20.单杆模型（pdf版）-【师者匠心系列】2024-2025学年高中物理讲义（人教版2019必修三）

A. 中电流先减小后增大 B. 两端电压先减小后增大 C. 上拉力的功率先减小后增大 D. 线框消耗的电功率先减小后增大 1. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为 的金属条制成的矩形线框 ，固定在水平面内且处于方向竖 直向下的匀强磁场 中．一接入电路电阻为 的导体棒 ，在水平拉力作用下沿 、 以速度 匀速 滑动，滑动过程 始终与 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在 从靠近 处向 滑动的过程 中（ ） 2 . 在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如 图甲所示，当磁场的磁感应强度 随时间 如图乙变化时，图丙中正确表示线圈中感应电动势 变化的是 （ ） 20.单杆模型 课前检测 A. A B. B C. C D. D A. B. 3 . 如图所示，在磁感应强度为 的匀强磁场中有固定的金属框架 ，已知 ，导体棒 在 框架上从 点开始在外力作用下，沿垂直 方向以速度 匀速向右平移，使导体棒和框架构成等腰三角 形回路．设框架和导体棒材料相同，其单位长度的电阻均为 ，框架和导体棒均足够长，不计摩擦及接 触电阻，关于回路中的电流 和电功率 随时间 变化的下列四个图象中可能正确的是（ ） C. D. 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 单杆模型 2021山东卷 12 6 较易 2021广东卷 10 6 易 2022浙江卷 15 10 中 2023全国甲卷 20 16 中 2022辽宁卷 15 8 较易 2023重庆卷 7 4 中 2023湖南卷 14 14 较难 2023全国甲卷 25 20 中 2023上海卷 19 11 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握单杆中初速度模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 2. 熟练掌握单杆模型外力模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 3. 熟练掌握单杆中图像问题 课程重难点 课程重点：单杆的运动学、能量学分析、图像问题 课程难点：单杆的动冲量分析 模型分析 有初速度模型 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有一个质量 ，电阻为 的导体棒与之接触，在垂于导轨平面存在 磁感应强度为 的匀强磁场，已知导体棒的初速度 . 一、 （一） （1）运动学分析： 导体棒以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ；产生的 感应电流为 ，导体棒受到的合外力即安培力大小为 ，方向 ， 整理的得安培力为 ，加速度大小为 ，随着速度的 ， 加速度随之 。所以导体棒做 的 运动，最终 . （2）能量学分析： ①根据能量守恒，导体棒的初始 ，全部转为系统的 ，即 ，系统 总内能指的是 和 上产生内能之和，所以导体棒产生的内能为 ②根据动能定理，导体棒的动能变化量为 ，导体棒合外力做的功即安培力做的 功为 ，所以安 （3）动冲量分析： ①在导体棒整个运动过程中，通过导体棒的平均电流 ，经历的时间为 ，导体棒受到的合外力为 ，由动量定理， ，因为电荷量 即 ，所以 . 根据电荷量定义，因为电荷量 ，电流为 ， 电动势为 ，所以 . ②导体棒在整个运动过程中，运动的位移为 ，平均速度为 ，安培力为 ，由动量定 理， ，得 ，所以 . 导体棒在整个运动过程中，运动的位移为 ，磁通量变化量 ，根据电荷量公式， 得 ，即 ，所以 . A. B. C. D. 杆将做匀减速运动直到静止 杆速度减为 时， 杆加速度大小 杆速度减为 时，通过电阻的电量 杆速度减为 时， 杆走过的位移 4. 如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨 和 ，两导轨间距为 ，导轨电阻均 可忽略不计．在 和 之间接有一阻值为 的定值电阻，导体杆 质量为 、电阻也为 ，并与导轨接 触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为 的匀强磁场中．现给 杆一个初速度 ，使杆向 右运动，最终 杆停在导轨上．下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 上滑过程中导体棒受到的最大安培力为 上滑过程中电流做功发出的热量为 上滑过程中导体棒克服安培力做的功为 上滑过程中导体棒损失的机械能为 5. 如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为 ，导轨电阻不计，与阻值为 的定值电阻相连，匀强 磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为 ．有一质量为 长为 的导体棒从 位置获得平行于斜面的，大 小为 的初速度向上运动，最远到达 的位置，滑行的距离为 ，导体棒的电阻也为 ，与导轨之间的 动摩擦因数为 ．则（ ） 经典例题 题型总结 A. B. C. D. 导体棒开始运动的初始时刻受到的安培力向左 导体棒开始运动的初始时刻导体棒两端的电压 导体棒开始运动后速度第一次为零时，系统的弹性势能 金属棒最终会停在初始位置，在金属棒整个运动过程中，电阻 上产生的焦耳热 6. 如图所示，固定在水平面上的光滑平行金属导轨，间距为 ，右端接有阻值为 的电阻，空间存在在 方向竖直、磁感应强度为 的匀强磁场．质量为 、电阻为 的导体棒 与固定弹簧相连，放在导轨 上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度．给导体棒水平向右的初速度 ，导体棒开始沿导轨往复运动，在 此过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知导体棒的电阻 与定值电阻 的阻值相等，不计 导轨电阻，则下列说法中正确的是（ ） ① 电路特点：导体棒相当于电源。 ② 安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。 ③ 加速度特点：加速度随速度减小而减小： . ④ 运动特点： 减小的减速运动： ⑤ 最终状态：静止。 ⑥ 三个规律 i. 能量关系： . ii. 电量关系： .（式中 代表导棒的位移。） iii. 瞬时加速度大小： . 巩固练习 A. B. ，方向 C. ，方向 D. ，方向 7. 如图所示，两条相距 的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为 的电阻．质量为 的 金属杆 静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域 的磁感应强度大小为 、方向竖直向下， 导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，当该磁场区域以速度 匀速地向右运动， 刚扫过金 属杆时，杆中感应电流的大小和方向为（ ） 8 . 如图所示，水平平行的固定光滑金属导轨 、 相距 ，导轨左端用电阻 相连．水 平导轨的某处有一竖直向上、磁感应强度 的匀强磁场．质量 的金属杆 以 的初速度沿水平导轨从左端冲入磁场，并以 的速度离开磁场．设金属杆 与轨道 接触良好，并始终与导轨垂直． ( 1 ) 判断 杆在磁场中运动时杆中感应电流的方向． ( 2 ) 求 杆刚进入磁场时产生的感应电动势的大小． ( 3 ) 求 杆在磁场中运动过程中，电路中产生的焦耳热． 9. 如图所示，有两条水平放置的间距为 且阻值可忽略的平行金属导轨 、 ，在水平导轨的左端 接有一电阻 ，导轨的右侧存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，磁场区域的 长度为 ，导轨右端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值也为 、质量为 的导体棒从弯曲轨道上 高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的左边界处．已知导体棒从释放到静止过程中与水平导轨接 触良好，且它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 通过电阻 中的最大电流 ． ( 2 ) 流过电阻 的电荷量 ． ( 3 ) 电阻 中产生的焦耳热 ． 10 . 如图所示，两根完全相同的光滑金属导轨 、 固定在水平桌面上，导轨间的夹角为 ．导轨所在空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 ， 时刻，一长为 的金属杆 在外力作用下以恒定速度 从 点开始向右滑动．在滑动过程中金属 杆 与导轨接触良好，且始终垂直于两导轨夹角的平分线，金属杆的中点始终在两导轨夹角的平分线 上．导轨与金属杆单位长度（ ）的电阻均为 ， ． ( 1 ) 求 时刻，金属杆中的感应电动势 和此时闭合回路的总长度． ( 2 ) 求 时刻，闭合回路中的感应电流 ． 学生总结 变式训练 ( 3 ) 若在 时刻撤去外力，为保持金属杆继续以 做匀速运动，在金属杆脱离导轨前 可采取将 从 逐渐减小的方法，从撤去外力开始计时的时间为 ，则磁感应强度 应随时间 怎样变 化（写出 与 的关系式）． 11 . 如图甲所示，固定于水平面上的金属框架 处在竖直向下的匀强磁场中． 时，磁感应 强度为 ，此时金属棒 的位置恰好使 构成一个边长为 的正方形．已知金属棒 的电 阻为 ，金属框架 段的电阻为 ，其他电阻不计． ( 1 ) 若金属棒 保持静止，磁场的磁感应强度按图乙所示的规律变化，求回路中的感应电动势． ( 2 ) 若磁感应强度 保持不变，金属棒 以速度 贴着金属框架向右匀速运动，会产生感应电动 势，相当于电源．用电池、电阻等符号画出这个装置的等效电路图，并求通过回路的电流大小． ( 3 ) 若金属棒 以速度 贴着金属框架向右匀速运动，为使回路中不产生感应电流，从 开 始，磁感应强度 应怎样随时间 变化？请推导 与 的关系式． 12 . 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构 成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻．一金属棒 垂直导轨放置， 两 端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向 上的匀强磁场中，磁感应强度大小 ． 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 ．运动过程中拉力的功率恒定不变，重 力加速度 取 ． 真题演练 ( 1 ) 求拉力的功率 ． ( 2 ) 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 ． 13 . 如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度 大小为 的匀强磁场．一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程 中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好．已知导体棒单位长度的电阻为 ， 金属框电阻可忽略．将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式． 具有恒定外力模型 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有一个质量 ，电阻为 的导体棒与之接触，在垂于导轨平面存在 磁感应强度为 的匀强磁场，已知导体棒受到一个恒定的外力 的作用。 （1）运动学分析： 导体棒在恒定的外力 的作用下，由静止开始向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ；产生的感应电流为 ，导体棒受到的合外力大小 ，即 ，随着速度的 ，加速度 随之 ， 当 时，速度达到 ，最大速度为 ，所以导体棒做 ，最终 . （2）能量学分析： ①导体棒在加速过程中，外力做功产生的能量，一部分转化为 ，另一部分转化为 ，即 ②导体棒匀速后，外力功率 系统发热功率，即 （3）动冲量分析： ①导体棒在加速运动过程中，通过导体棒的平均电流 ，经历的时间为 ，导体棒受到的合外力为 （二） A. B. C. D. 下滑的最大速度为 从释放到下滑 高度所经历时间为 从释放到下滑 高度过程中，电阻 产生的热量为 从释放到下滑 高度过程中，通过电阻 的电荷量为 14 . 如图所示，导体框位于竖直平面内，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小 ，水平 导体棒 可沿两侧足够长的光滑导轨下滑而不分离，导体棒 质量 ，接入电路的电阻 ；导轨宽度 ，定值电阻 ，装置的其余部分电阻可忽略不计．将导体棒 无初速度释放，导体棒下滑 高度时速度达到最大，重力加速度 ．则导体棒 （ ） A. B. C. D. 作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零 作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于 与电阻 上产生的焦耳热之和 恒力 与安培力的合力所做的功等于零 恒力 与重力的合力所做的功等于电阻 上产生的焦耳热 15 . 如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为 的斜面上，导轨的左端接有电阻 ，导轨自 身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为 、电阻可以不计的 金属棒 ，在沿着斜面与棒垂直的恒力 作用下沿导轨匀速上滑，并上升 高度，在这一过程中（ ） ，由动量定理， ，即 . ②导体棒在加速运动过程中，运动的位移为 ，平均速度为 ，安培力为 ，由动量定 理， ，即 经典例题 A. B. C. 杆所受的拉力 的大小为 杆所受摩擦力为零 回路中的电流强度为 16 . 两根相距 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于 水平面．质量为 的金属细杆 、 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为 ，导轨电阻不计，回路总电阻为 ．整个装置处于磁感应强度大小为 ，方向竖直向上的匀强磁场中． 当 杆在平行于水平导轨的拉力 作用下以速度 沿导轨匀速运动时， 杆也正好以速度 向下匀速运 动．取重力加速度为 ，以下说法正确的是（ ） 题型总结 ① 电路特点：导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势 . ② 安培力的特点： .安培力为阻力，并随着速度增大而增大。 ③ 加速度的特点： .加速度随速度增大而减小。 ④ 运动特点：加速度减小的加速运动。 ⑤ 最终特征：匀速直线运动。 ⑥ 两个极值 i. 最大加速度：当 时： . ii. 最大速度：当 时： . ⑦ 稳定后的能量转化规律：外力功率等于电路发热功率， . 巩固练习 D. 与 大小的关系为 A. B. C. D. 金属棒做的是加速度增加的加速运动 力 做的功与安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量 金属棒克服安培力做功等于棒产生的电能与回路产生的焦耳热之和 力 做的功与重力做的功的代数和等于棒获得的动能和电阻 上放出的热量 17 . 如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻 ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始 终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨 平面垂直，棒在竖直向上的恒力 作用下做加速上升运动的一段时间内，以下说法正确的是（ ） 18 . 如图所示，光滑平行的金属导轨 和 ，间距 ，与水平面之间的夹角 ，匀 强磁场磁感应强度 ，垂直于导轨平面向上， 间接有阻值 的电阻，其它电阻不 计，质量 的金属杆 垂直导轨放置，用变力 沿导轨平面向上拉金属杆 ，若金属杆 以 恒定加速度 ，由静止开始做匀变速运动，则：（ ） ( 1 ) 在 内平均感应电动势是多少． ( 2 ) 第 末，回路中的电流多大． ( 3 ) 第 末，作用在 杆上的外力 多大． 19 . 如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距 ，导轨平面与水平面 成 角，下端连接阻值为 的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为 、电阻 不计的金属棒 放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为 ． ( 1 ) 求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小． ( 2 ) 若金属棒下滑的最大速度为 ，则磁感应强度 的大小为多少． ( 3 ) 接（2）问，金属棒到达最大速度沿杆下滑的距离为 ，则金属杆克服安培力做的功以及电阻 上生热分别为多少．（ ， ， ） 20 . 如图所示，间距为 的平行且足够长的光滑导轨由两部分组成：倾斜部分与水平部分平滑相连，倾 角为 ，在倾斜导轨顶端连接一阻值为 的定值电阻．质量为 、电阻也为 的金属杆 垂直导轨跨放 在导轨上，在倾斜导轨区域加一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在水平导轨区域 加另一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小也为 的匀强磁场．闭合开关 ，让金属杆 从图示位置 由静止释放，已知金属杆运动到水平导轨前，已达到最大速度，不计导轨电阻且金属杆始终与导轨接触 良好，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 金属杆 在倾斜导轨上滑行的最大速率 ． ( 2 ) 金属杆 在倾斜导轨上运动，速度未达到最大速度 前，当流经定值电阻的电流从零增大到 的过程中，通过定值电阻的电荷量为 ，求这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热 ． ( 3 ) 金属杆 在水平导轨上滑行的最大距离 ． 21 . 间距为 的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分（足够长）平滑连接而成，倾斜部分导轨与水平 面间夹角为 ，导轨上端接有两个电阻 和 ，阻值均为 ．空间分布着如图所示的匀强磁场，倾斜导轨 的磁场方向垂直导轨平面 向上，磁感应强度大小为B．水平区域 边界右侧磁场方向竖直向 上，磁感应强度大小为 ， 为无场区域．现有一质量 、长度 、电阻为 的细金属棒与导 轨垂直放置并由静止释放，释放处离水平导轨的高度为 ．开始时电键 闭合，当棒运动到 边界时将 电键断开．已知金属棒在到达 边界前速度已达稳定．不计一切摩擦力及导轨的电阻，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 金属棒运动过程中的最大速度 ． ( 2 ) 金属棒在整个运动过程中的最大加速度 的大小及方向． ( 3 ) 在整个运动过程中电阻 上产生的焦耳热． 22 . 如图（a），两相距 的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与阻值 的电阻 连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场．质量 的金属杆垂直置于导轨上，与导 轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略．杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，并始终与 导轨垂直，其 图像如图（b）所示．在 时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆中电流 为 ．求： ( 1 ) 金属杆所受拉力的大小 ． ( 2 ) 内匀强磁场的磁感应强度大小 ． ( 3 ) 内磁感应强度随时间的变化规律． 23 . 如图甲所示，两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距 ，导轨平面与水平面的夹角 学生总结 变式训练 角，下端连接阻值 的电阻；质量为 、阻值 的匀质金属棒 放在两导 轨上，距离导轨最下端为 ，棒与导轨垂直并保持良好接触，与导轨间的动摩擦因数 ． 整个装置与导轨平面垂直（向上为正）的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示， 已知在 内，金属棒 保持静止，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力取 ． ( 1 ) 求 内电阻 上产生的热量． ( 2 ) 求 时刻，金属棒 所受摩擦力的大小． ( 3 ) 后，对金属棒 施加一沿斜面向上的拉力 ，使金属棒 沿斜面向上做加速度大小 的匀加速运动，请写出拉力 随时间 （从施加 时开始计时）变化的关系． A. B. C. D. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度 金属棒不能回到无磁场区 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处 24 . 如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上．区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向 上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场．阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由 静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行．运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好．在第一 次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ） 25 . 如图，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有质量 的 型导体框，导体框的电阻忽略 不计；一电阻 的金属棒 的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路 ； 与斜 真题演练 面底边平行，长度 ．初始时 与 相距 ，金属棒与导体框同时由静止开始下 滑，金属棒下滑距离 后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜 面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域．当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的 边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速．已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁 场的磁感应强度大小 ，重力加速度大小取 ， ．求 ( 1 ) 金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小． ( 2 ) 金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数． ( 3 ) 导体框匀速运动的距离． 26 . 如图（a）所示，两根不计电阻、间距为 的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中， 磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为 ．导轨上端串联非线性电子元件 和阻值为 的 电阻．元件 的 图像如图（b）所示，当流过元件 的电流大于或等于 时，电压稳定为 ．质量为 、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触．忽 略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为 ．为了方便计算，取 ， ．以下计算结果只能选用 、 、 、 、 表示． ( 1 ) 闭合开关 ，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度 ． ( 2 ) 断开开关 ，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度 ． ( 3 ) 先闭合开关 ，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关 ．忽略回路中电流突变 的时间，求 断开瞬间金属棒的加速度大小 ． 图像问题 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有一个质量 ，电阻为 的导体棒与之接触，在垂于导轨平面存在 磁感应强度为 的匀强磁场，已知导体棒在外力的作用下具有恒定的加速度 。 （1） 图： 导体棒在运动过程中，根据牛二得， ，所以 ，所以 图是 . （2） 图： 导体棒在运动过程中，根据牛二得， ，所以 ，所以 图是 . （3） 图： 导体棒在运动过程中，受到的安培力 ，所以 图是 . （4） 图： 导体棒在运动过程中，流经导体棒的电荷量为 外 外 安 外 外 外 安 外 安 安 二、 A. B. C. D. 27 . 如图所示，电阻不计，间距为 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为 、方向竖直向下的 匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻 ．质量为 、电阻为 的金属棒 置于导轨上，受到垂直于金 属棒的水平外力 的作用由静止开始运动，外力 与金属棒速度 的关系是 （ 、 是常 量），金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为 ，受到的安培力大小为 ，电阻 两 端的电压为 ，感应电流的功率为 ，它们随时间 变化图像可能正确的是（ ） ，所以 图是 . （5） 图： 导体棒在运动过程中，安培力功率为 ，所以 图是 . 安 安 经典例题 题型总结 1.若 一定，则 的图像是一次函数；若 图像是一次函数，那么 不一定恒 定。 外 ， 外 外 A. B. C. D. 28 . 如图所示，两根竖直放置的光滑平行导轨，其中一部分处于方向垂直导轨所在平面并且有上下水平 边界的匀强磁场中．一根金属杆 保持水平并沿导轨滑下（导轨电阻不计），当金属杆 进入磁 场区域后，其运动的速度随时间变化的图线可能的是（ ） 29 . 如图甲所示，相距为 的金属导轨 、 倾斜放置，与水平方向夹角为 ，在 上接一阻值 为 的电阻，装置处于与 、 所在平面垂直的匀强磁场中．现有一根长度为 、质量为 、电阻 为 的金属杆 放置在导轨上，接触良好．用与杆垂直的外力 使 杆沿导轨向上运动时，电阻 产生 的电功率随时间的变化规律 图像如图乙所示，为一条抛物线．则外力 、杆的运动速度 、杆的加 速度 随时间 ，克服重力做功的功率 随位移 的变化规律可能正确的是（ ） 2. 外 安 ， 外 安 巩固练习 A. B. C. D. A. B. C. D. 30 . 如图甲，在竖直向下的匀强磁场中，两平行光滑金属导轨固定在水平面上，左端接电阻 ，金属棒 垂直于导轨放置．现给棒 一个水平向右的初速度 ，同时对其施加一个水平向右的外力 ， 与棒 的速度 的关系如图乙．棒 与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，则棒 运动的 图像可能是（ ） 31 . 如图甲所示，光滑平行金属导轨 、 所在平面与水平面成 角， 、 两端接一电阻 ，整 个装置处于方向垂直导轨平面上的匀强磁场中． 时对金属棒施加一平行于导轨的拉力 ，使金属 棒 由静止开始沿导轨向上运动，金属棒电阻为 ，导轨电阻忽略不计．已知通过电阻 的感应电流 随 时间 变化的关系如图乙所示．下列关于棒运动速度 、拉力 、流过 的电量 以及闭合回路中磁通量的 变化率 随时间变化的图象正确的是（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 32 . 如图 所示，固定在水平面内的光滑金属框架 处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆 与 金属框架接触良好．在两根导轨的端点 、 之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计．现用一水平向右 的外力 作用在金属杆 上，使金属杆在框架上由静止开始向右滑动，运动中杆 始终垂直于框架． 图 为一段时间内金属杆受到安培力 随时间 的变化关系，则图 中可以表示此段时间内外力 随 时间 变化关系的图像是（ ） 学生总结 A. B. C. D. 33 . 如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，导轨上端接电阻 ，宽度相同的水平条形区域 Ⅰ和Ⅱ内有方向垂直导轨平面向里的匀强磁场 ，Ⅰ和Ⅱ之间无磁场．一导体棒两端套在导轨上，并与 两导轨始终保持良好接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界 处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中， 流过电阻 上的电流及其变化情况相同．下面四个图像能定性描述导体棒速度大小与时间关系的是（ ） 真题演练 课堂总结三、 34 . 如图，水平 形光滑框架，宽度为 ，电阻忽略不计，导体棒 的质量 、电阻 ，匀强磁场的磁感应强度 ，方向垂直框架向上．外接电阻 现用 的外力由静止开始向右拉 棒，当 棒的速度达到 时，求： ( 1 ) 棒产生的感应电动势的大小，并判断 电势高低． ( 2 ) 棒所受的安培力． 出门测四、 ( 3 ) 棒的加速度． 35 . 如图所示，宽度 的足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的一端连接 阻值 的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小 ．一根 质量 的导体棒 放在导轨上与导轨接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计．现用 一平行于导轨的拉力拉动导体棒沿导轨向右匀速运动，运动速度 ，在运动过程中保持导体 棒与导轨垂直．求： ( 1 ) 作用在导体棒上拉力的大小及拉力的功率． ( 2 ) 当导体棒撤去外力，速度减小为 时的加速度大小． ( 3 ) 当导体棒移动 时撤去拉力，求整个运动过程中电阻 上产生的热量． A. 中电流先减小后增大 B. 两端电压先减小后增大 C. 上拉力的功率先减小后增大 D. 线框消耗的电功率先减小后增大 1. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为 的金属条制成的矩形线框 ，固定在水平面内且处于方向竖 直向下的匀强磁场 中．一接入电路电阻为 的导体棒 ，在水平拉力作用下沿 、 以速度 匀速 滑动，滑动过程 始终与 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在 从靠近 处向 滑动的过程 中（ ） 【答案】AC 【解析】A．导体棒由靠近 边向 边匀速滑动的过程中，产生的感应电动势 ，保持不 变，外电路总电阻先增大后减小，由欧姆定律分析得知 中的电流先减小后增大，所以A 正确的； B． 中电流先减小后增大， 两端的电压先增大后减小，故B错误； C．导体棒匀速运动， 上外力的功率等于回路的电功率，而回路的总电阻先增大后减 小，由 ，分析得知， 上拉力的功率先减小后增大，所以C正确的； D．线框作为外电路，总电阻最大值为 ，根据闭合电路的功率的分配关 系与外电阻的关系可以知道，当外电路的电阻值与电源的内电阻相等时外电路消耗的电功率 最大，所以可得线框消耗的电功率一直增大，故D错误． 故选AC． 总 外 2 . 在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如 图甲所示，当磁场的磁感应强度 随时间 如图乙变化时，图丙中正确表示线圈中感应电动势 变化的是 20.单杆模型 课前检测 A. A B. B C. C D. D （ ） 【答案】A 【解析】由图乙可知，在 内，磁感应强度均匀增大，穿过线圈的磁通量均匀增大，由楞次定 律可知线圈中产生恒定电流，其方向与正方向一致． 内，穿过线圈的磁通量不变， 感应电动势为 ；在 内，线圈中的磁通量均匀减小，由楞次定律可知线圈中产生恒定 电流，其方向与正方向相反．由图乙可知 内磁感应强度变化率是 内磁感应强 度变化率的 倍，故产生的电动势为其 倍． 故选A． 3. 如图所示，在磁感应强度为 的匀强磁场中有固定的金属框架 ，已知 ，导体棒 在 框架上从 点开始在外力作用下，沿垂直 方向以速度 匀速向右平移，使导体棒和框架构成等腰三角 形回路．设框架和导体棒材料相同，其单位长度的电阻均为 ，框架和导体棒均足够长，不计摩擦及接 A. B. C. D. 触电阻，关于回路中的电流 和电功率 随时间 变化的下列四个图象中可能正确的是（ ） 【答案】AD 【解析】 由题可知，切割有效长度 ，故 为定值． ， 与 成正比，故A、D正确． 故选AD． 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 单杆模型 2021山东卷 12 6 较易 2021广东卷 10 6 易 2022浙江卷 15 10 中 2023全国甲卷 20 16 中 2022辽宁卷 15 8 较易 2023重庆卷 7 4 中 2023湖南卷 14 14 较难 2023全国甲卷 25 20 中 2023上海卷 19 11 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握单杆中初速度模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 2. 熟练掌握单杆模型外力模型中的运动学、能量学、动冲量的分析 3. 熟练掌握单杆中图像问题 课程重难点 课程重点：单杆的运动学、能量学分析、图像问题 课程难点：单杆的动冲量分析 模型分析 有初速度模型 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有一个质量 ，电阻为 的导体棒与之接触，在垂于导轨平面存在 磁感应强度为 的匀强磁场，已知导体棒的初速度 . （1）运动学分析： 导体棒以初速度 向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ；产生的 感应电流为 ，导体棒受到的合外力即安培力大小为 ，方向 向左 ， 整理的得安培力为 ，加速度大小为 ，随着速度的 减小 ， 加速度随之 减小 。所以导体棒做 加速度逐渐减小 的 减速 运动，最终 静止 . 安 安 （2）能量学分析： ①根据能量守恒，导体棒的初始 动能 ，全部转为系统的 总内能 ，即 ，系统 总内能指的是 导体棒 和 电阻 上产生内能之和，所以导体棒产生的内能为 ②根据动能定理，导体棒的动能变化量为 ，导体棒合外力做的功即安培力做的 功为 ，所以 总 安 总 安 一、 （一） 【教法备注】 【教法备注】 4 . 如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨 和 ，两导轨间距为 ，导轨电阻均 可忽略不计．在 和 之间接有一阻值为 的定值电阻，导体杆 质量为 、电阻也为 ，并与导轨接 触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为 的匀强磁场中．现给 杆一个初速度 ，使杆向 焦耳热 计算： 若 恒定或 为正弦式电流， 若 变化， ②若棒轨光滑，则 ③若棒轨粗糙，则 安 （3）动冲量分析： ①在导体棒整个运动过程中，通过导体棒的平均电流 ，经历的时间为 ，导体棒受到的合外力为 ，由动量定理， ，因为电荷量 即 ，所以 . 根据电荷量定义，因为电荷量 ，电流为 ， 电动势为 ，所以 . ②导体棒在整个运动过程中，运动的位移为 ，平均速度为 ，安培力为 ，由动量定 理， ，得 ，所以 . 导体棒在整个运动过程中，运动的位移为 ，磁通量变化量 ，根据电荷量公式， 得 ，即 ，所以 . 针对学过动量的学生 经典例题 A. B. C. D. 杆将做匀减速运动直到静止 杆速度减为 时， 杆加速度大小 杆速度减为 时，通过电阻的电量 杆速度减为 时， 杆走过的位移 右运动，最终 杆停在导轨上．下列说法正确的是（ ） 【答案】BD 【解析】A 选项： B 选项： C 选项： D 选项： 棒水平方向上受与运动方向相反的安培力，安培力大小为 ，加速 度大小为： ，由于速度减小，所以 棒做加速度减小的变减速运动直 到静止，故A错误； 当 棒的速度为 时，安培力为： ，所以加速度为： ，故B正确； 对 棒由动量定理得： ，即 ，解 得： ，所以通过电阻的电量为 ，故C错误； 由电磁感应电荷量推论公式： ，解得： ，故D正确． 故选BD. 5 . 如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为 ，导轨电阻不计，与阻值为 的定值电阻相连，匀强 磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为 ．有一质量为 长为 的导体棒从 位置获得平行于斜面的，大 小为 的初速度向上运动，最远到达 的位置，滑行的距离为 ，导体棒的电阻也为 ，与导轨之间的 A. B. C. D. 上滑过程中导体棒受到的最大安培力为 上滑过程中电流做功发出的热量为 上滑过程中导体棒克服安培力做的功为 上滑过程中导体棒损失的机械能为 动摩擦因数为 ．则（ ） 【答案】BD 【解析】A、导体棒开始运动时速度最大，产生的感应电动势和感应电流最大，所受的安培力最大， 由 、 、 得：最大安培力为 ，故A错误； B、根据能量守恒可知，上滑过程中导体棒的动能减小，转化为焦耳热、摩擦生热和重力势 能，则有电流做功发出的热量为 ，故B正确； C、根据功能关系知：导体棒克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，设为 ，由上分 析可知导体棒克服安培力应小于导体棒动能的减小，即 ，故C错误； D、上滑的过程中导体棒的动能减小 ，重力势能增加 ，所以导体棒损失的 机械能为 ，故D正确； 故选BD． 题型总结 ① 电路特点：导体棒相当于电源。 ② 安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。 ③ 加速度特点：加速度随速度减小而减小： . ④ 运动特点： 减小的减速运动： A. B. C. D. 导体棒开始运动的初始时刻受到的安培力向左 导体棒开始运动的初始时刻导体棒两端的电压 导体棒开始运动后速度第一次为零时，系统的弹性势能 金属棒最终会停在初始位置，在金属棒整个运动过程中，电阻 上产生的焦耳热 6. 如图所示，固定在水平面上的光滑平行金属导轨，间距为 ，右端接有阻值为 的电阻，空间存在在 方向竖直、磁感应强度为 的匀强磁场．质量为 、电阻为 的导体棒 与固定弹簧相连，放在导轨 上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度．给导体棒水平向右的初速度 ，导体棒开始沿导轨往复运动，在 此过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知导体棒的电阻 与定值电阻 的阻值相等，不计 导轨电阻，则下列说法中正确的是（ ） 【答案】AD 【解析】A．导体棒开始运动的初始时刻，由右手定则判断可知： 中产生的感应电流方向从 ，由左手定则判断得知 棒受到的安培力向左，故A正确； B．导体棒开始运动的初始时刻， 棒产生的感应电势为 ．由于 ，所以 导体棒两端的电压 ．故B错误； ⑤ 最终状态：静止。 ⑥ 三个规律 i. 能量关系： . ii. 电量关系： .（式中 代表导棒的位移。） iii. 瞬时加速度大小： . 巩固练习 C．由于导体棒运动过程中产生电能，所以导体棒开始运动后速度第一次为零时，根据能量 守恒定律得知：系统的弹性势能小于 ．故C错误； D．金属棒最终会停在初始位置，在金属棒整个运动过程中，电阻 上产生的焦耳热 ，故D正确． 故选AD． A. B. ，方向 C. ，方向 D. ，方向 7. 如图所示，两条相距 的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为 的电阻．质量为 的 金属杆 静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域 的磁感应强度大小为 、方向竖直向下， 导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，当该磁场区域以速度 匀速地向右运动， 刚扫过金 属杆时，杆中感应电流的大小和方向为（ ） 【答案】B 【解析】当 刚扫过金属杆时，杆中感应电动势为 ，感应电流为 ， 导体棒相对于磁场向左运动，根据右手定则可知，杆中感应电流方向由 到 ． 故选B． 8. 如图所示，水平平行的固定光滑金属导轨 、 相距 ，导轨左端用电阻 相连．水 平导轨的某处有一竖直向上、磁感应强度 的匀强磁场．质量 的金属杆 以 的初速度沿水平导轨从左端冲入磁场，并以 的速度离开磁场．设金属杆 与轨道 接触良好，并始终与导轨垂直． ( 1 ) 判断 杆在磁场中运动时杆中感应电流的方向． ( 2 ) 求 杆刚进入磁场时产生的感应电动势的大小． ( 3 ) 求 杆在磁场中运动过程中，电路中产生的焦耳热． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 到 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 根据右手定则， 中产生的感应电流方向为 ． 故答案为： 到 ． 由法拉第电磁感应定律， 产生的感应电动势： ， 代入数值，得： ． 故答案为： ． 根据能量守恒定律，电路中产生的焦耳热 ， 代入数值，得： ． 9. 如图所示，有两条水平放置的间距为 且阻值可忽略的平行金属导轨 、 ，在水平导轨的左端 接有一电阻 ，导轨的右侧存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，磁场区域的 长度为 ，导轨右端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值也为 、质量为 的导体棒从弯曲轨道上 高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的左边界处．已知导体棒从释放到静止过程中与水平导轨接 触良好，且它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 通过电阻 中的最大电流 ． ( 2 ) 流过电阻 的电荷量 ． ( 3 ) 电阻 中产生的焦耳热 ． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 导体棒从弯曲轨道上 高处由静止释放，由机械能守恒定律有， ， 导体棒刚进入磁场时速度最大，产生的感应电动势最大，为 ， 此时 中电流最大，为 ， 联立解得电阻 中的最大电流 ． 导体棒通过磁场时的平均电动势 ， 平均电流 ， 流过电阻 的电荷量为 ， 整理得 ． 由能量守恒定律： ， 而电阻 中产生的焦耳热 ， 解得 ． 总 总 10 . 如图所示，两根完全相同的光滑金属导轨 、 固定在水平桌面上，导轨间的夹角为 ．导轨所在空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 ， 时刻，一长为 的金属杆 在外力作用下以恒定速度 从 点开始向右滑动．在滑动过程中金属 杆 与导轨接触良好，且始终垂直于两导轨夹角的平分线，金属杆的中点始终在两导轨夹角的平分线 学生总结 变式训练 上．导轨与金属杆单位长度（ ）的电阻均为 ， ． ( 1 ) 求 时刻，金属杆中的感应电动势 和此时闭合回路的总长度． ( 2 ) 求 时刻，闭合回路中的感应电流 ． ( 3 ) 若在 时刻撤去外力，为保持金属杆继续以 做匀速运动，在金属杆脱离导轨前 可采取将 从 逐渐减小的方法，从撤去外力开始计时的时间为 ，则磁感应强度 应随时间 怎样变 化（写出 与 的关系式）． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) （ ）或 （ ） 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 在 时刻，连入回路的金属杆的长度 ， 回路的电动势 ， 回路的总长度： ． 导轨和金属杆都有电阻的，所以回路的电阻 回路的电流 ． 在 时刻撤去外力后，因金属杆做匀速运动，故光滑金属杆不再受到安培力作 用，回路的感应电流为零，任一时刻回路磁通量相等 ， 三角形回路的面积 ， 时刻回路的磁通量 ， 再过时间 回路的磁通量 ， 联立解得 （ ）． 或写成 （ ）． 11 . 如图甲所示，固定于水平面上的金属框架 处在竖直向下的匀强磁场中． 时，磁感应 强度为 ，此时金属棒 的位置恰好使 构成一个边长为 的正方形．已知金属棒 的电 阻为 ，金属框架 段的电阻为 ，其他电阻不计． ( 1 ) 若金属棒 保持静止，磁场的磁感应强度按图乙所示的规律变化，求回路中的感应电动势． ( 2 ) 若磁感应强度 保持不变，金属棒 以速度 贴着金属框架向右匀速运动，会产生感应电动 势，相当于电源．用电池、电阻等符号画出这个装置的等效电路图，并求通过回路的电流大小． ( 3 ) 若金属棒 以速度 贴着金属框架向右匀速运动，为使回路中不产生感应电流，从 开 始，磁感应强度 应怎样随时间 变化？请推导 与 的关系式． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 由法拉第电磁感应定律 ， ， ， 解得： ． 等效电路图如答图所示： ( 3 ) 导体棒切割产生电动势 ， 由闭合电路欧姆定律 ， 解得： ． 不产生感应电流，即磁通量的变化为零， ， ， 解得： ． 12 . 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构 成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻．一金属棒 垂直导轨放置， 两 端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向 上的匀强磁场中，磁感应强度大小 ． 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 ．运动过程中拉力的功率恒定不变，重 力加速度 取 ． ( 1 ) 求拉力的功率 ． ( 2 ) 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 ． 真题演练 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 在 运动过程中，由于拉力功率恒定， 做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最 大时，加速度为零，设此时拉力的大小为 ，安培力大小为 ，有 ①， 设此时回路中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律，有 ②， 设回路中的感应电流为 ，由闭合电路欧姆定律，有 ③， 受到的安培力 ④， 由功率表达式，有 ⑤， 联立上述各式，代入数据解得 ⑥． 从速度 到 的过程中，由动能定理，有 ⑦， 代入数据解得 ⑧． 13 . 如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度 大小为 的匀强磁场．一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程 中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好．已知导体棒单位长度的电阻为 ， 金属框电阻可忽略．将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式． 【答案】 ， 【解析】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为 时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应 电动势的大小为 ，① 由欧姆定律，流过导体棒的感应电流为 ，② 式中， 为这一段导体棒的电阻，按题意有 ，③ 此时导体棒所受安培力大小为 ，④ 由题设和几何关系有 ， ，⑤ 联立①②③④⑤式得 ， ．⑥ 具有恒定外力模型 在宽度为 的平行光滑的导轨上，有一个质量 ，电阻为 的导体棒与之接触，在垂于导轨平面存在 磁感应强度为 的匀强磁场，已知导体棒受到一个恒定的外力 的作用。 （1）运动学分析： 导体棒在恒定的外力 的作用下，由静止开始向右运动时，导体棒切割磁感线运动，产生的电动势为 ；产生的感应电流为 ，导体棒受到的合外力大小 （二） 14 . 如图所示，导体框位于竖直平面内，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小 ，水平 导体棒 可沿两侧足够长的光滑导轨下滑而不分离，导体棒 质量 ，接入电路的电阻 ；导轨宽度 ，定值电阻 ，装置的其余部分电阻可忽略不计．将导体棒 无初速度释放，导体棒下滑 高度时速度达到最大，重力加速度 ．则导体棒 ，即 ，随着速度的 增大 ，加速度 随之 减小 ， 当 时，速度达到 最大且不变 ，最大速度为 ，所以导体棒做 加速度逐渐 减小的加速运动 ，最终 匀速直线运动 . 合 安 （2）能量学分析： ①导体棒在加速过程中，外力做功产生的能量，一部分转化为 棒的动能 ，另一部分转化为 系统的 内能 ，即 ②导体棒匀速后，外力功率 等于 系统发热功率，即 （3）动冲量分析： ①导体棒在加速运动过程中，通过导体棒的平均电流 ，经历的时间为 ，导体棒受到的合外力为 ，由动量定理， ，即 . ②导体棒在加速运动过程中，运动的位移为 ，平均速度为 ，安培力为 ，由动量定 理， ，即 经典例题 A. B. C. D. 下滑的最大速度为 从释放到下滑 高度所经历时间为 从释放到下滑 高度过程中，电阻 产生的热量为 从释放到下滑 高度过程中，通过电阻 的电荷量为 （ ） 【答案】BD 【解析】A 选项： B 选项： C 选项： D 选项： 导体棒匀速运动时速度最大，设为 根据 ，得： ，故A 错误； 根据牛顿第二定律得： ，变形得： ， 两边求和得： ， 可得： ，解得 ，故B正确； 从释放到下滑 高度过程中，根据能量守恒定律得： ，电阻 产生的热量为： ，解得： ，故C错误； 从释放到下滑 高度过程中，通过电阻 的电荷量为： ，故D正确． 故选BD. 15 . 如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为 的斜面上，导轨的左端接有电阻 ，导轨自 身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为 、电阻可以不计的 金属棒 ，在沿着斜面与棒垂直的恒力 作用下沿导轨匀速上滑，并上升 高度，在这一过程中（ ） A. B. C. D. 作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零 作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于 与电阻 上产生的焦耳热之和 恒力 与安培力的合力所做的功等于零 恒力 与重力的合力所做的功等于电阻 上产生的焦耳热 【答案】AD 【解析】方案一： 方案二： 导体棒匀速上升过程中，根据动能定量得： ，注意克安服安培力所做功即为回路电阻中产生的热量，故有：金属 棒上的各个力的合力所做的功等于零，故A正确，故B错误； 恒力 与安培力合力做功等于克服重力所做功，故C错误； 恒力 与重力的合力所做的功等于克服安培力所做功即等于电阻 上发出的焦耳热，故D正 确； 故选AD． 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对棒做功，恒力 做 正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功．匀速运动时，所受合力为 零，故合力做功为零，故A正确； 克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于 上产生的焦 耳热，故外力 与重力的合力所做的功等于电阻 上产生的焦耳热，故D正确； 故选AD． 题型总结 ① 电路特点：导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势 . ② 安培力的特点： .安培力为阻力，并随着速度增大而增大。 ③ 加速度的特点： .加速度随速度增大而减小。 ④ 运动特点：加速度减小的加速运动。 ⑤ 最终特征：匀速直线运动。 ⑥ 两个极值 i. 最大加速度：当 时： . ii. 最大速度：当 时： . A. B. C. D. 杆所受的拉力 的大小为 杆所受摩擦力为零 回路中的电流强度为 与 大小的关系为 16 . 两根相距 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于 水平面．质量为 的金属细杆 、 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为 ，导轨电阻不计，回路总电阻为 ．整个装置处于磁感应强度大小为 ，方向竖直向上的匀强磁场中． 当 杆在平行于水平导轨的拉力 作用下以速度 沿导轨匀速运动时， 杆也正好以速度 向下匀速运 动．取重力加速度为 ，以下说法正确的是（ ） 【答案】AD 【解析】右手定则可知，回路中感应电流方向为 ，感应电流大小为 ；导体 受到 水平向左的安培力，由受力平衡得 ；导体棒 运动时，受到向右的安培 力， 受到的摩擦力不为零， 受到摩擦力和重力平衡，由平衡条件得 ；联 立以上各式解得 ， ，故D正确． 故选AD． 17 . 如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻 ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始 终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨 ⑦ 稳定后的能量转化规律：外力功率等于电路发热功率， . 巩固练习 A. B. C. D. 金属棒做的是加速度增加的加速运动 力 做的功与安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量 金属棒克服安培力做功等于棒产生的电能与回路产生的焦耳热之和 力 做的功与重力做的功的代数和等于棒获得的动能和电阻 上放出的热量 平面垂直，棒在竖直向上的恒力 作用下做加速上升运动的一段时间内，以下说法正确的是（ ） 【答案】BD 【解析】A．棒在恒力 向上加速运动的过程中，受重力、恒力 和向下的安培力，该过程中，速度 增大，感应电动势增大，电流增大，安培力增大，做加速度减小的加速运动，故A错误； B．根据功能关系知，除重力以外其它力做功的代数和等于机械能的增量，则力 做的功与 安培力做的功的代数和等于棒的机械能增加量，故B正确； C．金属棒克服安培力做功等于回路中产生的焦耳热，故C错误； D．根据动能定理得， ，又克服安培力做功等于电阻 上产生 的焦耳热，即 ，整理得， ，可知力 做功与重力做 功的代数和等于动能和电阻 上放出的热量之和，故D正确． 故选BD． 18 . 如图所示，光滑平行的金属导轨 和 ，间距 ，与水平面之间的夹角 ，匀 强磁场磁感应强度 ，垂直于导轨平面向上， 间接有阻值 的电阻，其它电阻不 计，质量 的金属杆 垂直导轨放置，用变力 沿导轨平面向上拉金属杆 ，若金属杆 以 恒定加速度 ，由静止开始做匀变速运动，则：（ ） ( 1 ) 在 内平均感应电动势是多少． ( 2 ) 第 末，回路中的电流多大． ( 3 ) 第 末，作用在 杆上的外力 多大． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 磁通量的变化量 由法拉第电磁感应 得 末的瞬时速度 ，感应电动势 由欧姆定律 由安培力公式 又有 代入得 安 19 . 如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距 ，导轨平面与水平面 成 角，下端连接阻值为 的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为 、电阻 不计的金属棒 放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为 ． ( 1 ) 求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小． ( 2 ) 若金属棒下滑的最大速度为 ，则磁感应强度 的大小为多少． ( 3 ) 接（2）问，金属棒到达最大速度沿杆下滑的距离为 ，则金属杆克服安培力做的功以及电阻 上生热分别为多少．（ ， ， ） 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ， 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 开始 滑时 ，故电路中无感应电动势，只受重力、支持力、摩擦力有 ，得 ． 达到最大速度后沿斜面做匀速直线运动，所受合力为零有： ① ② 感应电动势 ③ 联立①②③得 ． 根据动能定理可知： ， ，则 ． 克安 克安 20 . 如图所示，间距为 的平行且足够长的光滑导轨由两部分组成：倾斜部分与水平部分平滑相连，倾 角为 ，在倾斜导轨顶端连接一阻值为 的定值电阻．质量为 、电阻也为 的金属杆 垂直导轨跨放 在导轨上，在倾斜导轨区域加一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在水平导轨区域 加另一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小也为 的匀强磁场．闭合开关 ，让金属杆 从图示位置 由静止释放，已知金属杆运动到水平导轨前，已达到最大速度，不计导轨电阻且金属杆始终与导轨接触 良好，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 金属杆 在倾斜导轨上滑行的最大速率 ． ( 2 ) 金属杆 在倾斜导轨上运动，速度未达到最大速度 前，当流经定值电阻的电流从零增大到 的过程中，通过定值电阻的电荷量为 ，求这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热 ． ( 3 ) 金属杆 在水平导轨上滑行的最大距离 ． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) 金属杆 在倾斜导轨上滑行的速度最大时，其受到的合力为零， 对其受力分析，可得： ( 2 ) ( 3 ) ， 根据欧姆定律可得： ， 解得： ． 设在这段时间内，金属杆运动的位移为 ， 由电流的定义可得： ， 根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得： ， 解得： ， 设电流为 时金属杆的速度为 ，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律，可得： ， 此过程中，电路产生的总焦耳热为 ，由功能关系可得： ， 定值电阻产生的焦耳热 ， 解得： ． 由牛顿第二定律得： ， 由法拉第电磁感应定律、欧姆定律可得： ， 可得： ， ， 即 ， 得： ． 总 总 21 . 间距为 的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分（足够长）平滑连接而成，倾斜部分导轨与水平 面间夹角为 ，导轨上端接有两个电阻 和 ，阻值均为 ．空间分布着如图所示的匀强磁场，倾斜导轨 的磁场方向垂直导轨平面 向上，磁感应强度大小为B．水平区域 边界右侧磁场方向竖直向 上，磁感应强度大小为 ， 为无场区域．现有一质量 、长度 、电阻为 的细金属棒与导 轨垂直放置并由静止释放，释放处离水平导轨的高度为 ．开始时电键 闭合，当棒运动到 边界时将 电键断开．已知金属棒在到达 边界前速度已达稳定．不计一切摩擦力及导轨的电阻，重力加速度为 ．求： ( 1 ) 金属棒运动过程中的最大速度 ． ( 2 ) 金属棒在整个运动过程中的最大加速度 的大小及方向． ( 3 ) 在整个运动过程中电阻 上产生的焦耳热． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，方向水平向左 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 当金属棒在倾斜导轨平面 上运动过程中加速度为零时，此时速度最大 ，解得： ． 金属棒达到最大速度后在斜面上做匀速下滑，然后匀速进入水平无磁场的 区 域，进入 内的磁场，金属棒刚开始进入区域 内的磁场时加速度最大 ，解得 ，方向水平向左． 金属棒在倾斜导轨运动时 ，水平导轨运动阶段 ，所以 ．总 学生总结 变式训练 22 . 如图（a），两相距 的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与阻值 的电阻 连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场．质量 的金属杆垂直置于导轨上，与导 轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略．杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，并始终与 导轨垂直，其 图像如图（b）所示．在 时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆中电流 为 ．求： ( 1 ) 金属杆所受拉力的大小 ． ( 2 ) 内匀强磁场的磁感应强度大小 ． ( 3 ) 内磁感应强度随时间的变化规律． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 由( )图像可知，在 内，金属杆做匀加速直线运动，杆没有进入磁场，由牛顿 第二定律得： ，由题意可知， 末撤去拉力，没有感应电流，杆 不受安培力作用，杆所受的合外力为滑动摩擦力，由牛顿第二定律得： ，由( )图像可知，加速度： ， ，解得： ． 在 内，金属杆做匀速直线运动，速度： ，金属杆受到的安培力： ，金属杆做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得： ，代入数据解得： ． 内部产生感应电流，穿过回路的磁通量保持不变，金属杆在 内的 位移： ，在 后的金属杆的加速度： ， 安培 金属杆的位移： ，磁 通量保持不变，则： ，解得： ． 23 . 如图甲所示，两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距 ，导轨平面与水平面的夹角 角，下端连接阻值 的电阻；质量为 、阻值 的匀质金属棒 放在两导 轨上，距离导轨最下端为 ，棒与导轨垂直并保持良好接触，与导轨间的动摩擦因数 ． 整个装置与导轨平面垂直（向上为正）的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示， 已知在 内，金属棒 保持静止，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力取 ． ( 1 ) 求 内电阻 上产生的热量． ( 2 ) 求 时刻，金属棒 所受摩擦力的大小． ( 3 ) 后，对金属棒 施加一沿斜面向上的拉力 ，使金属棒 沿斜面向上做加速度大小 的匀加速运动，请写出拉力 随时间 （从施加 时开始计时）变化的关系． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，方向沿导轨向上 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 在 内，金属棒 上产生的感应电动势为： ，其中 ， 由闭合电路欧姆定律有： ， 由于在 内回路中电流恒定，故热量 ， 其中 ． 联立解得： ． ( 3 ) 若 内金属棒 保持静止，则在 内回路中的电流不变， 时， 金属棒 所受安培力 ，方向沿导轨向下． 又导轨对金属棒 的最大静摩擦力 ， 由于 ，可知假设成立，金属棒仍保持静止． 故所求摩擦力为 ，方向沿导轨向上． 后金属棒 上产生的感应电动势为 ，其中 ． 金属棒 所受安培力的大小为： ，其中 ． 由牛顿第二定律有： ， 解得： ． 安 A. B. C. D. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度 金属棒不能回到无磁场区 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处 24 . 如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上．区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向 上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场．阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由 静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行．运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好．在第一 次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ） 【答案】ABD 【解析】A选项，B选项：在Ⅰ区域中，磁感应强度为 ，感应电动势 ， 感应电动势恒定，所以导体棒上的感应电流恒为： 真题演练 ， 导体棒进入Ⅱ区域后，导体切割磁感线，产生一个感应电动势，因为导体棒到达 点后又能 上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过 点的受力分析如图： 设下行、上行过 时导体棒的速度分别为 、 ，则下行过 时导体棒切割磁感线产生的感应 电动势为 ， 下行过 时导体棒上的电流为： ， 下行过 时，根据牛顿第二定律可知： ， 上行过 时，切割磁感线的产生的感应电动势为： ， 上行过 时导体棒上的电流为： ， 根据牛顿第二定律可知： ， 比较加速度大小可知： ， 由于 段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，所以金属板下行经过 点 时的速度大于上行经过 点时的速度，AB正确； C选项，D选项：导体棒上行时，加速度与速度同向，则导体棒做加速度减小的加速运动， 则一定能回到无磁场区．由AB分析可得，导体棒进磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度大于出 磁场Ⅱ区的速度，导体棒在无磁场区做加速度相同的减速运动 ，则金属棒 不能回到 处，故C错误，故D正确； 故选ABD．