22.1 二次函数的图象与性质 同步练习 2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图象与性质 第一课时 一、填空题 1. 用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积S(cm²)与矩形的一边长x(cm)之间的关系式是 . 2.函数 的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 3. 函数 的图象是 ，对称轴是 ，顶点是 ；当x 时，y随x的增大而增大； 当x 时，y随x的增大而减小；当x= 时, y有最 值 . 4. 函数 是关于x的二次函数，则m的值为 . 5. 二次函数. 的图象开口向下，则m . 6. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，-1)的抛物线的表达式是： . 二、选择题 7. 已知点 (-2, 2) 在二次函数. 的图象上，那么a的值是( ). A. 1 B. 2 C 8. 下列说法中正确的是 ( ). A. 在函数 中，当x=0时y有最大值0 B. 在函数 中，当x>0时y随x的增大而减小 C. 抛物线 中，抛物线. 的开口最小 D. 不论a取何值， 的顶点都是坐标原点 9. 函数 是关于x的二次函数，则m的值是 ( ). A. 3. B. -1. C. -3. D. -1或3. 10.点A(2,y₁)、B(3,y₂)是函数 的图象上两点，则y₁与y₂的大小关系是( ). D. 不能确定 11. 下列关于函数. 说法中错误的有 ( )个. ①它的图象是抛物线； ②对称轴是y轴； ③顶点坐标是(0，0)；④当a>0时有最大值； ⑤当a>0时y随x增大而增大； ⑥. 当a<0时，图象开口向下 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.在同一直角坐标系中，函数y= mx+m和函数 (m是常数,且m≠0)的图象可能是( ) 三、解答题 13. 一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点 (-1，-2) (1) 写出这个函数的解析式； (2)画出这个函数的图象； (3) 对称轴的左侧，y随x的增大而怎样变化? (4) 这个函数有最大值还是最小值? 这个值是多少? 14. 函数 为二次函数 (1) 若其函数图象开口向上，求函数的解析式： (2)若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式； 15. 已知,如图: 直线AB过x轴上的点 A(2,0),且与抛物线 相交于 B，C两点，点 B 的坐标为(1, 1). (1)求直线AB 和抛物线的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D，使得 求点 D的坐标. 第二课时 一、填空题 1. 抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ； 抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ； 抛物线 的顶点坐标为 ， 对称轴为 . 2.把抛物线 向 平移 个单位，就得到抛物线 3.抛物线 向左平移3个单位，就得到抛物线 . 4.抛物线 的开口向 ， 顶点坐标是 . 5. 二次函数 的最小值 . 6. 抛物线 与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 . 二、选择题 7. 要得到抛物线 可将抛物线 ( ) A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5 个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5 个单位 8.下列各组抛物线中能够互相平移得到的是( ). 与 与 与 与 9. 抛物线 的顶点坐标是 ( ). A. (0, -2) B. (0, 2) C. (-2, 0) D. (2, 0) 10. 抛物线 向左平移4个单位，得到的抛物线解析式为 ( ). 11. 将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 ( ) 12. 抛物线 与 的形状完全相同，则a的值为( ). A. 2 B. -2 C. ±2 D. 不能确定 三、解答题 13. 填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y=3x² y=-2x²+1 y= (x-1)2 14.顶点坐标为开口方向与抛物线 的方向相反，形状相同，求抛物线解析式. 15. 已知二次函数. 的图象与x轴交于 A、B两点，点A 的坐标为 求点 B 的坐标. 第三课时 一、填空题 1. 把抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度可得到抛物线 2. 抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 . 3. 抛物线 有最 点, 其坐标是 ,当x 时, y随x的增大而减小. 4. 抛物线. 与抛物线 的开口大小 ，它们关于 对称. 5. 若抛物线 过点 (1, -4), 则m= . 6. 若抛物线 上有一点 A(3，-1)，则点 A关于对称轴的对称点 A'的坐标为 . 二、选择题 7. 抛物线 向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为( ). 8. 抛物线 的顶点坐标是 ( ). A. (-2, 1) B. (-2, -1) C. (2, 1) D. (2, -1) 9. 顶点坐标为(-2，3)，开口方向和大小与抛物线 相同的解析式为 ( ). 10.点A(2,y₁), B(3,y₂)是二次函数. 的图象上两点，且. 则( ). A. m>0 B. m<0 C. m≠0 D. m≤0 11. 已知抛物线 有最高点，则m的范围是 ( ). A. m<-1 B. m>-1 C. m≤-1 D. m≥-1 12. 在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动，而把x轴、 y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ). 三、解答题 13. 已知抛物线的顶点为(-2，-4)，且经过点 求此抛物线的解析式. 14.把二次函数. 的图象先向左平移 3 个单位长度，再向上平移4 个单位长度可得到二次函数 的图象 (1) 求a,h,k的值; (2) 指出二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3) 当1≤x≤5时, 求函数y的取值范围. 15. 已知，如图，在平面直角坐标系 xoy中，抛物线l₁的解析式为 将抛物线l₁平.移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点(0，2)，且其顶点A的横坐标为最小正整数. (1) 求抛物线l₂的解析式； (2) 若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线 设抛物线l₃的顶点为B，直线OB 与抛物线l₃的另一个交点为C.当 OB=OC时, 求点C的坐标. 第四课时 一、填空题 1. 把二次函数 配方成 形式为 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 . 当x= 时，y最值= ；当a<0时, x 时, y随x增大而减小; x 时, y随x增大而增大. 2. 把二次函数的表达式 化为 的形式, 那么h+k= . 3. 抛物线. 的顶点坐标是 ，它与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 . 4. 把二次函数 配方成 的形式，得 ，这个函数的图象有最 点，这个点的坐标为 . 5. 已知二次函数. 当x= 时, 函数y有最值 ,当x 时,函数y随x的增大而增大, 当x= 时, y=0. 6. 已知抛物线 (1)若抛物线的顶点是原点，则 ； (2)若抛物线经过原点，则 ； (3) 若抛物线的顶点在y轴上，则 ； (4) 若抛物线的顶点在x轴上，则 . 7. (1) 抛物线 必过 点. (2)若二次函数. 经过原点，则m= ，则它的解析式是 . (3) 若抛物线 的顶点在x轴上，则c的值是 . (4) 若二次函数 的最大值是3, 则a= . 二、选择题 8. 抛物线 的顶点坐标是 ( ). D. (1, 0) 9. 二次函数. 的图象必过点 ( ). A. (0, a) B. (-1, -a) C. (-1, a) D. (0, -a) 10. 如果点M(-2, y₁), N(-1, y₂)在二次函数. 的图象上，那么下列结论正确的是( ). 11. 二次函数 的图象如图所示，那么m的取值范围是 ( ). A. m>0 B. m>3 C. m<0 D. 0<m<3 12. 在同一坐标系内，函数. 和y= kx-2(k≠0)的图象大致如图 ( ). 三、解答题 13. 已知二次函数 (1) 将其化成 的形式； (2) 写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3) 求图象与两坐标轴的交点坐标； (4) 画出函数图象； (5) 说明其图象与抛物线 的关系； (6) 当x取何值时，y随x增大而减小； (7) x取何值时, y>0,y=0,y<0;(8)当x取何值时,函数y有最值?并求出最值? (9) -4<x<0时，y的取值范围；(10) 求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积. 14. 画出 的图象，并求：(1) 顶点坐标与对称轴方程； (2) 当x取何值时，y随x增大而减小? 取何值时，y随x增大而增大? (3) 当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4) 当x取何值时, 时，y的取值范围? 15. 已知函数 和 的图象交于 点和(1, 4)点,并且 的图象与y轴交于点(0，3). (1) 求函数y₁和 的解析式，并画出函数示意图； (2)x为何值时, 第五课时 一、填空题 1. 函数 的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为 平方单位. 2. 抛物线 的图象经过第 象限. 3. 已知二次函数 若 则相对应的函数的值y₁, y₂, y₃的大小关系是 . 4. 已知二次函数. 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则a--b+c 0; 4a+2b+c 0.(填“>”, “=”, 或“<”) 二、选择题 5. 二次函数 的最大值为( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知抛物线 如图所示，则下列结论：①c=1 ；② a+b+c=0 ; ③a-b+c<0; ④b²-4ac>0 ,其中正确的个数是 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 二次函数 的图象 (局部) 如图所示，则下列四个一断中，错误的是 ( ). A. a>0,b<0,c<0 C . a+b+c>0 D. b<a+c 8. 已知 的图象如左图所示，则函数y= ax-b的图象 ( ). 9. 函数 的图象如右图所示，则下列关系式中成立的是 ( ). 10. 已知二次函数 的图象女5个结论: ① abc>0; ② b<a+c; ③ 4a+2b+c>0;④ 2c<3b; ⑤ a+b>m( am+b),(m≠1的实数) 其中正确的结论有 ( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.已知二次函数. 且a<0,b=0,c<0, 则图象一定经过 ( ) 象限. A. 三、 四 B.一、 三、 四 C.一、 二、 三、 四 D.二、三、 四 12. 已知二次函数 且a<0,a-b+c>0,则一定有 ( ). 三、解答题 13. 已知抛物线 (1) k为何值时，抛物线关于y轴对称；(2) k为何值时，抛物线经过原点. 14. 如图是二次函数 的图象的一部分； 图象过点A(-3,0), 对称轴为x=-1, 给出四个结论: ②2a+b=0;③a-b+c=0; ④5a<b. 其中正确的是 . (填序号) 15. 定义{a,b,c}为函数. 的“特征数”.如：函数 的“特征数”是{1,-2,3}, 函数y=2x+3的“特征数”是{0,2,3},函数y=-x的“特征数”是{0,-1,0} (1) 将“特征数”是 的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在(1) 中，平移前后两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线分别交于 D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形的形状，说明理由并计算其周长. 第六课时 一、填空题 1. 二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 ； ②顶点式 ：③双根式 . 2. 若二次函数 的图象经过点(1，0)，则a的值为 . 3. 已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为 则它与x轴的另一个交点为 . 4. 二次函数 的图象如图所示，求： (1) 对称轴方程 ;(2) 函数解析式 ; (3) 当x 时, y随x增大而减小; (4) 由图象回答： 当y>0时, x的取值范围 ; 当y=0时, x= ; 当y<0时, x的取值范围 . 5. 抛物线 过((0,4),(1,3),(-1,4)三点，则抛物线的解析式__________。 · 6. 抛物线 过(-3,0),(1,0).两点，与y轴的交点为(0，4)，则抛物线的解析式 . 7. 抛物线 的顶点为(2,4) ,且过(1,2) 点, 则抛物线的解析式 . 8. 抛物线 中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表： x -2 -1 1 2 4 5 y -5 0 4 3 -5 - 12 设抛物线C₁与y轴的交点为C，那么点 C的坐标为 ，抛物线C₁的表达式为 . 二、解答题 9. 已知二次函数 的图象经过(2, -1) 和(4, 3) 两点. 求二次函数 的表达式. 10. 抛物线 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是 3，求这个抛物线的解析式. 11.抛物线过(-1，-1)点，它的对称轴是直线x+2=0，且在x轴上截得线段的长度为 求抛物线的解析式. 12. 抛物线 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式. 13. 把抛物线. 沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(0，3)，求平移后的抛物线的解析式. 14.已知函数. 它的顶点坐标为( 与 交于点(1,6) ,求 的函数解析式. 第七课时 一、填空题 1. 若二次函数 的图象经过点(1，0)，则a的值为 . 2. 已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为 则它与x轴的另一个交点为 . 3. 已知函数 它的顶点坐标为(-3,-2), y₁与. 交于点(1,6),则y₁，y₂的函数解析式分别为 . 4. 将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 . 5. 已知抛物线C₁ 的解析式. 抛物线C₂与抛物线 C₁ 关于x轴对称，求抛物线C₂ 的解析式为 . 二、选择题 6. 已知二次函数的图象与 y 轴交点坐标为(0，1)，与x轴交点坐标为(1，0)和(-1，0)，则函数解析式为( ). 7. 如果二次函数图象的形状与 的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，那么这个函数的解析式为( ). 或 或 8. 如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直，若小正方形边长为x，且0<x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( ). 9. 将抛物线 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( ). 三、解答题 10. 已知: 抛物线 经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小，求抛物线的解析式； 11. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，k为正整数. (1) 求k的值: (2) 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式； 12. 抛物线 与x轴的交点分别为 (1) 求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点； (2) 若AB=2, 求此抛物线的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$