －1＋ － ＝ －1. 典例导思 （4） － ＋2 （结果精确到0.01）. 解：原式≈ ×2.236－1.414＋2×1.732 ≈0.745－1.414＋3.464 ≈2.80. （3） ＋ ＋ ＋ ； 解：原式＝2－ ＋ ＋3＋π－3＋4－π＝6. 典例导思 6. 规定运算：（a*b）＝ ，其中 a 、 b 为实数，则 （ *3）＋ ＝ ⁠. 3　 典例导思 7. 计算： （1） ＋ ； 解：原式＝2－ ＋ －1 ＝1. （2）3（ － ）－ ； 解：原式＝3 －3 －5 ＋3 ＝－2 . 典例导思 （3） ＋ ； 解：原式＝π－3＋4－π ＝1. （4） ＋ ＋ . 解：原式＝3－2 ＋ －3＋ － ＝ －2 . 典例导思 $$