第十二章 全等三角形（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图所示，△ABC平移得到△DEF，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是△ABC和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 5．在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 8．如图，已知△ABC的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 10． 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①； ②；③；④四边形的面积． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．如图，平分．请添加一个条件 ，使得．（填一个答案即可） 12．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    13．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则 m． 14．如图所示，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，通过目测发现，与在同一直线上，那么，之间的距离为 米． 15．如图，在△ABC中，点、分别在边、上，如果，那么的大小为 ． 16．直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）如图，在 △ABC 中，，， 过点 ，，，垂足分别为点 ，．求证：． 18．（本题10分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求点的坐标； (2)求的面积． 19．（本题10分）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 20．（本题10分）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 21．（本题10分）在△ABC中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么△ABC的面积是多少？ 22．（本题12分） 如图1，和中，，，，连、． (1)求证：； (2)如图2，延长交于F，连，求的度数． 23．（本题12分）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图所示，△ABC平移得到△DEF，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵△ABC平移得到△DEF， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是△ABC和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和△ABC中， ， ． 故选：C 3．如图，在△ABC和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当添加时，无法判断，故A选项符合题意； 当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意； 当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意； 当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃． 【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行． 故选：A． 5．在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查作图—基本作图，三角形内角和定理，与角平分线相关的角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ， ， ， ， 故选：B． 6．已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 7．如图，在△ABC中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 8．如图，已知△ABC的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数、全等三角形的性质 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求． 【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先证明与全等，再证明与全等即可判断． 【详解】解：在与中， ， ∴，故③正确； ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故①②正确； 四边形的面积， 故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．如图，平分．请添加一个条件 ，使得．（填一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形全等的方法判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴根据判定，可以添加， 根据判定，可以添加， 根据判定，可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】3 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解． 【详解】解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 13．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则 m． 【答案】18 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先根据“HL“定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中，， ∴， ∴, ∴． 故答案为：18． 14．如图所示，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，通过目测发现，与在同一直线上，那么，之间的距离为 米． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据已知条件证得，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得． 【详解】解：先从处出发与成角方向， ， ，，， ，． ， ， ． 沿方向再走米，到达处，即， 米． 故答案为：． 15．如图，在△ABC中，点、分别在边、上，如果，那么的大小为 ． 【答案】/度 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据平角的定义得到，由此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为 ． 【答案】3或13/13或3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先根据题意画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】是经过等腰直角三角形直角顶点的直线，所在存在如图所示的四种情况：    ，， 只有图（1）和图（2）符合题意． 如图（1），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ， ，， ． 如图（2），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ，， ． 综上，的长为13或3． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）如图，在 △ABC 中，，， 过点 ，，，垂足分别为点 ，．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直定义以及同角的余角相等，证得是解答本题的关键．由已知条件易得，，从而可得，进而可证得，由此可得． 【详解】证明：∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 18．（本题9分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)． 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）作出如图的辅助线，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再结合图形，即可求出B点的坐标； （2）根据，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂线垂足为，过点作轴垂线垂足为．    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解： ． 19．（本题9分）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的判定定理、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 20．（本题10分）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、过直线外一点作这条直线的平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；    （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．    21．（本题10分）在△ABC中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么△ABC的面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)15 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）过作于，根据三角形面积公式求出即可； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：过作于，如图， 点是边上的中点， ， （2）解：过作于，于， 为的角平分线， ， ∵，， ； （3）解：， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 22．（本题12分） 如图1，和中，，，，连、． (1)求证：； (2)如图2，延长交于F，连，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）根据得到，证明即可得到答案； （2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中 ∵， ∴， ∴； （2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 23．（本题12分）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ∵， ， ，， ∵，， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$