第一单元长方体和正方体（单元复习讲义）-2024-2025学年六年级数学上册苏教版

第一单元长方体和正方体（单元讲义） 六年级数学上册苏教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一、长方体和正方体的特征 知识点二、长方体和正方体的表面积 1、概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积 2、计算公式： 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。 知识点三、体积（容积）单位进率换算 1立方米=1000立方分米     1立方分米=1000立方厘米 1m³=1000dm³      1dm³=1000cm³           1升=1000毫升    1立方分米=1升    1立方厘米=1毫升 1L=1000mL    1dm³=1L         1cm³=1mL 知识点四、长方体和正方体的体积（容积） 1、概念：物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积）。 2、计算公式： 长方体体积公式=长×宽×高 正方体体积公式=棱长×棱长×棱长 长方体和正方体的体积=底面积×高 精讲例题 【例题一】．如图是一个物体的长、宽、高的数据，这个物体可能是（    ）。 A．六年级数学书 B．一本新华字典 C．普通橡皮 D．普通手机 【答案】．A 【分析】这个物体长24cm，宽17cm，高0.7cm，新华字典的厚度比0.7cm大的多，普通橡皮和普通手机的长和宽比这个物体的长和宽小的多，这个物体很可能是数学书，据此解答。 【详解】分析可知，这个物体的长、宽、高接近六年级数学书的大小，所以这个物体可能是六年级数学书。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查长方体的认识，联系生活实际用排除法找出正确的选项是解答题目的关键。 例题二】．用一根绳子捆扎一种礼盒（如图），如果结头处的绳子长30厘米，求这根绳子的长度． 【答案】．116厘米 【详解】试题分析：根据图形可知：所需绳子的长度等于长方体的两条长棱、两条宽棱、4条高棱的长度和，再加上结头处的30厘米． 解：15×2+12×2+8×4+30， =30+24+32+30， =116（厘米）； 答：这根绳子的长度是116厘米． 点评：此题属于长方体的棱长总和的实际应用，关键是搞清是如何捆扎的． 【例题三】．把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 【答案】．58平方分米 【分析】根据图意可知，把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下部分的表面积比原表面积减少了2个边长为1分米的两个小正方形的面积，并且增加了2个长3分米，宽1分米的长方形，据此解答。 【详解】3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是58平方分米。 【点睛】此类题目的关键是找出增加部分的面和减少部分的面，再利用已知的规则立体图形的表面积的计算方法即可解决问题。 【例题四】．一根长5米的长方体通气管的横截面是边长2分米的正方形。每根通气管所占空间是多少？制作4根这样的通气管，要想给这些管子刷漆（里面不刷），一共要刷多少平方米？ 【答案】．0.2立方米；16平方米 【分析】根据题意，通气管长5米，宽和高都是2分米。求每根通气管所占空间就是求长方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答；给通气管刷漆，刷漆的面积是长方体的4个面，且这4个面都是长5米，宽2分米的长方形，长方形的面积＝长×宽，据此求出一根通气管刷漆的面积，再乘4求出4根通气管一共要刷的面积。 【详解】2分米＝0.2米 5×0.2×0.2＝0.2（立方米） 5×0.2×4×4 ＝1×4×4 ＝16（平方米） 答：每根通气管所占空间是0.2立方米，一共要刷16平方米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积的应用。要注意根据生活实际，确定所求长方体的表面积包括几个面。 专项练习 一、选择题 1．在长8m、宽2.6m、高3m的集装箱中摆放棱长是8dm的正方体货箱，最多能摆（    ）个。 A．9 B．90 C．121 D．122 2．3个小正方体并排摆在空地上，露在外面的面有（ ） A．3个 B．9个 C．11个 3．有12条棱，8个顶点、6个面的形体（ ）长方体． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 4．一个立方体，六个面分别写着1～6六个数，4的对面一定是（ ）。 A．3 B．5 C．2 D．6 5．做一个长方体铁皮油箱，要用多少铁皮是求它的（    ），这个油箱能装多少汽油是求它的（    ），这个油箱占有多大的空间是求它的（    ）。 A．底面积，表面积，容积 B．表面积，容积，体积 C．体积，容积，体积 D．容积，底面积，表面积 二、填空题 6．把长2米的长方体木料锯成3段，表面积增加24平方分米，原来木料的体积是( )立方米． 7．一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份、4份、5份……，再切成同样大的小正方体（如图）。想一想，填一填。 大正方体的棱平均分的份数 3 4 5 … 2面涂色的小正方体个数 ( ) ( ) ( ) … ( ) 8．一个鱼缸，从里面量长、宽、高分别是5分米、3分米、6分米，现向鱼缸里注水60升，水面离缸口还有( )分米。 9．一个长方体的长是14厘米，宽是3厘米，高是2.5厘米，那么它的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 10．一粒花生的体积大约是1( )；一个西瓜的体积大约是4( )；一个电视机包装箱体积大约是1( )； 一瓶娃哈哈矿泉水的容积大约是500( )。 11．一个长方体铁皮水桶高是6dm，底面是边长3dm的正方形，这个水桶的容积是( )L。 12．一个正方体的表面积是24平方分米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是 平方分米。 13．用6个棱长是1厘米的正方体木块粘合成如下图所示的形状，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 14．把一个棱长为1分米的正方体，切分成棱长为1厘米的小正方体，可以切( )个，把这些小正方体摆成一排长为( )米。 15．三个大小相同的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，求原来一个正方体的表面积是( )平方分米。 16．一根长方体木料长6米，沿横截面切成三段，表面积增加了240平方分米，原来这根木料的体积是( )立方米。 三、判断题 17．把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，长方体体积不变。( ) 18．一个长方体最多有两个面的面积相等。( ) 19．一个正方体的底面周长是8厘米，这个正方体的表面积是24平方厘米。( ) 20．长方体的平面展开图只有一种。( ) 21．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的体积216立方厘米。( ) 22．把一个大长方体切成4个小长方体，体积不变，表面积变大了。( ) 四、作图题 23．在下图中添加一个小正方形，使它成为一个正方体的表面展开图，一共有几种添加方法？请在图中画出来．           五、解答题 24．母亲节到了,南南为妈妈挑选了一份礼物,并用漂亮的礼品盒包装起来,准备给妈妈一个惊喜(如图)． (1)南南在礼品盒外包装了一层漂亮的彩纸,请你算一算,南南用了多大面积的彩纸? (2)南南用彩带将礼品盒捆扎起来,她得准备多长的彩带才够用呢?(打结处需要20厘米) 25．一个长方体油箱，长5分米，宽4分米，高3分米。做这个油箱至少需要多少平方分米铁皮？如果每升汽油重0.82千克，这个油箱最多可以装多少千克汽油？ 26．一个长方体油桶，从里面量，长2.5分米，宽0.8分米，高3分米，做这样一个油桶至少要用多少平方分米的铁皮？如果每升油重0.85千克，这个桶能装多少千克油？ 27．苏果超市用一种车厢是长方体的汽车运货，从里面量长3米，宽2.5米，货物高度是1.6米，每立方米货物重1.4吨，5辆同样的汽车共运货多少吨？ 28．用一根铁丝可以围一个长4厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体，如果用这根铁丝围一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ 29．一个花坛，长1.5米，左右两面是边长0.8米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土。 （1）花坛的占地面积是多少平方米？ （2）花坛所占的空间有多大？ （3）花坛里大约有泥土多少立方米？ 30．张叔叔焊接一个长方体的无盖铁皮水箱，长1.5米、宽0.6米、高0.4米。做这个水箱至少要铁皮多少平方米？如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水多少千克？（铁皮厚度不计） 31．妈妈从淘宝上买的海鲜是用保温泡沫箱包装的，小明从外面量了箱子的长是4分米，宽是3.4分米，高是2分米，泡沫箱厚2厘米．这个保温泡沫箱的容积大约是多少立方分米？（结果保留整数） 参考答案： 1．B 【分析】分别求出长方体的长、宽、高各包含正方体棱长的个数，就是说长、宽、高中最多有多少个正方体的棱长，再将长、宽、高包含的正方体的棱长个数相乘，即可解答。 【详解】8米＝80分米；2.6米＝26分米；3米＝30分米 80÷8＝10（个） 26÷8＝3（个）……2（分米） 30÷8＝3（个）……6（分米） 最多可装正方体货箱个数： 10×3×3 ＝30×3 ＝90（个） 故答案选：B 【点睛】本题考查长方体、正方体体积的计算的应用，关键是单位名数的互换，以及取整数。 2．C 【详解】解：6×3﹣（3+4）=11（个）．  故选C． 3个小正方体并排摆在空地上，正方体之间有4个面被挡住，有3个面贴着地面，共7个面看不见． 所以露在外面的面有18﹣7=11（个）． 3．C 【详解】【解答】根据上面的分析，棱台也有12条棱、6个面、8个顶点，棱台既不是长方体也不是正方体，因此有6个面，12条棱，8个顶点的形体不一定是长方体也不一定是正方体．故选C． 【分析】根据长方体和正方体的共同特征，它们都有12条棱、6个面、8个顶点；但是有6个面，12条棱，8个顶点的形体不一定是长方体，比如：正方体，上下面都是正方形，4个侧面都是梯形的棱台，属于不确定事件中的可能性事件，由此解答． 4．C 【详解】根据事件的确定性与不确定性、正方体的特征，即得4的对面一定是2。 5．B 【分析】物体所有面的总面积叫做物体的表面积；物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积；据此解答。 【详解】做一个长方体铁皮油箱，要用多少铁皮是求它的表面积，这个油箱能装多少汽油是求它的容积，这个油箱占有多大的空间，是求它的体积。 故答案为：B 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积、容积的意义及应用。 6．0.12 【详解】略 7． 12 24 36 【分析】要填第一个空，先看第一个正方体，会发现2面涂色的小正方体，一共有（个）； 大正方体的棱平均分成4份，2面涂色的小正方体共有（个）； 大正方体的棱平均分成5份，2面涂色的小正方体共有（个）； 可得出规律，大正方体的棱平均分成几份，2面涂色的小正方体共有（个）。 【详解】根据分析填表如下： 大正方体的棱平均分的份数 3 4 5 … 2面涂色的小正方体个数 12 24 36 … 12n－24 【点睛】解答本题的关键是找出平均分的份数与两面涂色小正方体个数的关系。 8．2 【分析】根据题意，求出60升水的高度；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出高，再用鱼缸原来的高减去60升水的高，即可解答。 【详解】60升＝60立方分米 60÷（5×3） ＝60÷15 ＝4（分米） 6－4＝2（分米） 【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。 9． 78 169 105 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体棱长总和； 根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体表面积； 根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体体积。 【详解】（14＋3＋2.5）×4 ＝（17＋2.5）×4 ＝19.5×4 ＝78（厘米） （14×3＋14×2.5＋3×2.5）×2 ＝（42＋35＋7.5）×2 ＝（77＋7.5）×2 ＝84.5×2 ＝169（平方厘米） 14×3×2.5 ＝42×2.5 ＝105（立方厘米） 一个长方体的长是14厘米，宽是3厘米，高是2.5厘米，那么它的棱长总和是78厘米，表面积是169平方厘米，体积是105立方厘米。 【点睛】熟练掌握长方体棱长总和公式，长方体表面积公式和长方体体积公式是解答本题的关键。 10． 立方厘米 立方分米 立方米 毫升 【分析】根据生活经验、体积、容积单位的认识及数据的大小进行解答即可。 【详解】一粒花生的体积大约是1（立方厘米）；一个西瓜的体积大约是4（立方分米）；一个电视机包装箱体积大约是1（立方米）； 一瓶娃哈哈矿泉水的容积大约是500（毫升）。 【点睛】本题主要考查学生对体积、容积单位的认识，注意生活积累。 11．54 【分析】根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入即可求出水桶的体积，之后再根据1立方分米＝1升，即可求出水桶的容积。 【详解】6×3×3 ＝18×3 ＝54（立方分米） 54立方分米＝54升 【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式并灵活运用。 12．16 【分析】正方体总共有6个面，表面积是24平方分米，那么可以求出每个面是4平方分米，把一个正方体分成两个完全相同的长方体，表面积是原来的一半，再多出一个4平方分米的正方形的面积，所以还要加上，算出，总共是16平方分米。 【详解】24÷6＝4（平方分米） 24÷2＋4＝16（平方分米） 【点睛】本题的关键是弄清楚增加的面的是面积为4平方分米的正方形的面积。 13． 6 22 【详解】略 14． 1000 10 【分析】棱长是1分米的正方体的体积除以棱长是1厘米的正方体的体积，就是可切割的个数；可将这些小正方体拼成一个宽和高都是1厘米的长方体，然后求出这个长方体的长即可，据此解答。 【详解】1分米＝10厘米， 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 可切割的个数： 1000÷（1×1×1） ＝1000÷1 ＝1000（个） 小正方体摆成一排的长： 1000÷（1×1） ＝1000÷1 ＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 【点睛】此题考查的是正方体的切割和拼组，解题时注意拼组后的长方体的长宽高的值。 15．54 【分析】三个大小相同的正方体，拼成一个长方体，相当于减少了4个正方形面的面积，用减少的总面积除以4，求出正方体一个面的面积，再乘6即可解答。 【详解】36÷4×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） 所以原来一个正方体的表面积是54平方分米。 16．3.6 【分析】已知这根长方体木料长6米，沿横截面切成三段，因为每切一刀分成两段，增加两个截面的面积，则这样增加了2×（3－1）＝4（个）截面的面积；又因为表面积增加了240平方分米，可求得每一个截面的面积是240÷4＝60（平方分米）； 截面的面积就相当于长方体的底面的面积，根据长方体体积＝底面积×高，可求得这根长方体木料的体积，注意先把60平方分米换算为0.6平方米。 【详解】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 240÷4＝60（平方分米） 60平方分米＝0.6平方米 6×0.6＝3.6（立方米） 原来这根木料的体积是（3.6）立方米。 【点睛】考查了长方体的切拼，需要理解每切一刀就增加两个截面的面积，同时熟悉长方体体积公式。 17．× 【分析】由长方体的体积公式V＝abh可知：长方体的体积由长方体的长、宽、高三个要素决定其大小。长和高的数据变化知道了，但高的数据变化不知道，也就不能判断体积的变化。据此解答。 【详解】把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，新的长方体的长乘高等于原长方体的长乘高，但宽的数据变化不知道，故体积的大小不能确定。 故原题说法错误。 【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。 18．× 【分析】长方体有6个面。当长方体有两个面是正方形时，其它的4个面是完全相同的长方形。 【详解】一个长方体最多有四个面的面积相等。 故答案为：× 【点睛】本题考查长方体的面的特征。要掌握特殊的长方体的特点。 19．√ 【详解】略 20．× 【分析】长方体的展开图特征：由3对长方形组成，每对长方形的大小相同，如果有3个或4个长方形在同一排或一行，则其中两个同样大小的长方形中间只隔一个其他的长方形。 【详解】如图，下面两种展开图都是长方体的展开图： ； 所以长方体的平面展开图不是只有1种， 故答案为：×。 【点睛】掌握长方体的展开图特征和规律是解题的关键。 21．√ 【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体的12条棱的中间位置。两面涂色的有48块，用48除以12得到每条棱的中间部分，再加上棱两边的顶点处的两块，则大正方体的棱长为6厘米。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长即可解答。 【详解】48÷12＋2 ＝4＋2 ＝6（厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 故答案为：√ 【点睛】本题关键要掌握表面涂色的正方体的特征，而两面涂色的小正方体位于大正方体的12条棱的中间位置，从而得到大正方体的棱长。 22．√ 【分析】根据体积的含义：物体所占空间的大小叫做物体的体积；可知把一个长方体切割成两个小长方体，体积不变；把一个长方体切割成4个小长方体，表面将增加新的面，所以表面积增加；据此解答。 【详解】因为将长方体切成两个长方体后，表面将增加新的面，所以表面积变大了；而把一个长方体分成4个长方体，体积没有变。原说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，解题时要明确立体图形切割时，体积不变、表面积增大。 23． 【解析】略 24．(1)950cm2 (2)110cm 【详解】(1)(20×15+20×5+15×5)×2=950(cm2) (2)20×2+15×2+5×4+20=110(cm) 25．94平方分米；49.2千克 【分析】求做油箱需要的铁皮面积，实际上是求油箱的表面积，利用长方体的表面积公式即可求解。 每升柴油的重量已知，乘油箱的体积就是这个油箱所能装的油的重量，为此只要利用长方体的体积公式先求出油箱的体积，即可逐步求解。 【详解】 （平方分米） （千克） 答：做这只油箱至少需要94平方分米铁皮，这个油箱最多可以装49.2千克柴油。 【点睛】此题考查了长方体体积和表面积的综合应用，掌握其计算公式认真解答即可。 26．32.6平方分米；5.1千克 【详解】（2.5×8＋2.5×3＋0.8×3）×2 ＝（2＋7.5＋2.4）×2 ＝11.9×2 ＝32.6（平方分米） 2.5×0.8×3＝6（立方分米）＝6升 0.85×6＝5.1（千克） 答：做这样一个油桶至少要用32.6平方分米的铁皮；这个桶能装5.1千克油。 27．84吨 【分析】长方体的体积=长×宽×高，把数据代入计算先求出一车厢是多少立方米，再用体积乘1.4乘5即可。 【详解】3×2.5×1.6×1.4×5 =12×7 =84（吨） 答：5辆同样的汽车共运货84吨。 【点睛】根据长方体的体积公式先求出车厢的容积是解题的关键。 28．3厘米 【详解】试题分析：由题意可知，长方体和正方体是棱长总和相等，首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出长方体的棱长总和．用棱长总和除以除以12就可以求出正方体的棱长． 解：（4+2+3）×4÷12， =9×4÷12， =36÷12， =3（厘米）； 答：这个正方体的棱长是3厘米． 点评：此题考查的目的是掌握长方体和正方体的特征，以及长方体和正方体棱长总和的计算方法．根据长方体和正方体棱长总和的计算方法解决问题． 29．（1）1.2平方米；（2）0.96立方米；（3）0.352立方米 【分析】（1）通过题目分析可知，这个花坛的长方体长为1.5米，宽为0.8米，高为0.8米，求花坛的占地面积就是求长方体的底面积，即（1.5×0.8）平方米； （2）求花坛所占的空间也就是花坛的体积，根据长方体的体积公式，用1.5×0.8×0.8即可求出花坛的体积； （3）求花坛里大约有泥土多少立方米，也就是求花坛的容积，花坛里面的长为（1.5－0.2×2）米，宽为（0.8－0.2×2）米，高为0.8米，然后根据长方体的体积公式即可求解出泥土的体积。 【详解】（1）1.5×0.8＝1.2（平方米） 答：花坛的占地面积是1.2平方米。 （2）1.5×0.8×0.8 ＝1.2×0.8 ＝0.96（立方米） 答：花坛所占的空间有0.96立方米。 （3）1.5－0.2×2 ＝1.5－0.4 ＝1.1（米） 0.8－0.2×2 ＝0.8－0.4 ＝0.4（米） 1.1×0.4×0.8 ＝0.44×0.8 ＝0.352（立方米） 答：花坛里大约有泥土0.352立方米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积（容积）公式的灵活应用，关键是明确容积和体积的区别，体积是物体所占空间大小，容积是所能容纳物体的体积。 30．2.58平方米；360千克 【详解】1.5×0.6＋（1.5×0.4＋0.6×0.4） ×2             ＝0.9＋0.84×2                                         ＝0.9＋1.68                                               ＝2.58（平方米） 1.5×0.6×0.4    ＝0.9×0.4 ＝0.36（立方米）                          0.36立方米＝360升 360×1＝360（千克） 答：做这个水箱至少要铁皮2.58平方米，这个水箱最多能装水360千克。 31．17立方分米 【详解】2厘米=0.2分米 长：4-0.2×2=3.6（分米） 宽：3.4-0.2×2=3（分米） 高：2-0.2×2=1.6（分米） 容积：3.6×3×1.6≈17（立方分米） 答：这个保温泡沫箱的容积大约是17立方分米． 学科网（北京）股份有限公司 $$