第10讲 圆周角（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第10讲 圆周角（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2023秋•嘉兴期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023•宁波模拟）如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　　． 3．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2024•宁波模拟）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 　　． 5．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•鹿城区月考）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 题型三．相交弦定理 7．（2021秋•东阳市月考）已知四边形两条对角线相交于点，，，，则 的值为　　 A．6 B．7 C．12 D．16 8．（宁波模拟）如图，的弦、相交于点，若，则　　． 9．（温州）的两条弦，交于点，已知，，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，假命题的是 A．两条弧的长度相等，它们是等弧 B．等弧所对的圆周角相等 C．所有的等边三角形都相似 D．位似图形一定有位似中心 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（    ） A．26° B．52° C．64° D．74° 3．⊙是△的外接圆，,则的度数是（  ） A．40° B．50° C．60° D．100° 4．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cos∠D的值是（       ）． A．3 B． C． D． 5．如图，在中，点，，都在上，，则（    ） A．110° B．120° C．130° D．140° 6．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 7．下列语句中，正确的有（ ）个． （1）三点确定一个圆        （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）相等的弦所对的弧相等 （4）相等的圆心角所对的弧相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，⊙是的外接圆，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线交于点，是正方形外一点，且，连接若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，已知在⊙O中，AB=BC=CD．若∠ADC=40°，则∠E= . 12．如图，内接于，，，则 ． 13．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，弦CP交AB于点D，已知∠ADP=75°，则∠POB等于 °. 14．已知是内一点，是的中点，，，，，则 ． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （I）AB的长等 ； （Ⅱ）在如图所示的网格中，经过点A，B的圆，用无刻度的直尺，作弦BC，使得．并简要说明弦BC是如何找到的（不要求证明） ． 16．如图，在矩形ABCD中，，AD=1，E为AD边上的一动点，M、N为BC边上的两个动点，且满足∠MEN=45°，则线段MN长度的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，已知、是的两条直径，若，求的度数． 18．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑） 19．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图1中作∠BMC，使，且格点M在⊙O上． (2)在图2中作∠BNC，使，且格点N在⊙O上． (3)在图3中作∠PBC，使，且格点P在⊙O上． 20．如图①，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“纯倍角”． (1)如图②，是圆的直径，弦垂直于，是弧上一点，连结交于点，连结，是的“纯倍角”吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，设弧的度数为，请用含的代数式表示和的度数． (3)如图③，在（1）的条件下，连结，直径，．求弦的长． 21．【提出问题】 如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变． 【特殊位置探究】 （1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长； 【一般规律探究】 （2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，y． ①求证：∠ACQ＝∠CPA； ②求y与x之间的函数关系式； 【解决问题】 （3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案） 22．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ； (2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值； （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 23．数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内两个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对两个花坛分别测量了一些数据，如右表所示. 目标 花坛1 花坛2 图形 测量数据 ， 点M在上， ，， （1）花坛1的半径为 ； （2）根据表中测量数据，可得花坛2的长度的最小值为 m. 24．【综合与实践】 当进入博物馆的展览厅时，你是否留意分隔观赏者和展品围栏所放的位置？对于你的身高而言，你认为它的位置恰当吗？ (1)要找出围栏摆放的适当位置，首先要知道对于一般高度的观赏者何处观赏最理想． 如图（1），观赏最佳的位置就是当展品的最高点P与最低点Q与观赏者的眼睛E所形成的视角q最大． 如图（2），当经过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角q最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于E的点， ∵__________（填“>、=或<”）， 又__________， ∴__________（填“＞、=或<”）． ∴眼睛位于点E处时，q最大． (2)如图（3），假如墙壁上的展品的最高点P距离地面的高度为米，最低点Q距离地面的高度为2米，观赏者的眼睛E距离地面的高度为米，那么围栏放在什么位置最合适呢？由题意可得，米，米，米．请求出的值．（提示：作，分别连接．在中，运用勾股定理求得） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆周角（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2023秋•嘉兴期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得的度数． 【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， 根据量角器的读数方法得：． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半是解题的关键． 2．（2023•宁波模拟）如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　或或　． 【分析】根据，，得，由是的直径，得，然后分三种情况讨论即可求出答案． 【解答】解：，， ， 是的直径， ， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是求出的度数和分三种情况讨论求角． 3．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 【分析】（1）易证，，从而可知，即； （2）延长交于点，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 即， （2）解：延长交于点， 是的外角， ， ， ， ， ； （3）解：是中点 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2024•宁波模拟）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 　　． 【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据圆周角定理得到为的直径，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接， 四边形为矩形， ， 为的直径， ，， ， 圆的直径为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆周角定理、勾股定理，熟记的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 5．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可 6．（2022秋•鹿城区月考）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可； （2）连结，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到，为等边三角形，进而得到，即可得证． 【解答】（1）解：，， ； （2）证明：连结， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ，为等边三角形， ， 四边形为菱形． 【点评】本题考查圆内接四边形，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系和菱形的判定．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，等弧对等角是解题的关键． 题型三．相交弦定理 7．（2021秋•东阳市月考）已知四边形两条对角线相交于点，，，，则 的值为　　 A．6 B．7 C．12 D．16 【分析】由题意可知，点、、在以点为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，即可求出答案． 【解答】解：， 点、、在以点为圆心的圆周上运动， ，， ， ， 由相交弦定理可得， ， 故选：． 【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键． 8．（宁波模拟）如图，的弦、相交于点，若，则　　． 【分析】根据相交弦定理得到，于是得到结论． 【解答】解：的弦、相交于点， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键． 9．（温州）的两条弦，交于点，已知，，，求的长． 【分析】求，已知了的长，关键是求出的长．已知了，的长，可根据相交弦定理来求出的长，进而可求出的长． 【解答】解：圆的弦，相交于， ， ，，， ， ． 即：的长是11． 【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出的长是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，假命题的是 A．两条弧的长度相等，它们是等弧 B．等弧所对的圆周角相等 C．所有的等边三角形都相似 D．位似图形一定有位似中心 【答案】A 【详解】A选项中，因为“长度相等的弧不一定是等弧”，所以A中说法错误，符合题意； B选项中，因为“等弧所对的圆周角相等”是正确的，所以B中说法正确，不符合题意； C选项中，因为“所有等边三角形都相似”是正确的，所以C中说法正确，不符合题意； D选项中，因为“位似图形一定有位似中心”是正确的，所以D中说法正确，不符合题意． 故选A． 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（    ） A．26° B．52° C．64° D．74° 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理得到∠ADC=90°，∠ABD=∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数． 【详解】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=90°-∠CAD=90°-26°=64°， ∴∠ABD=∠ACD=64°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．⊙是△的外接圆，,则的度数是（  ） A．40° B．50° C．60° D．100° 【答案】B 【详解】∵,   ∴ ；由圆周角定理可求：.故选B. 4．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cos∠D的值是（       ）． A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果． 【详解】解：连接BC， ∴∠D=∠A， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=3×2=6，AC=2，. 故选B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键． 错因分析：中等题.本题选错的原因是对圆周角定理及其推论没有掌握，未能正确作出辅助线，构造直角三角形，进而不能求出锐角三角函数值。 5．如图，在中，点，，都在上，，则（    ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】D 【分析】连接OC，利用圆周角定理得到∠AOC=2∠2，∠BOC=2∠1，再计算即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵∠AOC和∠2所对的弧相同，∠BOC和∠1所对的弧相同， ∴∠AOC=2∠2，∠BOC=2∠1， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠2+2∠1=2(∠2+∠1)=270°=140°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】要求∠B的度数，可以求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解． 【详解】解：∵∠APD是△APC的外角， ∴∠APD=∠C+∠A， ∵∠A=30°，∠APD=60°， ∴∠C=∠APD-∠A=60°-30°=30°， ∵∠B和∠C是同弧所对的圆周角， ∴∠B=∠C=30°，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形外角的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键． 7．下列语句中，正确的有（ ）个． （1）三点确定一个圆        （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）相等的弦所对的弧相等 （4）相等的圆心角所对的弧相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】试题分析：根据确定圆的条件，垂径定理，以及圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理对各小题分析判断后利用排除法求解． 解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故本小题错误； （2）平分弦的直径，当被平分的弦是直径是直径不垂直于弦，故本小题错误； （3）相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故本小题错误； （4）相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故本小题错误； 综上所述，正确的有0个． 故选A． 考点：确定圆的条件；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 8．如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理，连接，，利用等腰三角形性质，三角形内角和定理，得到，再利用圆周角定理得到即可解题． 【详解】解：连接，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．如图，⊙是的外接圆，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°， ∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°． 故选D． 10．如图，正方形的对角线交于点，是正方形外一点，且，连接若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由四边形是正方形，，得，，，证明，，，四点共圆，可得是等腰直角三角形，故，，在中，可得，从而． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是正方形，， ，，， ， ， ， ，，，四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质及应用，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题． 二、填空题 11．如图所示，已知在⊙O中，AB=BC=CD．若∠ADC=40°，则∠E= . 【答案】60°. 【分析】连接OA，根据圆周角定理进行计算，即可得到答案. 【详解】连接OA， 因为AB=BC=CD，∠ADC=40°，则可得∠AOD=120°，根据圆周角定理则有∠E=∠AOD=60°. 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理. 12．如图，内接于，，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，结合已知条件， 得出，得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得是解题的关键． 13．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，弦CP交AB于点D，已知∠ADP=75°，则∠POB等于 °. 【答案】90 【分析】先根据等边三角形的的性质和三角形的外角性质求出∠ACP，进而求得可得∠BCP，最后根据圆周角定理∠BOP=2∠BCP=90°． 【详解】解：∵∠A=∠ACB=60°，∠ADP=75°， ∴∠ACP=∠ADP-∠A=15°， ∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=45°， ∴∠BOP=2∠BCP=90°. 故答案为90. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的的性质，三角形外角的性质，以及圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14．已知是内一点，是的中点，，，，，则 ． 【答案】4 【分析】延长至，使，则有A，F，B，四点共圆，得到△BCF是等腰三角形，利用三线合一可得，进而用勾股定理求出，再利用中位线性质求出． 【详解】延长至，使，则且， ∴， ∴A，F，B，四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． 又， ∴， ∴． 故答案为：4 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是能够构建四点共圆． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （I）AB的长等 ； （Ⅱ）在如图所示的网格中，经过点A，B的圆，用无刻度的直尺，作弦BC，使得．并简要说明弦BC是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理运算求解即可； （Ⅱ）取圆上点D，取格点E，利用圆周角定理：等弦所对的圆周角相等，连接并延长交圆于点C，连接，则即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）解由题意可得：； （Ⅱ）如图，取圆上点D，取格点E，连接，则， ∴是的垂直平分线 所以 延长交圆于点C，连接， ∵在同圆中，两个相同的圆周角所对的弦相等 ∴，则即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，，AD=1，E为AD边上的一动点，M、N为BC边上的两个动点，且满足∠MEN=45°，则线段MN长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】作△EMN的外接圆圆O，连接OE、OM、ON，过点O作OH⊥BC于点H，设圆O的半径为r，判断出△OMN是等腰直角三角形,得到MN,结合垂径定理得到OE+OH=,可得OE+OH最小值为,即求出r的最小值,从而求出MN最小值． 【详解】 作△EMN的外接圆圆O，连接OE、OM、ON，过点O作OH⊥BC于点H， 设圆O的半径为r，则OE=OM=ON=r 因为∠MEN=45°， ∴∠MON=2∠MEN=90° ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴∠OMN=45°，根据勾股定理得MN== ∵OH⊥BC ∴OH=MN= ∴OE+OH= 在矩形ABCD中，AD∥BC ∴点E到直线BC的距离为AB的长为 又∵点H在BC上，OH⊥BC ∴OE+OH的最小值为,此时= 即r的最小值为r= 所以MN的最小值为= 故答案为: 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造辅助圆解决问题． 三、解答题 17．如图，已知、是的两条直径，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角．根据同弧所对的圆周角相等，得到，根据，得到，即可得出结果．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵、是的两条直径， ∴， ∴． 18．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑） 【答案】甲将球传给乙，让乙射门好 【分析】设AQ交⊙O于点M，连接PM，则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即可分析求得答案． 【详解】解：甲将球传给乙，让乙射门好，理由如下： 如图所示，设AQ交⊙O于点M，连接PM， 则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角， 由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A， 所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添加辅助线转化为是解题的关键． 19．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图1中作∠BMC，使，且格点M在⊙O上． (2)在图2中作∠BNC，使，且格点N在⊙O上． (3)在图3中作∠PBC，使，且格点P在⊙O上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同一个圆中等弧所对的圆周角相等画出即可； （2）根据整个圆所对的圆周角是画出即可； （3）根据直径所对的圆周角是画出即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】此题考查了无刻度的直尺作图及圆周角，解题的关键是熟悉圆周角的性质． 20．如图①，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“纯倍角”． (1)如图②，是圆的直径，弦垂直于，是弧上一点，连结交于点，连结，是的“纯倍角”吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，设弧的度数为，请用含的代数式表示和的度数． (3)如图③，在（1）的条件下，连结，直径，．求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是的直径，弦可得，从而得到，结合等腰三角形底边上三线合一可得，根据对顶角相等，等量代换，即可得出结论； （2）根据圆周角定理可得，，结合可得，结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可得到答案； （3）连接，，根据图形可得，则，，勾股定理即可得到 【详解】（1）解：是的“纯倍角”，理由如下： 如图所示，设交于点， ∵是的直径，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的“纯倍角” （2）∵弧的度数为， ∴ ∵ ∴， ∴ ． （3）根据图3可得，，则， 连接； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线． 21．【提出问题】 如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变． 【特殊位置探究】 （1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长； 【一般规律探究】 （2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，y． ①求证：∠ACQ＝∠CPA； ②求y与x之间的函数关系式； 【解决问题】 （3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案） 【答案】(1)tan∠P，AQ＝8；(2)①答案见解析，②y；(3) 或． 【分析】(1)连结OD，利用垂径定理先求解DE，再求解OE，从而可得tan∠P的值，连结BQ，则∠AQB=90°，利用三角函数求解AQ即可． (2)①连接BQ，AC， 证明∠ACQ=∠ABQ，再利用AB为直径，AB⊥CP，可得结论；②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，证明△FCB∽△FNA，可得，再求解tan∠P=，结合DP=x，，可得结论． (3)当OF= 1时，AF=6或4．再分两种情况讨论，AF=6时，则BF=4，可得y=，再求解x=．连接QD，证明△PDQ∽△CAQ，从而可得答案，当AF=4时，y=，解得x = 20．同理可得． 【详解】解：(1)连接OD， ∵直径AB⊥CD，AB＝10，CD＝8， ∴DE=CD=4，OD=， ∴ ∴AE=OA+OE=5+3=8， ∵DP=2， ∴PE=PD+DE=2+4=6， ∴tan∠P=， 连接BQ，则∠AQB=90°， ∵ 在RT△ABQ中， AQ＝ABcos∠BAQ==10×=8． (2)①证明：连接BQ，AC， ∵，      ∴∠ACQ=∠ABQ， ∵AB为直径， ∴∠QAB+∠ABQ= 90°， ∴AB⊥CP， ∴∠P+∠BAP= 90°， ∴∠ACQ =∠CPA． ②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N， ∵AB为直径， ∴∠ACB=∠NAC=90°， ∴BC∥AN， ∴△FCB∽△FNA， ∴， ∵AB⊥CD，AE=8，CE=4， ∴，， tan∠P=， ∵DP=x， ∴y= (3)当OF= 1时，F在O的右边时，AF = 6；当F在O的左边时，AF =4． 当AF=6时，则BF=4， ∴y=， ∴ 解得x=． 经检验：是原方程的根且符合题意． 如图，连接QD， ∵四边形ACDQ为⊙O的内接四边形， ∵∠ACQ= ∠P，∠ CAQ= ∠PDQ， ∴△PDQ∽△CAQ． ∴ ∴ ∴ 当AF=4时，y=，解得x = 20． 同理可得 ∴当OF= 1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握构建适当的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 22．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ； (2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值； （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）8；（2）；（3）元 【分析】（1）过点 O作于E，则四边形是矩形，据此得到，再由，即可得到； （2）如图所示，连接，由折叠的性质可得，则的周长，根据题意可得点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，故当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，利用勾股定理求出，则的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则，由圆周角定理得到，则；如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，由，deed点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，由（1）可知，即，证明四边形是正方形，进而证明四边形是矩形，得到，则，再由，得到当最小时，最小，则最小值为，可得种植牡丹花所需费用至少为元． 【详解】解：（1）如图所示，过点 O作于E，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为8， 故答案为：8； （2）如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴的周长， ∵， ∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动， ∴当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M， ∵， ∴， ∴点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∴最小值为， ∴种植牡丹花所需费用至少为元． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最小值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，圆周角定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线找到动点的估计是圆是解题的关键． 23．数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内两个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对两个花坛分别测量了一些数据，如右表所示. 目标 花坛1 花坛2 图形 测量数据 ， 点M在上， ，， （1）花坛1的半径为 ； （2）根据表中测量数据，可得花坛2的长度的最小值为 m. 【答案】 【分析】（1）根据圆周角为所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答； （2）记该圆的圆心为O，连接、、、，过点O作于A，可得，当点N、M、O三点共线时，即时，半径最小，则越小，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）连接，如图， ∵， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴半径， 故答案为：. （2）记该圆的圆心为O，连接、、、， ∵， ∴， 过点O作于A，如图， ∵， ∴， ， ∴， 设半径为r米，则，当点N、M、O三点共线时， 即时，半径最小，则越小，如图，       ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ， 故的最小值为. 【点睛】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，勾股定理等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的做辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．【综合与实践】 当进入博物馆的展览厅时，你是否留意分隔观赏者和展品围栏所放的位置？对于你的身高而言，你认为它的位置恰当吗？ (1)要找出围栏摆放的适当位置，首先要知道对于一般高度的观赏者何处观赏最理想． 如图（1），观赏最佳的位置就是当展品的最高点P与最低点Q与观赏者的眼睛E所形成的视角q最大． 如图（2），当经过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角q最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于E的点， ∵__________（填“>、=或<”）， 又__________， ∴__________（填“＞、=或<”）． ∴眼睛位于点E处时，q最大． (2)如图（3），假如墙壁上的展品的最高点P距离地面的高度为米，最低点Q距离地面的高度为2米，观赏者的眼睛E距离地面的高度为米，那么围栏放在什么位置最合适呢？由题意可得，米，米，米．请求出的值．（提示：作，分别连接．在中，运用勾股定理求得） 【答案】(1)>，，> (2)米 【分析】该题主要考查了圆周角定理和垂径定理、勾股定理和矩形的性质和判定，解题的关键是读懂题意，掌握以上知识点； （1）根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和判断，根据圆周角定理判断出，即可确定； （2）根据米，米，米，得出米，米，根据垂径定理得出米，根据为矩形，，从而得出半径米，在中，运用勾股定理即可求解； 【详解】（1）设点是上任意一个异于E的点， 因为为三角形的外角． ∴， 又， ∴． ∴眼睛位于点E处时，q最大． 故答案为：>，，>； （2）米，米， 米， 米， 米． 米， ， 为矩形， ， 米． ， 半径米， 在中，米，米， 则(米)， ∴米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$