21.双杆模型（pdf版）-【师者匠心系列】2024-2025学年高中物理讲义（人教版2019必修三）

A. B. C. D. 刹车时，过山车做匀减速直线运动 刹车时，过山车做非匀变速直线运动，加速度逐渐减小 刹车停下时，过山车的位移 刹车过程中，通过电阻R的电荷量为 1. 过山车的磁力刹车是为了保证在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式；磁性很强的长磁安装在轨 道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧，简化图如图所示。相距为 、水平放置的导轨处于磁感应强 度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等 效为一根长度为l的金属杆AB，过山车的质量为m，过山车刹车时的速度为v 。不计轨道摩擦和空气阻 力。则（ ） 0 【答案】BCD 【解析】 【详解】 AB．金属杆AB在磁场中做切割磁感线运动，当金属杆速度为v时，产生的感应电动势 感应电流 根据牛顿第二定律有 ，可得 可知过山车刹车，速度减小时，加速度也逐渐减小，故A错误、B正确； C．由动量定理 安 21.双杆模型 课前检测 和 可得 对等式两边求和可得 即 故C正确； D．根据动量定理 对等式两边求和可得 故刹车的过程中，通过电阻R的电荷量为 ，故D正确。 故选BCD。 安 安 2 . 如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻 ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终 保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平 A. B. C. D. 金属棒做的是加速度增加的加速运动 力 做的功与安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量 金属棒克服安培力做功等于棒产生的电能与回路产生的焦耳热之和 力 做的功与重力做的功的代数和等于棒获得的动能和电阻 上放出的热量 面垂直，棒在竖直向上的恒力 作用下做加速上升运动的一段时间内，以下说法正确的是（ ） 【答案】BD 【解析】A．棒在恒力 向上加速运动的过程中，受重力、恒力 和向下的安培力，该过程中，速度 增大，感应电动势增大，电流增大，安培力增大，做加速度减小的加速运动，故A错误； B．根据功能关系知，除重力以外其它力做功的代数和等于机械能的增量，则力 做的功与 安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量，故B正确； C．金属棒克服安培力做功等于回路中产生的焦耳热，故C错误； D．根据动能定理得， ，又克服安培力做功等于电阻 上产生 的焦耳热，即 ，整理得， ，可知力 做功与重力做 功的代数和等于动能和电阻 上放出的热量之和，故D正确． 故选BD． 3. 如图甲所示，粗糙平行足够长的金属导轨固定在绝缘水平上，导轨一端接一阻值为 的电阻，整个装 置处于方向竖直向下的匀强磁场中． 时，对金属棒施加一水平向右的外力 ，使金属棒由静止开 始运动，金属棒电阻为 ，导轨电阻忽略不计．已知通过电阻 的感应电流 随时间 变化的关系如图乙所 示．下列关于棒的运动速度 ，外力 ，流过 的电荷量 以及闭合回路中磁通量的变化率 随时间变 化的图像正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】B选项：根据题图乙所示的图像可知 ，其中 为比例系数，由闭合电路欧姆定律可 得： ，可推出： 而 ，所以有： ， 图像是一条过原点且斜率大于零的直线，故B正确， A选项：因 ，所以 ， 图像是一条过原点且斜率大于零的直 线，说明金属棒做的是初速度为零的匀加速直线运动，即 ，故A正确； C选项：对金属棒在沿导轨方向有 ，而 ， 得到 ，可见 图像是一条斜率大于零且与纵轴正半轴有交点的直线， 故C错误； D选项： ， 图像是一条开口向上 的抛物线，故D错误； 故选AB． 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 双杆模型 2021山东卷 12 6 较易 2021广东卷 10 6 易 2022浙江卷 15 10 中 2023全国甲卷 20 16 中 2022辽宁卷 15 8 较易 2023重庆卷 7 4 中 2023湖南卷 14 14 较难 2023全国甲卷 25 20 中 2023上海卷 19 11 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握等间距轨道模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 2. 熟练掌握不等间距轨道模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 课程重难点 课程重点：双杆的运动学、能量学分析 课程难点：双杆的动冲量分析 等间距轨道 具有初速度 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之接 触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 的初速度 ，在运动 过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 一、 （一） ①运动学分析： 以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ，产生 的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电流为 ，则回路中电流为 ， 的加速度为 ，方向 向左 ， 的加速度为 ，方向 向右 。 随着速度 的 减小 ， 的 增加 ，加速度随之 减小 ，则回路中电流 减小 ，所以 减 小 ， 减小 ，所以导体棒 做 加速度逐渐减小的加速运动 ，导体棒 做 加速度逐渐减小的减 速运动 ，当 时，电流 ，速度关系是 ,最终两棒 共速一起匀速直线运动 。 ● ● ②能量学分析： 在共速前，两棒系统 动能 的减少量转化为系统的 焦耳热 ，由能量守恒得， 在共速前，安培力对 做的功分别为 ，由动能定理得， ， ，联立可得系统焦耳热 ● 、 共 ● 、 、 、 共 共 ③动冲量分析： 当两棒加速度为零时，两者达到共速，由动量守恒定律得， ，共同 速度为 . 从开始到共速过程中，通过两棒的电流为 ，历时 ，由动量定理得， ， ，所以流经 或 的电荷量为 或 ● 共 共 ● 共 共 共 共 从开始到共速期间，两棒之间的距离变化量 为 ，由动量定理得 或 ，所以 从开始到共速期间，当 速度为 时，由动量守恒定律， 得 ，再根据电流 ，可得 ，则此时 的加速度为 . ● 共 共 共 共 ● 具有恒定外力 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之接 触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 受到一个恒定外力 ，在运动过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 ①运动学分析： 在恒力 作用下向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ， 产生的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电 流为 ，则回路中电流为 ， 的加速 度为 ，方向 向右 ， 的加速度为 ，方向 向右 。 随着速度 、 的增加，由于开始阶段，加速度 小于 ，所以 大于 ，则 增加 ，所以电流 增大 ， 增大 ， 减小 ，当 等于 时，在很小 内，两棒速度的变 化量 不变，即 相等 ，即 不变 ， 不变 ，最终两棒加速度 相同 ，之后一起 匀加速运动 ，两棒间距离 均匀增大 ，磁通量 均匀增大 ，产生 恒定电流 。 两棒稳定后，其中不变的物理量包括 安培力 ， 电流 ， 速度变化量 ，变化的 物理量包括 两棒间距离 ， 两棒各自速度 。 ● ● ● 安 （二） A. B. C. D. 两导体棒的速度最终将稳定相等，速度大小为 从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 当 棒速度减为 时加速度大小为 两棒之间距离增长量 的上限为 4. 如图所示，在磁感应强度大小为 的匀强磁场区域内，有两根固定的、光滑的，足够长的金属平行导 轨垂直磁场方向放置在水平面上，导轨上面平放着两根彼此平行的导体棒 和 ．已知导轨间距为 ， 导体棒的质量均为 ，电阻均为 ，导轨电阻可忽略，初始时刻 棒静止，给 棒一个向右的初速 ， 则（ ） 【答案】ACD ②能量学分析： 在稳定运动前，外力做功产生的能量，一部分转化为 棒的动能 ，另一部分转化为系统的 内能 ，得， 、 ③动冲量分析： 导体棒 在稳定运动前，由于系统动量 不守恒 ，所以某时刻速度只能采取动量定理分析， 即 。 、 经典例题 【解析】设两棒稳定时共同的末速度为 ，根据动量守恒定律，有 ； 解得 ； 由能量守恒定律知最终稳定后电路中产生的电能为 ； 设当 棒速度减为 时 棒的速度为 ，由动量守恒定律得 ； 解得 ； 此时回路的电流是 ； 棒的加速度为 ； 解得 ； 由法拉第电磁感应定律知电路中产生的感应电动势为 ； 这段时间内回路的电流为 ； 对 棒，由动量定理得 ； 解得 ，故ACD正确，B错误； 故选ACD． A. 5 . 如图所示，一水平面内固定两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨上面横放着两根完全相同的铜棒 和 ，构成矩形回路，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场 ．开始时，棒 静止，棒 有 一个向左的初速度 ，则关于两棒以后的运动，下列说法正确的是（ ） B. C. D. 棒做匀减速直线运动， 棒做匀加速直线运动 棒减小的动量等于 棒增加的动量 棒减小的动能等于 棒增加的动能 两棒一直运动，机械能不断转化为电能 【答案】B 【解析】方案一： 方案二： 当金属棒 向左运动后，由于切割磁感线产生感应电流，于是 受到向右的安培 力， 受到向左的安培力，故 向左做减速运动， 向左做加速运动，随速度的变化，感 应电流逐渐减小，安培力减小，故两棒的加速度减小，故两棒做加速度减小的变速运动，最 后当两棒共速时达到稳定速度，故选项A错误；两棒运动过程中，两棒组成的系统不受外力 作用，故动量守恒，则 棒减小的动量等于 棒增加的动量，选项B正确；由能量关系可 知， 棒减小的动能等于 棒增加的动能与产生的电能之和，选项C错误；当两棒最终匀速 运动时，两棒中无感应电流产生，此时无电能产生，选项D错误. A．初始时 棒向左运动受到向右的安培力， 棒受到向左的安培力，所以 棒减 速， 棒加速，设 棒速度为 ， 棒速度为 ，开始时 ，随着运动两棒的相对 速度 逐渐减小至 ，两棒切割磁场产生的感应电动势为 ， 也 逐渐减小最终为 ，感应电流逐渐减小到 ，安培力逐渐减小到 ，所以 棒做加速度逐渐减 小的变减速直线运动， 棒做加速度逐渐减小的变加速直线运动，故A错误； B．两棒组成的系统受安培力的合力为零，故系统的动量守恒，所以 棒减小的动量等于 棒增加的动量，故B正确； C．回路中有产生感应电流，有电流做功产生电热，所以根据能量守恒可以知道， 棒减小 的动能等于 棒增加的动能与两棒产生电热之和，所以 棒减小的动能大于 棒增加的动 能，故C错误； D．当 时，产生感应电流，机械能转化为电能，最后两棒共速 ，之后两棒 以共同的速度做匀速直线运动，机械能守恒，不再产生电能，故D错误． 故选B． 6. 如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒 、 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒 、 的质量之比为 ，用一沿导轨方 A. 金属棒 、 都做匀速运动 B. 金属棒 上的电流方向是由 向 C. 金属棒 所受安培力的大小等于 D. 两金属棒间距离保持不变 向的恒力 水平向右拉金属棒 ，经过足够长时间以后（ ） 【答案】BC 【解析】AD．若金属棒 做匀速运动，所受的安培力为零， 中电流为零，则 中电流也为零， 不受安培力，而 还受到 作用， 将做匀加速运动．故A错误； 若两金属棒间距离保持不变，回路的磁通量不变，没有感应电流产生，两棒都不受安培力， 则 将做匀加速运动，两者距离将增大．故AD均错误； BC．由上分析得知，当两棒的运动稳定时，两棒速度之差一定，回路中产生的感应电流一 定，两棒所受的安培力都保持不变，一起以相同的加速度做匀加速运动，由于两者距离不断 增大，穿过回路的磁通量增大，由楞次定律判断可知，金属棒 上的电流方向是由 向 ． 设 棒的质量为 ，则根据牛顿第二定律得： 对整体： ， 对 棒： ， 解得， ．故BC正确． 故选BC． 7. 如图所示，宽度为 的光滑固定金属导轨由水平部分和倾斜部分组成，水平部分足够长，倾斜部分与 水平面的夹角为 ．导轨水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分处于斜向上与导轨平面垂直 的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为 ．导体棒 和 分别置于导轨的倾斜部分上和水平部分 上并保持静止，现将导体棒 ，在距导轨水平部分高度为 处释放，导体棒 在到达 处之前已达到 稳定的运动状态，在导体棒 到达 时再释放导体棒 ，导体棒 在 处由倾斜部分进入水平部 分时无能量损失．已知导体棒 质量为 ，电阻为 ，导体棒 质量也为 ，电阻为 ，导轨电阻忽略 不计，当地重力加速度为 ，求： ( 1 ) 导体棒 到达 之前稳定运动时的速度大小． ( 2 ) 整个过程中导体棒 产生的焦耳热． ( 3 ) 整个过程中通过导体棒 某一横截面的电荷量． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 导体棒 到达 之前稳定时， 由平衡条件得： ， 感应电流： ， 解得： ． 导体棒 进入水平部分后， 和 组成的系统动量守恒， 以向左为正方向，由动量守恒定律得： ， 导体棒 和 最终各自的速度大小相同，都为： ， 整个过程，由能量守恒定律： ， 导体棒ab产生的焦耳热： ， 解得： ． 导体棒 自开始运动至到达 的过程中， 通过导体棒 某一横截面的电量： ， 平均感应电流： ， 感应电动势： ， 电荷量： ， 对导体棒 ，由动量定理： ， 电荷量： 解得： ， 整个过程中通过导体棒 的电荷量： ． 8. 如图所示，水平面上固定着两根相距 且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向 下、磁感应强度为 的匀强磁场中，铜棒 、 的长度均等于两导轨的间距、电阻均为 、质量均为 ， 铜棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好．现给铜棒 一个平行导轨向右的瞬时冲量 ，关于此后的过 题型总结 ①电流： ②加速度： 棒1： 棒2： 当 时， ， ,两棒共速 ③最大电流 ：刚开始的时候 ④焦耳热： ⑤共速 : ⑥电荷量： ⑦棒间距变化量： 共 共 共 共 共 巩固练习 A. 回路中的最大电流为 B. 铜棒 的最大加速度为 C. 铜棒 获得的最大速度为 D. 回路中产生的总焦耳热为 程，下列说法正确的是（ ） 【答案】B 【解析】A 选项： B 选项： C 选项： D 选项： 由题意知 获得动量时速度最大，据动量定理可得 获得的速度 ，此后 在安培力作用下做减速运动， 在安培力作用下做加速运动，回路中产生的电动势 ，可知 刚获得动量时回路中产生的感应电流最大，即 ，故A错误； 由A分析知，回路中最大电流为 ，则 所受最大安培力 ，根据牛顿第二定律知， 棒所产生的最大加速度 ，故B正确； 由题意知， 棒做减速运动， 棒做加速运动，当 速度相等时，回路中没有感应 电流，两棒同时向右匀速直线运动，根据动量守恒可知， 最后共同速度为 ，则有： ，得到 棒的共同速度 ，此速度亦为 棒的最大速度，故C错误； 根据系统能量守恒可知， 棒的机械能等于 棒一起匀速运动的机械能和回路中产 生的焦耳热．即 ，代入 和 可解得回路中产生的总焦耳 热 ，故D错误． 故选B. 9 . 如图所示，金属杆 从离地高为 处从静止开始沿弧形轨道下滑，轨道的水平部分有竖直向上磁 感应强度为 的匀强磁场，水平轨道足够长，其上原来放一个金属杆 ．已知杆 的质量为 ，杆 的质 量为 ，不计一切摩擦，杆 、 的电阻之比为 ，其余电阻不计， 取 ，以下 A. 和 的最终速度都为零 B. 杆的最终速度为 C. 整个过程 杆产生的热量为 D. 整个过程产生的总热量为 说法正确的是（ ） 【答案】BC 【解析】A、根据动能定理得： ，解得 棒到达底端的速度为： ，规定向右为正方向，根据动量守恒得： ，解得 共同速度为： ，故A错误；，故B正确； C、根据能量守恒，整个过程产生的热量为： ，则 杆产生 的热量为： ，故C正确；，故D错误． 故选BC． 10 . 如图所示，两根间距为 的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分 组成．其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度为 ，导轨水平段上静止放置一金属棒 ，质量为 ，电阻为 ．另一质量为 ，电阻为 的金属棒 ，从圆弧段 处由静止释放下滑至 处 进入水平段，圆弧段 半径为 ，所对圆心角为 ，求： ( 1 ) 棒在 处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？ ( 2 ) 棒能达到的最大速度是多少？ ( 3 ) 棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？ 【答案】 ( 1 ) 棒在 处进入磁场区速度是 ．此时棒中电流是 ( 2 ) ( 3 ) 棒能达到的最大速度是 棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 棒由静止从 滑下到 的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有： ， 解得： ． 进入磁场区瞬间，回路中电流强度为： ． 设 棒与 棒所受安培力的大小为 ，安培力作用时间为 ， 棒在安培力作用下做 减速运动， 棒在安培力作用下作加速运动，当两棒速度达到相同速度 时，电路中 电流为零、安培力为零， 达到最大速度． 运用动量守恒定律得： ， 解得 棒的最大速度为： ． 系数释放热量应等于系统机械能减少量，故有： 解得： ． 11 . 如图所示，导体棒 、 放在水平的金属导轨上，磁场方向竖直向下，磁感应强度为 ． 棒质量 为 ，与导轨的动摩擦因素为 ， 棒与导轨的摩擦不计．当 棒在外力作用下以 速度向右匀速运动 时， 棒也向右匀速运动．设 ， 棒电阻为 ， 棒电阻为 ．求： ( 1 ) 棒的速度 ． ( 2 ) 外力的功率 ．外 ( 3 ) 回路消耗的电功率 ．电 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 外力的功率为 回路消耗的电功率为 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 棒速度大于 棒速度，回路中感应电动势 ， 由此可求出感应电流： ． 棒在受到向右安培力和向左摩擦力共同作用下保持平衡，可列出下式 ，所以 ． 故答案为： 棒的速度为 ． ．( )． 故答案为：外力的功率为 ． ． 将 代入上式，就可得到答案： ． 故答案为：回路消耗的电功率为 ． 外 外 外 安 安 电 外 摩 12 . 如图所示，两根光滑的金属平行导轨放在水平面上，左端向上弯曲，右端连有绝缘弹性障碍物，导 轨间距为 ，电阻不计．水平段导轨所处空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小 ．质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置其上，它与磁场左边界 的距离为 ，现将质量为 、电阻为 的金属棒 从弯曲导轨上高 为 处由静止释放，使其沿导轨运动．已知在以后的运动过程中，两金属棒始终不会相撞，且 金属棒 撞击障碍物前已经是匀速运动状态，撞击过程中不损耗机械能．设两金属棒运动过程中始终与导 轨垂直且接触良好．求： ( 1 ) 金属棒 刚越过磁场左边界 时 ，它两端的电压大小． ( 2 ) 金属棒 第一次撞击障碍物前， 棒上产生的焦耳热． ( 3 ) 金属棒 最终静止在轨道上离障碍物的距离． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 到达底端时速度大小为 ， 得 ， 电动势 ， 电压 ． 故答案为： ． 匀速直线运动，说明已没有安培力，已没有电流，则 、 两棒速度相等 动量守恒 ， 得： ． 总焦耳热 ， 棒上产生的焦耳热 ． 故答案为： ． 进入磁场后，最终停止，应用动量定理： ， 即 ，得 ． 又 ，得 ． 由分析知，无穷多次碰撞后， 棒最终停靠在障碍物旁．而电量是由磁通量的变化引起 的，故 为 棒与 棒的间距的变化量，且 棒始终是单向直线运动，得： ． 故答案为： ． 总 总 安 13 . 如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 ，导轨上面 横放着两根导体棒 和 ，两导体棒构成矩形回路，两根导体棒的质量均为 ，电阻均为 ，回路中其 余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可 沿导轨无摩擦地滑行，开始时， 棒静止， 棒有指向 棒的初速度 ，若两导体棒在运动过程中始 终不接触，求 ( 1 ) 在运动中产生的焦耳热 最多是多少？ ( 2 ) 当 棒的速度变为初速度的 时， 棒的加速度 是多少？ 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 从开始到两棒达到相同速度 的过程中，两棒的总动量守恒，有 ． 根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热 ， 联立方程，解得 ． 设 棒的速度变为 时， 棒的速度为 ，则由动理守恒定律可知， ，解得 ． 此时回路中的电动势为 ． 此时回路中的电流为 ， 此时 棒所受的安培力为 ， 由牛顿第二定律可得， 棒的加速度 ． 14 . 如图，不计电阻的金属导轨 和 放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁 场中．竖直平面 与 的距离为 ， ； 在绝缘的水平地面上， 与 靠近但不接触； 为矩形， 、 ， ；金属棒 和 完全相 同，长度为 、质量为 、单位长度的电阻为 ； 放在水平导轨上， 放在倾斜导轨上， 与导轨的动摩 学生总结 变式训练 擦因数 ，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为 。 （1）若固定 ， 时 从 以速度 沿导轨向左匀速运动，求通过 的电流 与时间 的关系式； （2）若 以某一速度开始向左 匀速运动的同时释放 ，在 到达 前， 保持静止，求 运动速度的取值范围。 【答案】（1）当 时， ；当 时， ；（2） 【解析】【详解】 （1）设 切割磁感线的有效长度为 ，产生的电动势为 ，则有 电路中的电流为 分别在 和 运动时， （i）当 时，有 ， 联立可得 （ii）当 时，有 ， 联立可得 （2）设 向左运动时的速度为 ，由（1）的分析可知，流过 的电流为 受到的安培力大小为 对 进行受力分析可知， 受到重力、支持力、安培力和摩擦力四个力的作用而平衡，静止在 斜面上，其中摩擦力有沿斜面向下和向上两种可能，若摩擦力沿斜面向下，则有 若摩擦力沿斜面向上，则有 又有 联立以上式子可解得 运动速度的取值范围为 15 . 如图所示，足够长的平行金属导轨弯折成图示的形状，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域．Ⅰ区域光滑导轨 与水平面的夹角 ，存在与导轨平面垂直向上的匀强磁场，Ⅱ区域导轨水平，长度 ， 无磁场；Ⅲ区域导轨与水平面夹角 ，存在与导轨平面平行向下的匀强磁场．金属细杆 在区域 Ⅰ内沿导轨以速度 匀速向下滑动，当 杆滑至距水平导轨高度为 时，金属细杆 在区域Ⅲ 从距水平导轨高度为 处由静止释放，进入水平导轨与金属杆 发生碰撞，由于两金属杆的中 部涂有强力胶，使得碰撞后两根金属细杆粘合在一起继续运动．已知 、 杆的质量均为 ， 电阻均为 ， 、 杆与Ⅱ、Ⅲ区域导轨的滑动摩擦因数均为 ，导轨间距 ， Ⅰ、Ⅲ区域磁场的磁感应强度均为 ．不考虑导轨的电阻，倾斜导轨与水平导轨平滑连接，整个 过程中杆与导轨接触良好且垂直， ， ， 取 ．求： ( 1 ) 金属细杆 的初始速度 的大小． ( 2 ) 金属细杆 、 碰撞前瞬间速度的大小． ( 3 ) 金属细杆 、 最终的位置． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ； 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 由法拉第电磁感应定律得： ． 由闭合电路的欧姆定律得： ． 杆 沿导轨匀速下滑，由平衡条件得： ． 联立解得： ． 杆 沿导轨匀速下滑的位移为 ． 杆 匀速下滑到底端的时间为 ． 杆 匀加速直线运动，有： ． ． 联立解得： ． 杆 沿导轨下滑的位移为 ． 杆 匀加速下滑到底端的时间为 ． 杆 沿导轨匀加速下滑到底端的速度为 ． 因 ，故杆 、 同时进入Ⅱ区域，做匀减速直线运动， 加速度大小均为 ， ． 杆 、 经过时间 碰撞，有 ． 解得： （ 舍去） ( 3 ) 碰撞前瞬间杆 的速度大小为 ． 碰撞前瞬间杆 的速度大小为 ． 杆 、 碰撞过程动量守恒，取水平向左的方向为正方向，有 ． 碰撞后杆 、 的共同速度为 ． 碰撞后杆 、 合为一体，向左减整，冲上Ⅰ区域再回到Ⅱ区域，此时的速度大小为 ． 杆 、 从Ⅰ区域底端向右匀减速运动的位移为 ，有 ． 解得： ． 因 ，则 、 杆最终停在Ⅰ区域底端右侧 处． 16 . 如图所示，相距均为 的光滑倾斜导轨 与光滑水平导轨 连接，水平导轨 处在磁感应强度大小为 ，方向竖直向上的匀强磁场中．光滑倾斜导轨处在磁感应强度大小也为 ，方 向垂直于倾斜导轨平面斜向下的匀强磁场中，如图．质量均为 、电阻均为 的金属导体棒 垂 直于导轨分别放在倾斜导轨和水平导轨上，并与导轨接触良好，不计导轨电阻．现用绝缘细线通过定滑 轮将金属导体棒 连接起来．质量为 的物体 用绝缘细线通过定滑轮与金属导体棒 连接．细 线沿导轨中心线且在导轨平面内,细线及滑轮质量、滑轮摩擦均不计．已知倾斜导轨与水平面的夹角 ，重力加速度为 ，导轨足够长，导体棒 始终不离开倾斜导轨，导体棒 始终不离开水平导 轨．物体 由静止释放，当它达到最大速度时下落高度 ，试求这一运动过程中： 、 、 、 、 ( 1 ) 物体 能达到的最大速度 是多少？ ( 2 ) 金属棒 产生的焦耳热是多少？ ( 3 ) 连接 棒的细线对 棒做的功是多少？ 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 设 达到的最大速度为 ，由法拉弟电磁感应定律得回路的感应电动势为： …① 由欧姆定律得回路中的电流强度为： …② 金属导体棒 受到的安培力为： …③ 设连接金属导体棒 与 的细线中张力为 ，连接金属导体棒 与物体 的细线中张 力为 ，导体棒 及物体 的受力如图：由平衡条件得： ， ， …④ 联立①②③④解得： …⑤． 故答案为： ． 对物体 导体棒 、导体棒 组成的系统，由于导体棒 的电阻相等，流过的 电流时刻相等，故两棒产生的内能 相等．由能的转化和守恒定律得： …⑥ 联立⑤⑥将 代入解得： …⑦ 故答案为： ． 对导体棒 ，设这一过程中细线对其做的功为 ，则由能的转化和守恒定律得： …⑧ 联立⑤⑦⑧三式解得： 故答案为： ． 、 、 、 真题演练 A. 金属框的速度大小趋于恒定值 B. 金属框的加速度大小趋于恒定值 C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值 17 . 如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直． 、 足够长， 整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属 框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平 行．经过一段时间后（ ） 【答案】BC 【解析】A选项，B选项，C选项：当金属框在恒力 作用下向右加速时， 边产生从 向 的感应电流 ，线框的加速度为 ，有 ， 中感应电流从 向 ，在感应电流安 培力作用下向右加速，加速度为 ，有 ，当线框和 都运动后，线框速度 为 ， 速度为 ，感应电流为 ，感应电流从 开始增大，则 从零 开始增加， 从 开始减小，加速度差值为 ，感 应电流从零增加，则加速度差值减小，当差值为零时， ，得 ， ，此时 ，得 ，此后金属框与 的速度差维持不变，感应电流 不变， 受到的安培力不变，加速度不变， 图像如图所示： ，故A错误，BC正确； D选项： 与金属框的速度差不变，但 的速度小于金属框的速度， 到金属框 边的距离越来越大，故D错误； 故选BC． 【教法备注】 不等间距轨道 在宽度为 和 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之 接触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 的初速度 ，在运 动过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 （1）运动学分析： 以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ，产生 的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电流为 ，则回路中电流为 ， 的加速度 为 ，方向 向左 ， 的加速度为 ，方向 向右 。 随着速度 的 减小 ， 的 增加 ，加速度随之 减小 ，则回路中电流 减小 ，所以 减 小 ， 减小 ，所以导体棒 做 加速度逐渐减小的加速运动 ，导体棒 做 加速度逐渐减小的减 速运动 ，当 时，电流 ，此时 ，速度关系 ，最终 两棒匀速 且 < 。 ● ● 二、 【教法备注】 A. B. C. a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 经过足够长的时间后，a棒的速度大小为 整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量 18 . 如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH和连接直轨BE、GD构成，整个 导轨处于同一水平面内， ，BE和GD共线且与AB垂直，窄轨间距为 ，宽轨 间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感 应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R的均匀金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良 好。初始时刻，b棒静止在宽轨上，a棒从窄轨上某位置以平行于AB的初速度 向右运动。a棒距窄轨右 端足够远，宽轨EF、GH足够长。则（　　） 若给 一个初速度，则 图像如下： （2）能量学分析： 在匀速前，两棒系统 动能 的减少量转化为系统的 焦耳热 ，由能量守恒得， 、 （3）动冲量分析： 从开始到匀速运动的过程中，若两棒最终速度分别为 ，由动量定理得， ， 两棒的安培力（合外力）冲量之和不为零，合外力不为零，两棒系统动量 不守恒 、 经典例题 D. 整个过程中，b棒产生的焦耳热为 【答案】D 【解析】A．a棒刚开始运动时，产生的动生电动势为 回路中的总电阻 则回路中的感应电流为 在此瞬间对b棒由牛顿第二定律可得 解得 故A为错误选项； B．分析可知，a棒、b棒分别向右做速度减小的减速运动和速度增大的加速运动，回路中的 感应电动势为 当 时，感应电动势为零，两棒将均做匀速直线运动，对两棒组成的系统合外力 则可知两棒组成的系统动量守恒，有 解得 总 合 可知，经过足够长的时间后，a棒的速度大小为 ，故B为错误选项； C．根据能量守恒可知，整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量与b棒所 获得的动能之和，故C为错误选项； D．根据能量守恒，可得在整个过程中产生得总热量为 而b棒产生得热量为 故D为正确选项。 故答案为D。 19 . 如图所示，光滑导轨 、 等高平行放置， 间宽度为 间宽度的 倍，导轨右侧水平且处 于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高， 、 是质量均为 的金属棒，现让 从离水平轨道 高 处由静止下滑，设导轨足够长． ( 1 ) 、 棒的最终速度． ( 2 ) 全过程中感应电流产生的焦耳热． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) 棒的最终速度为 ； 棒的最终速度为 ． 全过程中感应电流产生的焦耳热为 ． 【解析】 ( 1 ) 设 ， 棒的长度分别为 和 ，磁感强度为 ， 棒进入水平轨道的速度为 ， 对于 棒，金属棒下落 过程应用动能定理： ， 解得 棒刚进入磁场时的速度为： ， 当 棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流． 棒受到安培力作用而减速， 棒 受到安培力而加速， 棒运动后也将产生感应电动势，与 棒感应电动势反向，因此回 ( 2 ) 路中的电流将减小．最终达到匀速运动时，回路的电流为零， 所以： ， 即： ， 得 ， 因为当 ， 在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零． ， （设 为回路中的电流），因此 ， 组成的系统动量不守恒． 设 棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为 ， 对 ， 分别应用动量定理得： ① ② ③ 解得： , ． 故答案为： 棒的最终速度为 ； 棒的最终速度为 ． 根据能量守恒定律得回路产生的总热量为 ， 联立得： ， 20 . 如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合面成，窄轨和宽轨均 处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨 题型总结 ①电流： ②加速度： 棒1： 棒2： 当 时， ，即 ,两棒匀速且 ③最终速度 ： 巩固练习 A. B. C. D. 刹车时，过山车做匀减速直线运动 刹车时，过山车做非匀变速直线运动，加速度逐渐减小 刹车停下时，过山车的位移 刹车过程中，通过电阻R的电荷量为 1. 过山车的磁力刹车是为了保证在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式；磁性很强的长磁安装在轨 道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧，简化图如图所示。相距为 、水平放置的导轨处于磁感应强 度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等 效为一根长度为l的金属杆AB，过山车的质量为m，过山车刹车时的速度为v 。不计轨道摩擦和空气阻 力。则（ ） 0 A. B. C. D. 金属棒做的是加速度增加的加速运动 力 做的功与安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量 金属棒克服安培力做功等于棒产生的电能与回路产生的焦耳热之和 力 做的功与重力做的功的代数和等于棒获得的动能和电阻 上放出的热量 2. 如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻 ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终 保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平 面垂直，棒在竖直向上的恒力 作用下做加速上升运动的一段时间内，以下说法正确的是（ ） 3 . 如图甲所示，粗糙平行足够长的金属导轨固定在绝缘水平上，导轨一端接一阻值为 的电阻，整个装 置处于方向竖直向下的匀强磁场中． 时，对金属棒施加一水平向右的外力 ，使金属棒由静止开 21.双杆模型 课前检测 A. B. C. D. 始运动，金属棒电阻为 ，导轨电阻忽略不计．已知通过电阻 的感应电流 随时间 变化的关系如图乙所 示．下列关于棒的运动速度 ，外力 ，流过 的电荷量 以及闭合回路中磁通量的变化率 随时间变 化的图像正确的是（ ） 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 双杆模型 2021山东卷 12 6 较易 2021广东卷 10 6 易 2022浙江卷 15 10 中 2023全国甲卷 20 16 中 2022辽宁卷 15 8 较易 2023重庆卷 7 4 中 2023湖南卷 14 14 较难 2023全国甲卷 25 20 中 2023上海卷 19 11 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握等间距轨道模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 2. 熟练掌握不等间距轨道模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 课程重难点 课程重点：双杆的运动学、能量学分析 课程难点：双杆的动冲量分析 等间距轨道 具有初速度 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之接 触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 的初速度 ，在运动 过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 一、 （一） ①运动学分析： 以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ，产生 的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电流为 ，则回路中电流为 ， 的加速度为 ，方向 ， 的加速度为 ，方向 。 随着速度 的 ， 的 ，加速度随之 ，则回路中电流 ，所以 ， ，所以导体棒 做 ，导体棒 做 ，当 时，电流 ，速度关系是 ,最终两棒 。 ● ● ②能量学分析： 在共速前，两棒系统 的减少量转化为系统的 ，由能量守恒得， 在共速前，安培力对 做的功分别为 ，由动能定理得， ， ，联立可得系统焦耳热 ● 、 ● 、 、 、 ③动冲量分析： 当两棒加速度为零时，两者达到共速，由动量守恒定律得， ，共同 速度为 . 从开始到共速过程中，通过两棒的电流为 ，历时 ，由动量定理得， ， ，所以流经 或 的电荷量为 或 从开始到共速期间，两棒之间的距离变化量 为 ，由动量定理得 或 ，所以 从开始到共速期间，当 速度为 时，由动量守恒定律， 得 ，再根据电流 ，可得 ，则此时 的加速度为 . ● ● ● ● 具有恒定外力 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之接 触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 受到一个恒定外力 ，在运动过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 ①运动学分析： 在恒力 作用下向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ， 产生的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电 流为 ，则回路中电流为 ， 的加速 度为 ，方向 ， 的加速度为 ，方向 。 随着速度 、 的增加，由于开始阶段，加速度 ，所以 ，则 ，所以电流 ， ， ，当 时，在很小 内，两棒速度的变 化量 不变，即 相等 ，即 ， ，最终两棒加速度 ，之后一起 ，两棒间距离 ，磁通量 ，产生 。 两棒稳定后，其中不变的物理量包括 ， ， ，变化的 物理量包括 ， 。 ● ● ● （二） A. B. C. D. 两导体棒的速度最终将稳定相等，速度大小为 从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 当 棒速度减为 时加速度大小为 两棒之间距离增长量 的上限为 4. 如图所示，在磁感应强度大小为 的匀强磁场区域内，有两根固定的、光滑的，足够长的金属平行导 轨垂直磁场方向放置在水平面上，导轨上面平放着两根彼此平行的导体棒 和 ．已知导轨间距为 ， 导体棒的质量均为 ，电阻均为 ，导轨电阻可忽略，初始时刻 棒静止，给 棒一个向右的初速 ， 则（ ） A. 棒做匀减速直线运动， 棒做匀加速直线运动 5. 如图所示，一水平面内固定两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨上面横放着两根完全相同的铜棒 和 ，构成矩形回路，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场 ．开始时，棒 静止，棒 有 一个向左的初速度 ，则关于两棒以后的运动，下列说法正确的是（ ） ②能量学分析： 在稳定运动前，外力做功产生的能量，一部分转化为 ，另一部分转化为系统的 ，得， 、 ③动冲量分析： 导体棒 在稳定运动前，由于系统动量 ，所以某时刻速度只能采取动量定理分析， 即 。 、 经典例题 B. C. D. 棒减小的动量等于 棒增加的动量 棒减小的动能等于 棒增加的动能 两棒一直运动，机械能不断转化为电能 A. 金属棒 、 都做匀速运动 B. 金属棒 上的电流方向是由 向 C. 金属棒 所受安培力的大小等于 D. 两金属棒间距离保持不变 6. 如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒 、 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒 、 的质量之比为 ，用一沿导轨方 向的恒力 水平向右拉金属棒 ，经过足够长时间以后（ ） 7 . 如图所示，宽度为 的光滑固定金属导轨由水平部分和倾斜部分组成，水平部分足够长，倾斜部分与 水平面的夹角为 ．导轨水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分处于斜向上与导轨平面垂直 的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为 ．导体棒 和 分别置于导轨的倾斜部分上和水平部分 上并保持静止，现将导体棒 ，在距导轨水平部分高度为 处释放，导体棒 在到达 处之前已达到 稳定的运动状态，在导体棒 到达 时再释放导体棒 ，导体棒 在 处由倾斜部分进入水平部 分时无能量损失．已知导体棒 质量为 ，电阻为 ，导体棒 质量也为 ，电阻为 ，导轨电阻忽略 不计，当地重力加速度为 ，求： ( 1 ) 导体棒 到达 之前稳定运动时的速度大小． ( 2 ) 整个过程中导体棒 产生的焦耳热． ( 3 ) 整个过程中通过导体棒 某一横截面的电荷量． 题型总结 A. 回路中的最大电流为 B. 铜棒 的最大加速度为 C. 铜棒 获得的最大速度为 D. 回路中产生的总焦耳热为 8. 如图所示，水平面上固定着两根相距 且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向 下、磁感应强度为 的匀强磁场中，铜棒 、 的长度均等于两导轨的间距、电阻均为 、质量均为 ， 铜棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好．现给铜棒 一个平行导轨向右的瞬时冲量 ，关于此后的过 程，下列说法正确的是（ ） 9 . 如图所示，金属杆 从离地高为 处从静止开始沿弧形轨道下滑，轨道的水平部分有竖直向上磁 感应强度为 的匀强磁场，水平轨道足够长，其上原来放一个金属杆 ．已知杆 的质量为 ，杆 的质 量为 ，不计一切摩擦，杆 、 的电阻之比为 ，其余电阻不计， 取 ，以下 说法正确的是（ ） ①电流： ②加速度： 棒1： 棒2： 当 时， ， ,两棒共速 ③最大电流 ：刚开始的时候 ④焦耳热： ⑤共速 : ⑥电荷量： ⑦棒间距变化量： 共 共 共 共 共 巩固练习 A. 和 的最终速度都为零 B. 杆的最终速度为 C. 整个过程 杆产生的热量为 D. 整个过程产生的总热量为 10 . 如图所示，两根间距为 的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分 组成．其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度为 ，导轨水平段上静止放置一金属棒 ，质量为 ，电阻为 ．另一质量为 ，电阻为 的金属棒 ，从圆弧段 处由静止释放下滑至 处 进入水平段，圆弧段 半径为 ，所对圆心角为 ，求： ( 1 ) 棒在 处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？ ( 2 ) 棒能达到的最大速度是多少？ ( 3 ) 棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？ 11 . 如图所示，导体棒 、 放在水平的金属导轨上，磁场方向竖直向下，磁感应强度为 ． 棒质量 为 ，与导轨的动摩擦因素为 ， 棒与导轨的摩擦不计．当 棒在外力作用下以 速度向右匀速运动 时， 棒也向右匀速运动．设 ， 棒电阻为 ， 棒电阻为 ．求： ( 1 ) 棒的速度 ． ( 2 ) 外力的功率 ．外 ( 3 ) 回路消耗的电功率 ．电 12 . 如图所示，两根光滑的金属平行导轨放在水平面上，左端向上弯曲，右端连有绝缘弹性障碍物，导 轨间距为 ，电阻不计．水平段导轨所处空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小 ．质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置其上，它与磁场左边界 的距离为 ，现将质量为 、电阻为 的金属棒 从弯曲导轨上高 为 处由静止释放，使其沿导轨运动．已知在以后的运动过程中，两金属棒始终不会相撞，且 金属棒 撞击障碍物前已经是匀速运动状态，撞击过程中不损耗机械能．设两金属棒运动过程中始终与导 轨垂直且接触良好．求： ( 1 ) 金属棒 刚越过磁场左边界 时 ，它两端的电压大小． ( 2 ) 金属棒 第一次撞击障碍物前， 棒上产生的焦耳热． ( 3 ) 金属棒 最终静止在轨道上离障碍物的距离． 13 . 如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 ，导轨上面 横放着两根导体棒 和 ，两导体棒构成矩形回路，两根导体棒的质量均为 ，电阻均为 ，回路中其 余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可 沿导轨无摩擦地滑行，开始时， 棒静止， 棒有指向 棒的初速度 ，若两导体棒在运动过程中始 终不接触，求 ( 1 ) 在运动中产生的焦耳热 最多是多少？ ( 2 ) 当 棒的速度变为初速度的 时， 棒的加速度 是多少？ 学生总结 14 . 如图，不计电阻的金属导轨 和 放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁 场中．竖直平面 与 的距离为 ， ； 在绝缘的水平地面上， 与 靠近但不接触； 为矩形， 、 ， ；金属棒 和 完全相 同，长度为 、质量为 、单位长度的电阻为 ； 放在水平导轨上， 放在倾斜导轨上， 与导轨的动摩 擦因数 ，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为 。 （1）若固定 ， 时 从 以速度 沿导轨向左匀速运动，求通过 的电流 与时间 的关系式； （2）若 以某一速度开始向左 匀速运动的同时释放 ，在 到达 前， 保持静止，求 运动速度的取值范围。 15 . 如图所示，足够长的平行金属导轨弯折成图示的形状，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域．Ⅰ区域光滑导轨 与水平面的夹角 ，存在与导轨平面垂直向上的匀强磁场，Ⅱ区域导轨水平，长度 ， 无磁场；Ⅲ区域导轨与水平面夹角 ，存在与导轨平面平行向下的匀强磁场．金属细杆 在区域 Ⅰ内沿导轨以速度 匀速向下滑动，当 杆滑至距水平导轨高度为 时，金属细杆 在区域Ⅲ 从距水平导轨高度为 处由静止释放，进入水平导轨与金属杆 发生碰撞，由于两金属杆的中 部涂有强力胶，使得碰撞后两根金属细杆粘合在一起继续运动．已知 、 杆的质量均为 ， 电阻均为 ， 、 杆与Ⅱ、Ⅲ区域导轨的滑动摩擦因数均为 ，导轨间距 ， Ⅰ、Ⅲ区域磁场的磁感应强度均为 ．不考虑导轨的电阻，倾斜导轨与水平导轨平滑连接，整个 过程中杆与导轨接触良好且垂直， ， ， 取 ．求： 变式训练 ( 1 ) 金属细杆 的初始速度 的大小． ( 2 ) 金属细杆 、 碰撞前瞬间速度的大小． ( 3 ) 金属细杆 、 最终的位置． 16 . 如图所示，相距均为 的光滑倾斜导轨 与光滑水平导轨 连接，水平导轨 处在磁感应强度大小为 ，方向竖直向上的匀强磁场中．光滑倾斜导轨处在磁感应强度大小也为 ，方 向垂直于倾斜导轨平面斜向下的匀强磁场中，如图．质量均为 、电阻均为 的金属导体棒 垂 直于导轨分别放在倾斜导轨和水平导轨上，并与导轨接触良好，不计导轨电阻．现用绝缘细线通过定滑 轮将金属导体棒 连接起来．质量为 的物体 用绝缘细线通过定滑轮与金属导体棒 连接．细 线沿导轨中心线且在导轨平面内,细线及滑轮质量、滑轮摩擦均不计．已知倾斜导轨与水平面的夹角 ，重力加速度为 ，导轨足够长，导体棒 始终不离开倾斜导轨，导体棒 始终不离开水平导 轨．物体 由静止释放，当它达到最大速度时下落高度 ，试求这一运动过程中： 、 、 、 、 ( 1 ) 物体 能达到的最大速度 是多少？ ( 2 ) 金属棒 产生的焦耳热是多少？ ( 3 ) 连接 棒的细线对 棒做的功是多少？ A. 金属框的速度大小趋于恒定值 B. 金属框的加速度大小趋于恒定值 C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值 17 . 如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直． 、 足够长， 整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属 框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平 行．经过一段时间后（ ） 真题演练 不等间距轨道 在宽度为 和 的平行光滑的导轨上，有相互平行质量为 ，电阻为 的导体棒与之 接触，在垂于导轨平面存在磁感应强度为 的匀强磁场，开始导体棒 静止， 的初速度 ，在运 动过程中 某时刻速度为 . 、 、 、 、 （1）运动学分析： 以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ，产生 的感应电流为 ， 运动产生的电动势为 ，产生的感应电流为 ，则回路中电流为 ， 的加速度 为 ，方向 ， 的加速度为 ，方向 。 随着速度 的 ， 的 ，加速度随之 ，则回路中电流 ，所以 ， ，所以导体棒 做 ，导体棒 做 ，当 时，电流 ，此时 ，速度关系 ，最终 且 。 ● ● 二、 A. B. C. D. a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 经过足够长的时间后，a棒的速度大小为 整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量 整个过程中，b棒产生的焦耳热为 18 . 如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH和连接直轨BE、GD构成，整个 导轨处于同一水平面内， ，BE和GD共线且与AB垂直，窄轨间距为 ，宽轨 间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感 应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R的均匀金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良 好。初始时刻，b棒静止在宽轨上，a棒从窄轨上某位置以平行于AB的初速度 向右运动。a棒距窄轨右 端足够远，宽轨EF、GH足够长。则（　　） 19 . 如图所示，光滑导轨 、 等高平行放置， 间宽度为 间宽度的 倍，导轨右侧水平且处 于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高， 、 是质量均为 的金属棒，现让 从离水平轨道 高 处由静止下滑，设导轨足够长． ( 1 ) 、 棒的最终速度． ( 2 ) 全过程中感应电流产生的焦耳热． （2）能量学分析： 在匀速前，两棒系统 的减少量转化为系统的 ，由能量守恒得， 、 （3）动冲量分析： 从开始到匀速运动的过程中，若两棒最终速度分别为 ，由动量定理得， 两棒的安培力（合外力）冲量之和不为零，合外力不为零，两棒系统动量 、 经典例题 A. B. C. D. a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 经过足够长的时间，a棒的速度为 整个过程中通过回路的电荷量为 整个过程中b棒产生的焦耳热为 20 . 如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合面成，窄轨和宽轨均 处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨 间距为 ，宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的 相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨 EF段某位置，a棒从AB段某位置以初速度v 向右运动，且a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。 下列判断正确的是（　　） 0 21 . 如图，光滑平行金属导轨 、 固定在水平桌面上，窄轨 间距 ，宽轨 间距 ，电阻不计．空间存在竖直向上磁感应强度 的匀强磁场．金属棒 、 水平放置在两导轨上，棒 与导轨垂直并保持良好接触， 棒的质量为 ， 棒的质量为 ，若 棒以 的水平初 速度从宽轨某处向左滑动，最终与 棒以相同的速度沿窄轨运动．若 棒滑离宽轨前加速度恰好为 ，窄 导轨足够长．下列说法正确的是（ ） 题型总结 ①电流： ②加速度： 棒1： 棒2： 当 时， ，即 ,两棒匀速且 ③最终速度 ： 巩固练习 A. B. C. D. 从开始到两棒以相同速度运动的过程， 、 组成的系统动量守恒 金属棒 滑离宽轨时的速度大小为 金属棒 、 最终的速度大小为 整个过程从开始到两个导体棒共速，通过金属棒横截面的电荷量为 22 . 如图所示，不等宽的两段光滑平行导轨由水平和倾斜两部分组成，两根由同种材料制成的质量均为 的导体棒垂直导轨放置，导体棒 的长度为 ，导体棒 的长度为 ，导体棒的长度与所在导轨的 宽度相等，导体棒可在各自的导轨上滑动不会脱离导轨．倾斜导轨与水平方向的夹角为 ，导体棒 的 电阻为 ，锁定在距水平地面高为 的位置．水平的宽、窄导轨处都有与水平方向成 角的匀强磁场，磁 感应强度大小为 ，重力加速度为 ．设磁场范围足够大，宽、窄两部分导轨均足够长，导轨电阻不 计． ( 1 ) 现给导体棒 一个向右的初速度 ，求导体棒 向右运动的最大距离为多少． ( 2 ) 给导体棒 一个向右的初速度 的同时，对导体棒 施加一个水平向右的力 ，使导体棒 从速度 逐渐减为 ，已知在此过程中导体棒 上产生的焦耳热为 ，求力 做的功为多少． ( 3 ) 在导体棒 静止时，将导体棒 解除锁定，则两导体棒的最终速度为多少？整个过程中导体棒 上产生的焦耳热为多少． 23 . 如图所示， 和 为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。导轨的 段与 段相互平行，距离为 ； 段与 段也是平行的，距离为 。质量为 的金属杆 、 垂直于导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端 系在金属杆 上，另一端绕过定滑轮与质量也为 的重物 相连，绝缘轻线的水平部分与 平行且足 够长。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻 始终为 ，重力加速度为 。 ( 1 ) 若保持 固定，释放 ，求 的最终速度的大小。 ( 2 ) 若同时释放 、 ，在释放 、 的同时对 施加一水平向左的恒力 ，当重物 下降高度为 时， 达到最大速度，求： ① 的最大速度； ②才释放 、 到 达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成的回路中产生的电能。 学生总结 变式训练 A. B. C. D. 若 固定，释放 ，则 最终速度的大小为 若同时释放 和 ，则 最终速度的大小为 若同时释放 和 ，当 下降高度为 时达到最大速度，则此过程中两杆与导轨构成的回路中产生的 电能为 若同时释放 和 ，当 下降高度为 时达到最大速度，则此过程中通过回路的电量为 24 . 如图所示， 、 和 、 为两倾角皆为 的足够长的金属导轨，都处在垂直于斜面的磁 感应强度为 的匀强磁场中． 与 平行，相距为 ； 与 平行，相距为 ．质量分别为 、 的金属杆 和 垂直放置在导轨上．已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接 触，两杆与导轨构成回路的总电阻始终为 ，重力加速度为 ．则（ ） 25 . 如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由弯轨AB、FG和直窄轨BC、GH以及直宽轨DE、IJ组合而成， AB、FG段为竖直平面内的 圆弧，半径相等，分别在B、G两点与窄轨BC、GH相切，窄轨和宽轨均处 于同一水平面内，相邻段互相垂直，窄轨间距为L，宽轨间距为2L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的匀 强磁场，磁感应强度分别为B和2B。由同种材料制成的粗细均匀的金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触 良好，两棒的长度均为2L，质量分别为m和2m，其中b棒总电阻为R。初始时b棒静止于导轨BC段某位 置，a棒由距水平面高h处以初速度 向下运动。已知b棒刚到达C位置时的速度为a棒刚到达B 位置时的 ，重力加速度为g，求： （1）b棒刚到达C位置要进入宽轨道前a棒的速度 的大小； （2）b棒刚到达C位置要进入宽轨道前a棒加速度 的大小； （3）b棒在BC段运动过程中，a棒和b棒的相对位移 ； （4）若a棒到达宽轨前已做匀速运动，则b棒从刚滑上宽轨到第一次达到匀速的过程中产生的焦耳热 Q。（结果均可用分式表示） 26 . 如图所示， 与 是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为 ， 区域内存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 ， 与 也 是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为 ，并用导线分别于 、 相连接， 区域内存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 .在 区 域放置导体棒 ，其质量为 、电阻 、长度为 ，在 区域内放 置导体棒 ，其质量为 、电阻 、长度为 。刚开始时两棒都与导轨垂直 放置，且导体棒 被锁定，两个区域足够长、不计电阻且棒始终与导轨解除良好。分析下列问题： （1）要想使导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线 运动，请写出力 与时间 的关系式。 （2）若在导体棒G上施加水平向右的 的外力，在作用 后达到最大速度，求此过程中 导体棒G的位移大小。 （3）若导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运 动，运动 后将力撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中导 体棒H产生的热量。 真题演练 （4）若开始时导体棒H即解除锁定，导体棒G一直在外力F作用下向右做 的匀加速直线运 动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式。 A. 开始运动后， 端电势始终比 端电势高 27 . 如图所示， 和 是固定于水平面内电阻不计、间距 的足够长平行光滑金属轨道， 质量均为 ，接入两轨道电阻值均为 的两金属棒 、 静置于轨道上，整个装置处 在竖直向上、磁感应强度 的匀强磁场中，某时刻 棒突然受到水平向右 的瞬时 冲量作用开始，运动过程中金属板始终与轨道垂直，接触良好，取重力加速度 ，下列说法 正确的是（ ） 课堂总结 出门测 三、 四、 B. C. D. 棒开始运动的瞬间， 、 两端的电势差 在整个运动过程中，电路 中产生的热量为 在整个运动过程中，通过 棒横截面的电荷量为 A. B. C. D. 金属棒在导轨上运动时，通过电阻R的电流方向为b→R→c 金属棒在宽轨和窄轨上做匀速直线运动的速度之比为1：3 金属棒从宽轨顶端运动到窄轨底部的整个过程中通过电阻R的电荷量为 在宽轨和窄轨上运动的两个阶段中，金属棒中产生的焦耳热相等 28 . 如图所示，金属导轨abcd与水平面成θ角固定，导轨各相邻段互相垂直，导轨顶端接有阻值为R的 定值电阻。已知宽轨间距L，宽轨长2S，窄轨间距 L，窄轨长3S，在导轨所在的平面内有垂直于导轨平 面向下的匀强磁场，磁感强度大小为B。现有一根长度等于 L，电阻也为 R、质量 m 的金属棒从宽轨顶 端由静止释放，金属棒到达宽轨底部和窄轨底部之前都已经做匀速直线运动，不计一切摩擦，导轨电阻 不计。下列说法中正确的是（　　）