15.带电粒子在有界磁场中的运动（pdf版）-【师者匠心系列】2024-2025学年高中物理讲义（人教版2019必修三）

15.带电粒子在有界磁场中的运动 课前检测 （1）圆心的确定： ①已知两点速度方向： ②已知入射方向和出射点： ③已知轨迹上任意三点 （2）半径的计算： ①带电粒子做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即 ，圆周运动的半径 ②确定圆心→寻找 （与半径和已知量相关）→利用几何知识求半径． 如图所示 或由 可得半径为 ． （3）运动时间的求解： ①周期 ，代入上述半径的结果，求得 。 粒子做圆周运动的圆心角为 ，粒子运动的时间 或 ，所以求 运动时间的关键是找到 ． ②如下图，根据角度关系，粒子运动的圆心角 等于粒子速度偏转角 也等于两倍的弦切角 ，即 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 带电粒子在匀强磁 场中运动 2018安徽卷 3 4 较易 2018海南卷 1 4 易 2019北京卷 17 7 中 2019北京卷 5 3 较易 2020全国卷III 13 10 中 2020江苏卷 12 18 较难 2021全国卷III 5 4 中 2021天津卷 7 5 中 2022天津卷 12 16 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握直线边界、平行直线边界的基本问题，包括临界问题、最值问题 2. 熟练掌握圆形磁场边界的重要结论 3. 熟练掌握动态圆问题中特点和临界问题 4. 熟练掌握多解问题中的方法 课程重难点 课程重点：直线边界、圆形边界的基本问题，动态圆特点 课程难点：多解问题、临界问题 1 . 如图所示， 的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向 里， （在纸面内）与磁场方向垂直且 ， 上有一点 ， ， 点有一个 粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为 、电荷量为 的带正电粒子（重力不计），速率均为 直线边界磁场 基本特点 （1）对称性：如图甲、乙、丙所示，粒子进、出磁场具有对称性，如垂直边界进入磁场，将垂直边界出 磁场； （2）多解性：同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，一个为优弧，偏转角为 ；一个为劣 弧，偏转角为 ．如图乙、丙中的出射点 ． 最值问题 （1）当入射点到出射点的距离是粒子运动轨迹的直径时，粒子射程最远； （2）粒子运动轨迹为劣弧时，当弦长为点到边界的垂直距离时，时间最短； 经典例题 一、 （一） （二） A. B. C. D. ，则粒子在磁场中运动的最短时间为（ ） A. 为负离子， 为正离子 B. 、 两离子运动半径之比为 C. 、 两离子速率之比为 D. 、 两离子的比荷之比为 2. 、 两个离子同时从匀强磁场的直边界上的 、 点分别以 和 （与边界的夹角）射入磁 场，又同时分别从 、 点穿出，如图所示．设边界上方的磁场范围足够大，下列说法中正确的是（ ） 3 . 如图所示，在 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为 的匀强磁场，一带电粒子（不计重 力）从坐标原点 处以速度 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 轴正方向成 角．若粒子在磁场中运动时离开 轴的最大距离为 ，则该粒子的电性和运动半径是（ ） 题型总结 ①当入射点到出射点的距离是粒子运动轨迹的直径时，粒子射程最远； ②粒子运动轨迹为劣弧时，当弦长为点到边界的垂直距离时，时间最短； ③粒子进、出磁场具有对称性，如垂直边界进入磁场，将垂直边界出磁场； 巩固练习 A. 正电荷， B. 正电荷， C. 负电荷， D. 负电荷， A. ， 均带正电 B. 在磁场中飞行的时间比 的短 C. 在磁场中飞行的路程比 的短 D. 在 上的落点与 点的距离比 的近 4. 如图，两个初速度大小相同的同种离子 和 ，从 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏 上，不计重力，下列说法正确的有（ ） 学生总结 平行直线边界磁场 临界问题 二、 （一） 5 . 长为 的水平板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为 ，板间距离也为 ，板 不带电，现有质量为 、电荷量为 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速 度 水平射入磁场，欲使粒子打在水平板上，可采用的办法是（ ） （1）如图甲所示，带正电荷粒子以速度 沿磁场下边界射入，当粒子从上边界射出时，其半径满足什么 条件？ （2）如图乙所示，带负电荷粒子以某一速度垂直于边界射入磁场，若粒子粒子不能在右边界偏出，则速 度满足什么要求？ （3）如图丙所示，带负电荷粒子以某一速度且与竖直方向夹角为 方向射入磁场时，要使粒子不会在右 边界射出，则速度满足什么条件？ 最值问题 如图所示，当粒子在磁场中运动的轨迹为劣弧时，当弦长为平行边界的宽度时，粒子运动的时间最短； 经典例题 （二） A. 使粒子的速度 B. 使粒子的速度 C. 使粒子的速度 D. 使粒子的速度 A. B. C. D. 右边界： 的范围内有粒子射出 右边界： 和 的范围内有粒子射出 左边界： 的范围内有粒子射出 左边界： 的范围内有粒子射出 6. 如图所示，宽 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内．现有 一群带正电时的粒子从 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的 轨道半径均为 ，则（ ） 7 . 如图所示，足够长的左右边界分别为 、 的匀强磁场的宽度为 ，磁感应强度大小为 ，方向 垂直于纸面向里．一个质量为 、电荷量为 的微观粒子，沿图示方向以速度 垂直射入磁场．欲使粒 子不能从边界 射出，粒子入射速度 的最大值可能是（ ） 题型总结 ①临界条件常常是粒子运动轨迹与边界相切． ②入射点连接出射点的弦平分速度的偏转角 ③半径公式： 巩固练习 A. B. C. D. A. B. C. D. 8 . 如图所示，平行边界 、 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 ，两边 界长度足够长，间距为 ， 上有一粒子源 ，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为 、电 荷量均为 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度 ，不计粒子的重力，则粒子能从 边界射 出磁场的区域长度为（ ） A. B. C. D. 9 . 如图所示，一矩形区域 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 的匀强磁场， 和 边 长分别为 和 ， 为 边中点．在 点，把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场，速 度方向跟 边夹角 ．已知粒子的质量为 ，带电荷量为 ，粒子重力不计，欲使粒子能从 边 上射出磁场，则初速度 大小可能为（ ） 10 . 如图所示，一束电子的电荷量为 ，以速度 垂直射入磁感应强度为 、宽度为 的有界匀强磁场 中，穿出磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是 ，则电子的质量是多少. 电子穿过磁场的时 间又是多少. 学生总结 圆形边界磁场 （1）带电粒子沿圆形磁场区域半径方向进或出，则出或进磁场时速度方向必过圆心． 三、 （2）当粒子运动半径大于圆形磁场半径时（ ），当带电粒子入射点和出射点的连线刚好为圆形磁 场的直径时．偏转角最大，磁场运动时间时间最长. （3）当粒子运动半径小于圆形磁场半径时（ ），当带电粒子入射点和出射点连线为粒子运动圆的 直径时，射出点为最远点，可求带电粒子可以射出的范围． （4）当粒子运动半径等于圆形磁场半径时（ ），从圆形磁场上某一点沿着不同方向以相同初速度 发射粒子，射出磁场的方向都平行，即“磁发散”，反过来便是“磁聚焦”。 A. B. C. D. 前后两次粒子运动的轨迹半径比为 前后两次粒子运动的轨迹半径比为 前后两次磁感应强度的大小之比为 前后两次磁感应强度的大小之比为 11 . 在半径为 的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场．圆边上的 处有一粒子源，不沿垂直于磁场 的各个方向，向磁场区发射速率均为 的同种粒子，如图所示．现测得：当磁感应强度为 时，粒子均 从由 点开始弧长为 的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为 时，粒子则都从由 点开始弧长 为 的圆周范围内射出磁场．不计粒子的重力，则（ ） 12 . 如图所示，以 为圆心、半径为 的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为 的匀强磁场， 一粒子源位于圆周上的 点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为 、电荷量为 的粒 子，不计粒子重力， 为圆周上另一点，半径 和 间的夹角 ，且满足 ． ( 1 ) 若某一粒子以速率 ，沿 方向射入磁场，恰能从 点离开磁场，求此粒子的速率 ． ( 2 ) 若某一粒子以速率 ，沿与 成 角斜向上方向射入磁场，求此粒子在磁场中运动 的时间． ( 3 ) 若大量此类粒子以速率 ，从 点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的 最长时间为多少． 经典例题 A. B. C. D. 13 . 空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为 ，磁场方向垂直横截面．一质量为 、 电荷量为 （ ）的粒子以速率 沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向 ．不计重力，该磁场的磁感应强度大小为（ ） A. B. C. D. 14 . 如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界）， 两圆的半径分别为 、 ，圆心为 ．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的 点沿 方向以速度 射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为 ，若将该带电粒子从 点射入的速度大小变为 时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则 至少为（ ） 题型总结 ①当r>R时，粒子在磁场中运动时轨迹为劣弧，在劣弧中，弦长越长，圆心角越大，时间越长 ②当r<R时，粒子在磁场中运动的轨迹为优弧或劣弧，弦长越长，射程越远； ③当r=R时，粒子在磁场中运动时，出现“磁聚焦”、“磁发散” 巩固练习 A. B. C. D. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间 所有粒子所用最短时间为 所有粒子所用最短时间为 15 . 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半 径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q （q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其 中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ） A. B. C. D. 粒子的荷质比是 粒子的向心加速度 圆弧轨迹 的圆心一定在边界 上 若轨迹 的圆心为 ，则 16 . 磁场可以约束带电粒子的运动．如图所示，真空中，两个同心圆边界 、 所夹的环状区域存在垂直 于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 ，两圆的半径分别为 、 ，圆心为 ； 、 是边界 的 两个相互垂直的半径，三个相同的带电的粒子（不计重力）从边界 的三个不同位置以平行 的相同 速度 进入磁场，都从 点射出磁场，圆弧轨迹 、 与边界 相切，下列说法正确的是（ ） 学生总结 A. B. C. D. 17 . 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为 和 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平 行，其横截面如图所示．一速率为 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为 ，电荷量为 ，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ） A. B. C. D. 18 . 一匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径。一束质量为 ，电荷量为 的粒子，在纸面 内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最 长的粒子，其运动时间为（ ） 真题演练 动态圆问题四、 A. B. C. D. 从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边 从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边 从 边射入的粒子，出射点分布在 边和 边 从 边射入的粒子，出射点分布在 边和 边 19 . 如图所示，长方形 的长 ，宽 ， 、 分别是 、 的中点，以 为直 径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度 ．一群不计重力， 质量 ，电荷量 的带电粒子以速度 沿垂直于 方 向且垂直于磁场区域射入，则（ ） 平移圆 特点：粒子入射速度不变，入射点变 经典例题 题型总结 根据题干画图，由于速度不变故圆的大小形状一致，然后将圆进行平移，利用几何关系和基本公式求解 巩固练习 （一） 20 . 如图所示， 坐标系内有匀强磁场，磁感应强度为 ，方向垂直纸面向里， 区域内有匀强 电场（图中未画出）， 轴为电场右边界．磁场中放置一半径为 的圆柱形圆筒，圆心 的坐标为 ，圆筒轴线与磁场平行，现有范围足够大的平行电子束以速度 从很远处垂直于 轴沿 轴正 方向做匀速直线运动射入磁场区，已知电子质量为 ，电荷量为 ，不考虑打到圆筒表面的电子对射入 磁场的电子的影响．求： ， ( 1 ) 区域内的匀强电场的场强大小和方向． ( 2 ) 若圆筒外表面各处都没有电子打到，则电子初速度应满足什么条件． ( 3 ) 若电子初速度满足 ，则 轴上哪些范围射入磁场的电子能打到圆筒上?圆筒表面有电 子打到的区域和圆筒表面没有电子打到的区域的面积之比是多少． A. B. C. D. 粒子的入射速度为 粒子的入射速度为 粒子在磁场中运动的最长轨迹长度为 从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 21 . 如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质 量为m、电荷量为q的正电荷以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半区域内有 粒子射出。已知bc边长度为L，bc和ac的夹角为60度，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的 是（ ） 22 . 如图所示，直角三角形 区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子（不计重力）沿 方 向射入磁场，分别从 边上的 、 两点射出，则（ ） 学生总结 放缩圆 特点： ①各动态圆圆心轨迹为直线； ②各动态圆的半径 不同； ③各动态圆均相切于入射点，即相交于同一点； ④各动态圆周期 相同。 ⑤从同一直线边界射出的粒子，速度平行 经典例题 （二） A. 从 点射出的粒子速度大 B. 从 点射出的粒子速度大 C. 从 点射出的粒子在磁场中运动的时间长 D. 两个粒子在磁场中运动的时间一样长 23 . 在边长为 的正 内存在垂直纸面向里的磁感强度为 的匀强磁场，有一带正电 ，质量为 的粒子从距 点 的 点垂直 方向进入磁场，如图所示，求： ( 1 ) 粒子速率应满足什么条件，粒子能从 间射出． ( 2 ) 粒子速率应满足什么条件，粒子能从 间射出． 24 . 在一个边界为等边三角形的区域内，存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的 点 处有一个粒子源，粒子源发出比荷相同的三个粒子 、 、 （不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒 子在磁场中的运动轨迹如图所示．用 、 、 分别表示 、 、 通过磁场的时间，用 、 、 分别表 示 、 、 在磁场中的运动半径，下列判断正确的是（ ） 题型总结 ①根据题干信息，规范画图分析 ②同一粒子的放缩圆，弧长越长，运动时间不一定越长； ③临界条件常常是粒子运动轨迹与边界相切． ④如何找切点：入射点连接出射点的弦平分速度的偏转角 巩固练习 A. B. C. D. A. B. C. D. 经过的弧长一定大于从 点离开的粒子经过的弧长 经过的弧长一定小于从 点离开的粒子经过的弧长 运动时间一定大于从 点离开的粒子的运动时间 运动时间一定大于从 点离开的粒子的运动时间 25 . 如图所示，在等腰三角形 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场， 是 上任意一点， 是 上任意 一点，大量相同的带电粒子从 点以相同方向进入磁场，由于速度大小不同，粒子从 和 上不同点离 开磁场，不计粒子重力，从 点离开的粒子在三角形 磁场区域内经过的弧长和运动时间，与从 点和 点离开的粒子相比较（ ） A. B. C. D. 26 . 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度 从 点沿直径 方 向射入磁场，经过 时间从 点射出磁场， 与 成 角，现将带电粒子的速度变为 ，仍从 点射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（ ） 27 . 如图所示，以直角三角形 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为 ， ， ，在 点发射某种带负电的粒子（不计重力作用），粒子的比荷为 ．发射方向与 边的 夹角为 ，粒子从 点射出磁场． ( 1 ) 求粒子的发射速度大小 ． ( 2 ) 求粒子在磁场中的运动时间；若减小粒子的入射速度，粒子在磁场中运动的时间如何变化？ ( 3 ) 若入射粒子为正电荷，试讨论，粒子能从 边射出，入射速度的范围． 28 . 真空中有一等腰梯形匀强磁场区域 ，磁场方向垂直纸面向里，强度为 ，且 ， ，如图所示，建立沿 边为 轴 为原点的直角坐标系，从 点在纸面 内沿 轴正方向发射各种速率的电子，设电子间相互作用忽略，已知电子的电量为 ，质量为 ． ( 1 ) 在磁场中的转动半径分别为 和 的电子，求其在磁场中的运动时间之比． ( 2 ) 若使所有从 沿 轴正方向出发的电子在磁场中运动时间相同，则电子的速率应满足什么条件． ( 3 ) 若使电子从 沿 轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到 轴，速率应满足什么条件？且在 轴上什么范围内能接收到返回的电子． 学生总结 A. 能打在板上的区域长度为 B. 能打在板上离 点的最远距离为 C. 到达板上的最长时间为 D. 到达板上的最短时间为 29 . 如图所示，空间存在方向垂直于纸面的匀强磁场，一粒子发射源 位于足够大绝缘平板 的上方 距离为 处，在纸面内向各个方向发射速率均为 的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重 力，已知粒子做圆周运动的半径大小也为 ，则粒子（ ） 旋转圆 特点： ①各动态圆均相交于同一点； ②在纸面内，各粒子所能打到的区域是以 为半径的圆； ③所有圆的圆心处在半径为 的圆上 ④各动态圆周期 相同。 经典例题 题型总结 （三） A. B. C. D. 在荧光屏上将出现一个圆形亮斑，其半径为 在荧光屏上将出现一个半圆形亮斑，其半径为 在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为 在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为 30 . 如图所示， 是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光． 的上方有磁感 应强度为 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里． 为屏上的一小孔， 与 垂直．一群质量为 、带电荷量 的粒子（不计重力），以相同的速率 ，从 处沿垂直于磁场方向射入磁场区域，且分布 在与 夹角为 的范围内，不计粒子间的相互作用．则以下说法正确的是（ ） 31 . 如图所示，以 为圆心、半径为 的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为 的匀强磁场， 一粒子源位于圆周上的 点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为 、电荷量为 的粒 子，不计粒子重力， 为圆周上另一点，半径 和 间的夹角 ，且满足 ． ( 1 ) 若某一粒子以速率 ，沿 方向射入磁场，恰能从 点离开磁场，求此粒子的速率 ． ①根据题干信息，规范画图分析 ②同一旋转圆弧长（不是弦长）越长，运动时间越长； ③临界条件常常是粒子运动轨迹与边界相切 巩固练习 ( 2 ) 若由 点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题（1）中计算出的 ，求磁场中有粒子通过的 区域面积． 32 . 如图所示，一带负电的质点（不计重力）在固定的正点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周 期为 ，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场， 质点仍沿原来的圆轨道绕正电荷做圆周运动，运动方向也和原来一致，则（ ） 学生总结 多解问题 （1）带电粒子电性不确定形成多解问题 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨 迹不同，导致形成多解。 （2）磁场方向不确定形成多解 带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目 中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而 形成的双解。 （3）运动轨迹不确定形成多解 带电粒子从某个点飞出，则粒子可能以劣弧的轨迹飞出，也可能以优弧的轨迹飞出，且劣弧和优弧恰好构 成完整的圆弧 经典例题 五、 A. B. C. D. 若磁场方向指向纸里，质点运动的周期小于 若磁场方向指向纸里，质点运动的周期大于 若磁场方向指向纸外，质点运动的周期小于 若磁场方向指向纸外，质点运动的周期大于 A. 小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变 B. 小球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小 C. 小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变 D. 小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小 33 . 在光滑绝缘水平面上，一轻绳连接着一个带电小球绕竖直方向的轴 在匀强磁场中做逆时针方向的 水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示，若小球运动到 点时，绳子突然断开，关 于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的是（ ） 34 . 如图所示，光滑绝缘壁围成的正方形匀强磁场区域，边长为 磁场的方向垂直于正方形平面向里， 磁感应强度的大小为 。有一个质量为 、电量为 的带正电的粒子，从下边界正中央的 孔垂直于下边 界射入磁场中。设粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞时间。 （1）若粒子在磁场中运动的半径等于 ，则粒子射入磁场的速度为多大？经多长时间粒子又从 孔射 出？ （2）若粒子在磁场中运动的半径等于 ，判断粒子能否再从 孔射出。如能，求出经多长时间粒子从 孔射出；如不能，说出理由。 题型总结 ①找出不确定的因素，然后展开讨论分析，如带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是 不同的，在磁场中运动的轨迹就不同； ②根据题干信息，规范作图 巩固练习 （3）若粒子在磁场中运动的半径小于 且仍能从 孔垂直边界射出，粒子射入的速度应为多大？在磁场 中的运动时问是多长？ 35 . 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直 相交于 、 、 ，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变， 竖直分速度大小不变、方向相反．质量为 、电荷量为 的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置 水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为 ，且 ．粒子重力不计，电荷量保持不变． ( 1 ) 求粒子运动速度的大小 ． ( 2 ) 欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到 的最大距离 ． ( 3 ) 从 点射入的粒子最终从 点射出磁场， ， ，求粒子从 到 的运动时间 ． 学生总结 真题演练 36 . 如图所示为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感 应强度大小 ，在 轴上距坐标原点 的 处为粒子的入射口，在 轴上安 放接收器．现将一带正电荷的粒子以 的速率从 处射入磁场，若粒子在 轴上距坐 标原点 的 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 、电荷量为 ， 不计其重力． 最小面积问题 （1）若为圆形，则找到磁场边界的两点,以这两点的距离为直径的圆面积最小； （2）若为矩形，则以这两点连线距离为矩形一条边，这条边的中垂线交点与圆弧交点的两点间距离为另 一条边，这样形成的矩形磁场面积最小； （3）其他形状，比如磁发散和磁聚焦引起的最小面积。 经典例题 六、 ( 1 ) 求上述粒子的比荷 ． ( 2 ) 为了在 处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内， 求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形． 37 . 如图所示，一个质量为 ，带电量为 的粒子以速度 从 点沿 轴正方向射入磁感应强度为 的 圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点 处穿过 轴，速度方向与 轴 正方向的夹角为 ．（粒子的重力不计），试求： ( 1 ) 到 的距离． ( 2 ) 粒子在磁场中运动的时间． ( 3 ) 圆形匀强磁场区域的最小面积． 题型总结 ①若为圆形，则找到磁场边界的两点,以这两点的距离为直径的圆面积最小； ②若为矩形，则以这两点连线距离为矩形一条边，这条边的中垂线交点与圆弧交点的两点间距离为另 一条边，这样形成的矩形磁场面积最小 38 . 如图所示，质量为 、电荷量为 的电子从坐标原点 处沿 平面射入第一象限内，射入时的速 度方向不同，但大小均为 ．现在某一区域内加一方向向外且垂直于 平面的匀强磁场，磁感应强度 大小为 ，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与 轴平行的荧光屏 上，求． ( 1 ) 电子从 轴穿过的范围． ( 2 ) 荧光屏上光斑的长度． ( 3 ) 所加磁场范围的最小面积． 39 . 如图所示，在边长为 的正方形 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 为 。质量为 、电荷量为 的带电粒子从 点以不同大小的初速度由 到 射入磁场，不计粒子的重力 和粒子间的相互作用。 求： （1）若粒子从 的中点 射出，求粒子在磁场中运动的时间； （2）若粒子从 的中点 射出，求粒子的初速度大小； （3）若正方形 中只有某个区域内存在上述磁场，粒子以不同大小的初速度射入时均能平行于 边射出，求磁场区域的最小面积。 40 . 如图， 是边长为 的正方形．质量为 、电荷量为 的电子以大小为 的初速度沿纸面垂直 于 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从 边上的任意点入射，都只能 巩固练习 真题演练 从 点射出磁场．不计重力，求： ( 1 ) 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小． ( 2 ) 此匀强磁场区域的最小面积． 课堂总结七、 15.带电粒子在有界磁场中的运动 课前检测 （1）圆心的确定： ①已知两点速度方向： 两垂线 ②已知入射方向和出射点： 一垂线一中垂线(起点与出射点连线) ③已知轨迹上任意三点 两中垂线 （2）半径的计算： ①带电粒子做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即 ，圆周运动的半径 ②确定圆心→寻找 直角三角形 （与半径和已知量相关）→利用几何知识求半径． 如图所示 或由 可得半径为 ． （3）运动时间的求解： ①周期 ，代入上述半径的结果，求得 。 粒子做圆周运动的圆心角为 ，粒子运动的时间 或 ，所以求 运动时间的关键是找到 偏转角 ． ②如下图，根据角度关系，粒子运动的圆心角 等于粒子速度偏转角 也等于两倍的弦切角 ，即 圆 心角=速度偏转角=2*弦切角 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 带电粒子在匀强磁 场中运动 2018安徽卷 3 4 较易 2018海南卷 1 4 易 2019北京卷 17 7 中 2019北京卷 5 3 较易 2020全国卷III 13 10 中 2020江苏卷 12 18 较难 2021全国卷III 5 4 中 2021天津卷 7 5 中 2022天津卷 12 16 中 目标解读 知识导图 课程目标 1. 熟练掌握直线边界、平行直线边界的基本问题，包括临界问题、最值问题 2. 熟练掌握圆形磁场边界的重要结论 3. 熟练掌握动态圆问题中特点和临界问题 4. 熟练掌握多解问题中的方法 课程重难点 课程重点：直线边界、圆形边界的基本问题，动态圆特点 课程难点：多解问题、临界问题 【教法备注】 直线边界磁场 基本特点 （1）对称性：如图甲、乙、丙所示，粒子进、出磁场具有对称性，如垂直边界进入磁场，将垂直边界出 磁场； （2）多解性：同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，一个为优弧，偏转角为 ；一个为劣 弧，偏转角为 ．如图乙、丙中的出射点 ． 最值问题 （1）当入射点到出射点的距离是粒子运动轨迹的直径时，粒子射程最远； （2）粒子运动轨迹为劣弧时，当弦长为点到边界的垂直距离时，时间最短； 一个带电粒子在匀强磁场中运动时，其射程远近看弦长，时间长短看圆心角或弦长或弧长，圆心角越 大，时间越长；弧长越长，时间越长；弦长（劣弧）越长，时间越长，弦长（优弧）越短，时间越长 经典例题 一、 （一） （二） A. B. C. D. 1 . 如图所示， 的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向 里， （在纸面内）与磁场方向垂直且 ， 上有一点 ， ， 点有一个 粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为 、电荷量为 的带正电粒子（重力不计），速率均为 ，则粒子在磁场中运动的最短时间为（ ） 【答案】A 【解析】粒子进入磁场中做匀速圆周运动则有： ， 而将题设的 值代入得： ， 分析可知：粒子运动的时间 最短时，所粒子偏转的角度 最小，则 所对弦最短，作 于 点， 即为最短的弦，结合左手定则，以 为半径作出过 、 两点的轨迹圆如图所示， 为圆心； 根据几何关系有： ①， ②， 联立①②式可得： ， 则粒子偏转的角度： ， 结合周期公式： ， 可知粒子在磁场中运动的最短时间为： ， 故A正确，BCD错误． 故选A． A. 为负离子， 为正离子 B. 、 两离子运动半径之比为 C. 、 两离子速率之比为 D. 、 两离子的比荷之比为 2. 、 两个离子同时从匀强磁场的直边界上的 、 点分别以 和 （与边界的夹角）射入磁 场，又同时分别从 、 点穿出，如图所示．设边界上方的磁场范围足够大，下列说法中正确的是（ ） 【答案】ABD 【解析】A． 向右偏转，根据左手定则知， 为负离子， 向左偏转，根据左手定则知， 为正离 子，故A正确； B．离子在磁场中做圆周运动，由几何关系可得 ， 为 距离， ，则 、 两离子的半径之比为 ，故B正确； C．离子的速率 ，时间相同，半径之比为 ，圆心角之比为 ，则速率 之比为 ，故C错误； 题型总结 ①当入射点到出射点的距离是粒子运动轨迹的直径时，粒子射程最远； ②粒子运动轨迹为劣弧时，当弦长为点到边界的垂直距离时，时间最短； ③粒子进、出磁场具有对称性，如垂直边界进入磁场，将垂直边界出磁场； 巩固练习 D．根据 知， ，因为速度大小之比为 ，半径之比为 ，则 比荷之比为 ，故D正确． 故选ABD． A. 正电荷， B. 正电荷， C. 负电荷， D. 负电荷， 3. 如图所示，在 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为 的匀强磁场，一带电粒子（不计重 力）从坐标原点 处以速度 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 轴正方向成 角．若粒子在磁场中运动时离开 轴的最大距离为 ，则该粒子的电性和运动半径是（ ） 【答案】C 【解析】由左手定则可知，该粒子电性是负电荷． 由图可得： ． 故选C． 4. 如图，两个初速度大小相同的同种离子 和 ，从 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏 上，不计重力，下列说法正确的有（ ） A. ， 均带正电 B. 在磁场中飞行的时间比 的短 C. 在磁场中飞行的路程比 的短 D. 在 上的落点与 点的距离比 的近 【答案】AD 【解析】这类题就是“定心判径画轨迹”图像如下： 粒子做圆周运动的半径为： 相等，画出轨迹，分别为 轨迹在磁场中转过圆 心角 大由 和轨迹图可选． 故选AD． 学生总结 平行直线边界磁场 临界问题 二、 （一） 【教法备注】 （1）如图甲所示，带正电荷粒子以速度 沿磁场下边界射入，当粒子从上边界射出时，其半径满足什么 条件？ （2）如图乙所示，带负电荷粒子以某一速度垂直于边界射入磁场，若粒子粒子不能在右边界偏出，则速 度满足什么要求？ （3）如图丙所示，带负电荷粒子以某一速度且与竖直方向夹角为 方向射入磁场时，要使粒子不会在右 边界射出，则速度满足什么条件？ ①如图甲所示，带正电荷粒子沿磁场下边界射入，则 ，则满足 lt 时，粒子在 上边界射出． ②如图乙所示，带负电荷粒子垂直于边界射入磁场， ， 越小， 越小，粒子偏转角越 大．当角度 时，半径 ，粒子恰不能在右边界偏出． ③如图丙所示，带负电荷粒子以不同的速度射入磁场时，图示情况 ，当 不变，入射角 大于 时，粒子不会在右边界射出． 最值问题 如图所示，当粒子在磁场中运动的轨迹为劣弧时，当弦长为平行边界的宽度时，粒子运动的时间最短； （二） 【教法备注】 A. 使粒子的速度 B. 使粒子的速度 C. 使粒子的速度 D. 使粒子的速度 5. 长为 的水平板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为 ，板间距离也为 ，板 不带电，现有质量为 、电荷量为 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速 度 水平射入磁场，欲使粒子打在水平板上，可采用的办法是（ ） 【答案】D 【解析】如图所示，由题意知，若带正电的粒子从左边射出磁场，其在磁场中做圆周运动的半径 ．粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，即： ， 可得粒子做圆周运动的半径： ． 若粒子不从左边射出，则： ， 即： ， 当弧长为劣弧时，弦长越短，时间越短 经典例题 带正电的粒子不从右边射出，如图所示，此时粒子的最大半径为 ，由图可知： ， 可得粒子做圆周运动的最大半径： ， 若粒子不从右边射出，则： ， 即： ， 故欲使粒子打在极板上，粒子的速度必须满足 ，故D正确； 故选D． A. B. C. D. 右边界： 的范围内有粒子射出 右边界： 和 的范围内有粒子射出 左边界： 的范围内有粒子射出 左边界： 的范围内有粒子射出 6. 如图所示，宽 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内．现有 一群带正电时的粒子从 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的 轨道半径均为 ，则（ ） 【答案】AD 【解析】AB．当粒子的轨迹恰好与 轴方向的右边界相切时，如图，根据几何知识得到 当粒子沿 轴方向射入磁场时，粒子从磁场右边界 轴下方射出时，则有 所以右边界： 有粒子射出．故A正确，B错误； CD．由图可知，粒子只能 轴上方从左边界射出磁场， 的最大值为 ． 所以左边界： 有粒子射出．故C错误，D正确． 故选AD． A. B. C. D. 7 . 如图所示，足够长的左右边界分别为 、 的匀强磁场的宽度为 ，磁感应强度大小为 ，方向 垂直于纸面向里．一个质量为 、电荷量为 的微观粒子，沿图示方向以速度 垂直射入磁场．欲使粒 子不能从边界 射出，粒子入射速度 的最大值可能是（ ） 【答案】AB 【解析】题目中只给出粒子“电荷量为 ”，未说明粒子带哪种电荷．若带正电荷，轨迹为与 相 切的 圆弧，如图1所示． 题型总结 ①临界条件常常是粒子运动轨迹与边界相切． ②入射点连接出射点的弦平分速度的偏转角 ③半径公式： 巩固练习 设轨道半径为 ，根据几何知识得： ， 解得： ． 粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，则牛顿第二定律得： ， 解得： ． 若粒子带负电荷，轨迹为与 相切的 圆弧，如图2所示． 根据几何知识得： ， 解得： ， 由 ， 解得： ． 故选AB. A. B. C. D. 8 . 如图所示，平行边界 、 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 ，两边 界长度足够长，间距为 ， 上有一粒子源 ，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为 、电 荷量均为 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度 ，不计粒子的重力，则粒子能从 边界射 出磁场的区域长度为（ ） 【答案】C 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得： ． 解得： ， 粒子从 边界射出磁场的临界运动轨迹如图所示： 由几何知识得： ，且 ， 粒子能从 边界射出的区域长度： ，故C正确，ABD错误； 故选C． 9. 如图所示，一矩形区域 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 的匀强磁场， 和 边 长分别为 和 ， 为 边中点．在 点，把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场，速 度方向跟 边夹角 ．已知粒子的质量为 ，带电荷量为 ，粒子重力不计，欲使粒子能从 边 A. B. C. D. 上射出磁场，则初速度 大小可能为（ ） 【答案】A 【解析】 若粒子速度大小为 ，其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有： ；即： ；设圆心在 处的粒子运动速度大小为 ，则： ；得： ；又 ；解得 ； 同理，设圆心在 处的粒子运动速度大小为 ，则： ， 解得： ；联立： ；可得： ；所以粒子能从 边上射出 磁场的 应满足： ，故A正确；BCD错误． 故选A． 10 . 如图所示，一束电子的电荷量为 ，以速度 垂直射入磁感应强度为 、宽度为 的有界匀强磁场 中，穿出磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是 ，则电子的质量是多少. 电子穿过磁场的时 间又是多少. 【答案】 ； 【解析】 根据几何关系， ，由 得： 磁场内的圆弧轨迹所对圆周角为 ，也就是 ，完整一周的 ，因 此电子穿过磁场的 . 故答案为： ； ． 学生总结 圆形边界磁场 （1）带电粒子沿圆形磁场区域半径方向进或出，则出或进磁场时速度方向必过圆心． （2）当粒子运动半径大于圆形磁场半径时（ ），当带电粒子入射点和出射点的连线刚好为圆形磁 场的直径时．偏转角最大，磁场运动时间时间最长. （3）当粒子运动半径小于圆形磁场半径时（ ），当带电粒子入射点和出射点连线为粒子运动圆的 直径时，射出点为最远点，可求带电粒子可以射出的范围． 三、 【教法备注】 【教法备注】 当r>R时，粒子在磁场中运动时轨迹为劣弧，在劣弧中，弦长越长，圆心角越大，时间越长 当r<R时，粒子在磁场中运动的轨迹为优弧或劣弧，弦长越长，射程越远 （4）当粒子运动半径等于圆形磁场半径时（ ），从圆形磁场上某一点沿着不同方向以相同初速度 发射粒子，射出磁场的方向都平行，即“磁发散”，反过来便是“磁聚焦”。 ①磁发散中平行射出的粒子与入射点的切线平行 ②磁聚焦证明： 如上图，粒子从P点沿半径方向水平射入，根据径向射入，径向射出且r=R，粒子射出方向竖直向下从Q 点射出，假设粒子从任意一点P'水平射入，然后从Q'点射出，粒子运动轨迹的圆心为O'，连接P'O、 OQ'、Q'O'、O'P'，由于P'O=OQ'=Q'O'=O'P'，故四边形P'OQ'O'为菱形，所以P'O'//OQ'，故Q与Q'重 合，粒子从同一点射出，如下图所示： ③磁发散证明： 如上图，粒子从P点沿半径方向竖直向上射入，根据径向射入，径向射出且r=R，粒子从Q点射出方向水 平向右。假设粒子从P点任意方向射入，从Q'点射出，粒子运动轨迹点圆心为O'，连接O'Q'、Q'O、 OP、PO'，由于O'Q'=Q'O=OP=PO'，故四边形O'Q'OP为菱形，所以OP//Q'O'，故Q'O'也为竖直方向， 所以从Q'射出点粒子方向也是水平向右，如下图所示： ④圆方程证明磁聚焦： 如图所示，已知r=R，粒子在P点水平向左射入磁场，在A点射出，求A点的位置。 A. B. C. D. 前后两次粒子运动的轨迹半径比为 前后两次粒子运动的轨迹半径比为 前后两次磁感应强度的大小之比为 前后两次磁感应强度的大小之比为 11 . 在半径为 的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场．圆边上的 处有一粒子源，不沿垂直于磁场 的各个方向，向磁场区发射速率均为 的同种粒子，如图所示．现测得：当磁感应强度为 时，粒子均 从由 点开始弧长为 的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为 时，粒子则都从由 点开始弧长 为 的圆周范围内射出磁场．不计粒子的重力，则（ ） 【答案】AD 【解析】当磁感应强度为 时，粒子半径为 ，粒子运动情况如图所示， 根据洛伦兹力提供向心力可得： ① 解：连接OP，设OP与y轴方向的夹角为 ，则 , 磁场边界圆方程： ① 轨迹圆方程： ② 联立①②得： 经典例题 根据几何关系有： ② 联立①②式子可得： ③ 当磁感应强度为 时，粒子半径为 ，粒子运动情况如图所示， 根据洛伦兹力提供向心力可得： ④ 根据几何关系有： ⑤ 联立④⑤式子可得： ⑥ 由②⑤式可得：前后两次粒子运动的轨迹半径比为 ，故A正确，B错 误； 由③⑥式可得：前后两次磁感应强度的大小之比为 ，故C错误，D正 确． 故选AD． 12 . 如图所示，以 为圆心、半径为 的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为 的匀强磁场， 一粒子源位于圆周上的 点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为 、电荷量为 的粒 子，不计粒子重力， 为圆周上另一点，半径 和 间的夹角 ，且满足 ． ( 1 ) 若某一粒子以速率 ，沿 方向射入磁场，恰能从 点离开磁场，求此粒子的速率 ． ( 2 ) 若某一粒子以速率 ，沿与 成 角斜向上方向射入磁场，求此粒子在磁场中运动 的时间． ( 3 ) 若大量此类粒子以速率 ，从 点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的 最长时间为多少． 【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 【解析】 ( 1 ) ( 2 ) 粒子以速率 沿 方向射入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，恰好从 点离开磁 场，其运动轨迹如图， 设粒子轨迹半径为 ，由图中几何关系可得： ， 由牛顿第二定律可得： ，解得：粒子的速度： ； 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设轨迹半径为 ，由牛顿 第二定律可得 ，解得 ．粒子沿与 成 方向摄入 磁场，设粒子从区域边界 射出，其运动轨迹如图所示， ( 3 ) 由图中几何关系可知粒子轨迹所对应的圆心角为 ，粒子运动周期： ； ． 根据洛伦兹力提供向心力， ，解得运动的半径 ，根据几何关 系该长最长时，所对的圆心角最大，即运行的时间最长，即构成等边三角形，即 ，根据周期公式 ，即所用时间 ； A. B. C. D. 13 . 空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为 ，磁场方向垂直横截面．一质量为 、 电荷量为 （ ）的粒子以速率 沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向 ．不计重力，该磁场的磁感应强度大小为（ ） 【答案】A 题型总结 ①当r>R时，粒子在磁场中运动时轨迹为劣弧，在劣弧中，弦长越长，圆心角越大，时间越长 ②当r<R时，粒子在磁场中运动的轨迹为优弧或劣弧，弦长越长，射程越远； ③当r=R时，粒子在磁场中运动时，出现“磁聚焦”、“磁发散” 巩固练习 【解析】带正电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运 动，画出轨迹如图，根据几何知识得知， 轨迹的圆心角等于速度的偏向角 ， 且轨迹的半径为 ， 由牛顿第二定律得： ， 解得： ． 故选A． A. B. C. D. 14 . 如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界）， 两圆的半径分别为 、 ，圆心为 ．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的 点沿 方向以速度 射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为 ，若将该带电粒子从 点射入的速度大小变为 时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则 至少为（ ） 【答案】B 【解析】 粒子在磁场中做圆周运动，由几何知识得： ， 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： ， 解得： ， 当粒子竖直向上射入磁场时，如果粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区 域，粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径： ，洛伦兹力提 供向心力，由牛顿第二定律得： ， 解得： ，则： ，故B正确． 故选B． A. B. C. D. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间 所有粒子所用最短时间为 所有粒子所用最短时间为 15 . 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半 径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q （q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其 中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ） 【答案】AD 【解析】【详解】 粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b点到c点的过程中，半径越老越 大，则由 可知，速度越来越大，所以从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率。又因为 粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心角的一半，所 以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，弦切角最小， 因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为 所以圆心角为 所以最短运动时间为 即从M点射出粒子在磁场中运动时间与从N点射出粒子所用时间大小不能确定。 故选AD。 A. B. C. D. 粒子的荷质比是 粒子的向心加速度 圆弧轨迹 的圆心一定在边界 上 若轨迹 的圆心为 ，则 16 . 磁场可以约束带电粒子的运动．如图所示，真空中，两个同心圆边界 、 所夹的环状区域存在垂直 于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 ，两圆的半径分别为 、 ，圆心为 ； 、 是边界 的 两个相互垂直的半径，三个相同的带电的粒子（不计重力）从边界 的三个不同位置以平行 的相同 速度 进入磁场，都从 点射出磁场，圆弧轨迹 、 与边界 相切，下列说法正确的是（ ） 【答案】BCD 【解析】A 选项： B 选项： C 选项： D 选项： 三个粒子的运动轨迹满足磁聚焦原理，由几何关系知运动轨迹的半径等于边界 圆 的直径，即 ，由洛伦兹力充当向心力以及牛顿第二定律可得 ，由此 可得粒子的荷质比 ，故A错误； 由 、 可得粒子的向心加速度 ，故B正确； 如下图所示， 是圆边界 与圆弧轨迹 的切点，过 点分别作圆 的半径 和圆 弧轨迹 的半径 ，因为 、 都垂直过 点的公切面，所以 、 、 三点共 线，由 、 可得 是圆 的直径，则圆弧轨迹 的圆心 一定在边界 上，故C正确； 如上图所示，圆弧轨迹 的入射点为 、圆心为 ，由几何关系知， 、 的连 线一定经过圆 与圆弧轨迹 的切点 ，由题意可知 ， ， 是 的中点， 是等腰三角形 的底边 的高，则有 ， ， ，即 ，故D正确； 故选BCD. 学生总结 A. B. C. D. 17 . 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为 和 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平 行，其横截面如图所示．一速率为 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为 ，电荷量为 ，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ） 【答案】C 【解析】当电子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，电子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最 大，电子的运动轨迹如图 令电子的半径为 ，根据几何知识有 ， 所以电子的最大半径为 ， 因为 ， 所以 ， 则磁感应强度的最小值为 ，故ABD错误，C正确． 故选C． 18 . 一匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径。一束质量为 ，电荷量为 的粒子，在纸面 内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最 长的粒子，其运动时间为（ ） 真题演练 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动， ， ， 可得粒子在磁场中运动的周期 ， 粒子在磁场中运动的时间 ， 为粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心 角． 则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长．采用放缩 圆解决该问题， 圆心角=2 ， 越大，时间越久，当ce与边界相切时时间最久 故选C． 动态圆问题 平移圆 四、 （一） A. B. C. D. 从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边 从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边 从 边射入的粒子，出射点分布在 边和 边 从 边射入的粒子，出射点分布在 边和 边 19 . 如图所示，长方形 的长 ，宽 ， 、 分别是 、 的中点，以 为直 径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度 ．一群不计重力， 质量 ，电荷量 的带电粒子以速度 沿垂直于 方 向且垂直于磁场区域射入，则（ ） 【答案】D 【解析】由左手定则可知粒子射入后向上偏转，轨迹半径 ．若整个矩形区域都有 磁场，从 点射入的粒子必从 点射出，在题给磁场中粒子的运动轨迹如图所示． 特点：粒子入射速度不变，入射点变 经典例题