精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考暑期达标模拟检测卷（基础版）

2024-2025 八年级第一次月考 暑期达标模拟检测卷（基础版） （范围：勾股定理 实数）（北师大版） （满分 140分，时间 120 分钟） 考试须知： 答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位． 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. ，， 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 2平方根是 B. 0的平方根是0 C. 1的平方根是 D. 的立方根是 4. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 9的算术平方根是_____． 11. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为_________ 12. 在实数范围内，等式＋－＋3＝0成立，则＝________． 13. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得________ 14. 《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，则可列方程：___________． 15. 若a、b分别是整数部分和小数部分，则的值为__________． 16. 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）_____________________． 三、解答题（本大题共8小题，共84分，解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 如图，中，，，，于点，求 （1）的长； （2）的长． 20. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示数为m. （1） ______. （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟. 21. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 22. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简： 以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题： （1）利用你观察到规律，化简 （2）计算： 23. 如图，正方形的边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形． （1）数轴上点A表示的数为___________； （2）求图中阴影部分的面积是多少？ （3）阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 24. 请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 八年级第一次月考 暑期达标模拟检测卷（基础版） （范围：勾股定理 实数）（北师大版） （满分 140分，时间 120 分钟） 考试须知： 答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位． 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的特征，即可解答． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意； B、，不能构成直角三角形，不合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 2的平方根是 B. 0的平方根是0 C. 1的平方根是 D. 的立方根是 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A.2的平方根是，则A符合题意； B.0的平方根是0，则B不符合题意； C.1的平方根是，则C不符合题意； D.的立方根是，则D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 4. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义判断，最简二次根式满足两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式，2、被开方数不含能开方开的尽的因数或者因式． 【详解】A、被开方数是小数， 所以不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数2是开方开不尽的整数，所以是最简二次根式，符合题意； C、被开方数12含有能开方的因数4，所以不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数18含有能开方的因数9，所以不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式满足的两个条件是解题的关键． 5. 如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形与数轴的结合，通过已知条件，求解直角三角形斜边通过旋转落在数轴上点的位置． 根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角三角形的斜边长为， 因此A点表示的数为． 故选C． 6. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：． 7. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有意义可得，再结合，化简． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键． 8. 在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根概念是解题的关键． 11. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为_________ 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长．根据正方形的性质证，推出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵根据正方形的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 则正方形B的面积为25． 故答案为：25． 12. 在实数范围内，等式＋－＋3＝0成立，则＝________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，2-x≥0且x-2≥0， 解得x≤2且x≥2， 所以，x=2， y=3， 所以xy=23=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 13. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，合并同类项，注意运算顺序，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得：，据此化简即可． 【详解】解：根据图示，可得：， ． 故答案为： 14. 《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，则可列方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设折断处距离地面x尺，根据勾股定理，列出方程，即可． 【详解】解：设折断处距离地面x尺，根据题意，得： ． 故答案为： 15. 若a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，求出的值，准确计算是解题的关键． 根据无理数的估算得出，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴的整数部分， 小数部分， ∴． 故答案为：． 16. 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可． 【详解】∵第一个等式：，即； 第二个等式：，即； 第三个等式：，即； …… ∴第n个等式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共84分，解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. （1） （2） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）方程两边同时除以2，然后直接开方求解即可； （2）直接利用立方根的概念求解即可． 【详解】（1） ∴ （2） 【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再进行加减法即可； （2）先计算立方根、绝对值，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【点睛】此题考查实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 19. 如图，在中，，，，于点，求 （1）的长； （2）的长． 【答案】（1）13； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）根据三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 ∵在中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据三角形的面积可得：， 即，解得： 【点睛】本题考查了勾股定理和利用三角形的面积求直角三角形斜边上的高，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是关键． 20. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. （1） ______. （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求平方跟. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 21. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 22. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简： 以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简 （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）求出，据此把所求式子中的每一项分母有理化后隔项相消即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∴ ． 23. 如图，正方形边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形． （1）数轴上点A表示的数为___________； （2）求图中阴影部分的面积是多少？ （3）阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 【答案】（1） （2）10 （3），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由图可知点A在点B左侧，进而可知点表示的数为； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解； （3）由阴影部分的面积即可求得边长，以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为16， ∴， ∵数轴上点B表示的数为，由图可知点A在点B左侧， ∴点表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图中阴影部分的面积； 【小问3详解】 解：∵图中阴影部分的面积10， ∴阴影部分正方形的边长是， 以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点，如图所示，该点即为所求． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，在数轴表示无理数的点，掌握无理数在数轴的表示方法是解决问题的关键． 24. 请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 【答案】（1）若，则叫的五次方根 （2） （3），为任意实数 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【小问1详解】 解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$