2.2.3 向量的数乘运算（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

2.2.3向量的数乘运算教学目标 1．理解并掌握实数与向量乘积的定义、几何意义和运算法则； 2．熟练运用定义、运算律进行向量加、减法的代数运算和几何运算. 教学重点：理解实数与向量乘积的几何意义，熟练地进行向量加、减法、数乘等代数运算和几何运算.教学重难点 教学难点：向量加法、减法、数乘等代数运算，两个非零向量共线的条件的理解和运用．教材分析 向量数乘运算是继向量的加法、向量的减法运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，另外本节的向量共线定理是用法较多的一个定理． 教学工具 教学课件 （一）情境导入教学过程 在2004年奥运会上，我国运动员刘翔以12.91s的成绩获得男子110m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人男子110m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14m记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，…，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示试问，位移s1，s2，… ，s8，具有怎样的关系？ 【设计意图】借助实例说明向量数乘运算，渗透课程思政教育. （二）探索新知 容易看出，位移s1与s2的方向相同，它们的模满足|s2|=2|s1|． 因此，位移s2是位移s1与位移s1的和，即s2= s1+s1．沿用运算习惯，记为s2=2s1．类似地，可以得到s3=3s1，…， s8=8s1 ． 一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量，记作λa λa的模为|λa|= |λ||a| 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时， λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，因为 λa=0，所以其方向是任意的 求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算，简称数乘运算． 上述定义表明，当 λ>0时，向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时，向量 λa可以看作由向量−a 伸长或缩短|λ|倍得到．这是向量数乘运算的几何意义． 容易验证，对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ，向量的数乘运算满足以下法则： (λμ) a=λ(μa)= μ(λa) ； (λ+μ) a=λa +μa； λ(a+b)= λa+λb． 可以看出，向量λa与向量a平行．反之，若有一个向量b与向量a(a≠0)平行，则向量b与a的关系如下： 当b=0时，b=0a； 当b与a方向相同时，记λ= ，则有b= λa ； 当b与a方向相反时，记λ=-，则有b= λa ． 因此，当a≠0时，a∥b ⇔存在实数λ，使得b＝λa． 【设计意图】求λ的过程中可以帮助学生理解向量平行的充要条件. （三）典例剖析 例1.下列各式计算正确的有 (　　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 解: ①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. 例2.如图所示，O为平行四边形ABCD两条对角线的交点， =a， =b，试用向量a、b表示向量 、 ． 解：根据向量的加法、减法法则，可得 =a+b， =a-b． 由于O为平行四边形ABCD两条对角线的交点，可知= = ． 于是，有 = = (a+b) = a+ b， = = (a-b) = a-b． 例3. 向量与不共线，， ()， 若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 解：因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 【设计意图】通通过例题帮助学生体会数与向量的乘法运算和数与字母乘法运算的类似性，加深对向量运算法则及其几何意义的理解，也为线性表示做准备. （四）巩固练习 1.计算： (1)4(a＋b)－3(a－b)－8a； (2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； (3)[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]. 解：(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. (2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (3)原式＝(4a－3b＋b－a＋b)＝(a－b)＝a－b. 2.在△ABC中，若点D满足＝2，则等于 (　　) A．＋　　 B．－ C．－　　 D．＋ 解：如图所示，由题意可得 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 3.已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（    ） A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 解: 因为，，所以， 故向量与向量共线反向. 故选：B. 4. 设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 解: （1），则有，即共线； （2），则有，即共线； （3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使， 即，所以，所以共线， 这与已知条件不共线矛盾，不共线. 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习2.2.3；习题2.2-A组1，2，5，7题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$