第三单元分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

第三单元分数除法（单元讲义） 六年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一、分数除法的意义及计算法则 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 × 因数 = 积 除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律： (1)当除数大于1，商小于被除数; (2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数; (3)当除数等于1，商等于被除数。 　“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。 知识点二、分数除法解决问题 1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X（一般把单位1设为X），用方程解答。 解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分数=具体量 (2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法： 即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 分数对应量÷对应分数 = 单位“1”的量 2、看分数前有没有比多或比少的问题； 分数前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量÷ (1-分数)= 单位“1”的量； （比多）：具体量　÷ (1+分数)= 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数 即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。 5、 工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷工作效率和，即1÷（+），（工作效率=） 精讲例题 【例题一】甲数÷＝乙数，则甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】．D 【分析】甲数＝0时，甲数÷＝乙数； 甲数≠0，甲数÷＝乙数，＜1，则甲数＜乙数。 【详解】当甲数0时，甲数＝乙数；当甲数≠0，甲数＜乙数。 故答案为：D。 【点睛】解答本题的关键是明确甲数有两种情况，一定要考虑全面。 【例题二】张老师在操场上走完一圈要6分钟，王老师在操场上走完一圈要5分钟。张老师从A点出发1分钟后，王老师才从A点出发，两位老师最少再过多长时间可以相遇？（张老师、王老师行走路线如下图。） 【答案】分钟 【分析】将一圈路程看作单位“1”，时间分之一可以看作速度，一圈路程－张老师速度×先出发的时间＝剩余路程，剩余路程÷两人速度和＝王老师出发后相遇时间，据此列式解答。 【详解】（1－×1）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝× ＝（分钟） 答：两位老师最少再过分钟可以相遇。 【例题三】．某笔记本电脑厂计划生产一批笔记本电脑，第一个月生产了计划的，第二个月生产了计划的，第三个月生产了450台。结果超额完成了计划的，计划生产笔记本电脑多少台？ 【答案】．1400台 【分析】把计划生产笔记本电脑台数看作单位“1”， 第一个月生产的分率＋第二个月生产的分率＋第三个月生产的分率＝1＋，由此计算出第三个月的分率，用量÷分率即可求得。 【详解】450÷（1＋－－） ＝450÷ ＝450× ＝1400（台） 答：计划生产笔记本电脑1400台。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，掌握求单位“1”的方法是解答题目的关键。 专项练习 一、选择题 1．商店有两个进价不同的服装都卖240元，一个赚了，另一个赔了， 卖了这两件衣服后，商店（    ）。 A．赚了 B．赔了 C．不赚也不赔 2．一个正方形，一边延长，另一边延长，得到一个长方形．长方形面积比正方形积增加了（　　） A． B． C． D． 3．粉刷一面墙壁，李叔叔单独粉刷需2小时完成，王伯伯单独粉刷需3小时完成。如果两个人合作（  ）小时能粉刷完这面墙壁。 A． B． C． D．2.5 4．小红的体重是，比小丽的重。小丽的体重是（    ）千克。 A．72 B．69 C．57 D．54 5．铺设一条道路，甲队单独铺需要天、乙队单独铺需要天。两队合铺这条道路的后，剩下的由乙队单独铺完，还需要（    ）天完成。 A． B． C． D． 6．如图，要求一共有多少册？列式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．某公园星期日的门票收入为7200元，比星期六的门票收入少，星期六的门票收入为( )元。 8．10米的比( )多，35吨的是( )的。 9．一个数的是60，这个数的是( )。 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )        ( )        ( ) 11．0.2的倒数是( )，( )没有倒数，的倒数是( )。 12．（a，b，c都大于0），这三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 13．北京奥运会开幕式门票的最高价是5000元，比闭幕式门票的最高价贵。闭幕式门票的最高价是( )元。 14．一杯果汁，已经喝了，喝掉的是剩下的，剩下的是喝掉的。 15．一根拔河比赛绳的是8m，这根绳子总长是( )m。 三、判断题 16．100比80多.                             ( ) 17．一项工程，甲、乙两个队合作，6天可以完成。假如甲单独做需要10天完成，那么乙单独做需要15天完成。( ) 18．若甲数的是5，则甲数的是25．( ) 19．若A的等于B的，那么A一定比B小（A≠0）。( ) 20．如果A与B的乘积是1，那么A与B互为倒数。( ) 21．甲比乙多，乙就比甲少。( ) 四、计算题 22．计算下面各题。                                                                                                             五、解答题 23．云山小学合唱队和舞蹈队一共270人，合唱队的人数是舞蹈队的，合唱队和舞蹈队分别有多少人？（列方程解答） 24．学校有男生650人，比女生的多50人，学校共有学生多少人？ 25．某款新能源汽车从电量为“0”开始充电，60分钟时的电量是满电量的，照这样计算，该款新能源汽车从电量为“0”到充满电需要多少分？ 26．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，如果甲队先干五天，剩下的再由甲乙两队合作完成，还需要多少天？ 27．一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成。现在两队合作，几天完成这项工程？ 28．修一段路，甲队单独修15天完成，乙队单独修10天完成，如果两队合修，几天可以修完？ 29．一批零件共156个，王叔叔单独加工完需要8小时，李叔叔单独加工完需要7小时，王叔叔和李叔叔一起加工，多长时间能加工这批零件的 ？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 30 答案 B D C D D D D 1．B 【分析】将进价看成单位“1”，卖的价格÷对应分率＝进价，分别求出两件服装的进价，比较进价和与卖价和即可。 【详解】240÷（1＋） ＝240÷ ＝200（元） 240÷（1－） ＝240÷ ＝300（元） 200＋300＝500（元） 240×2＝480（元） 500＞480，进价比卖的总钱数多，所以商店赔了。 故答案为：B 【点睛】关键是找准单位“1”，找到对应分率，部分数量÷对应分率＝整体数量。 2．D 【详解】试题分析：设原正方形的面积是1，则其边长为1，而长方形的长为（1+），宽为（1+），利用长方形的面积公式，求出其面积，再减去原来正方形的面积，就是长方形的面积比正方形的面积多的面积；于是就可以求长方形面积比正方形面积多的部分占正方形面积的几分之几． 解：设原正方形的面积是1，则其边长为1，而长方形的长为（1+），宽为（1+）， （1+）×（1+）， =×， =； （﹣1）÷1=； 答：长方形面积比正方形积增加了． 故答案为D． 点评：解答此题的关键是：利用已知条件表示出长方形的长和宽，进而求其面积，再减去原来正方形的面积，进而可求长方形面积比正方形面积多的占正方形面积的几分之几． 3．C 【分析】本题是简单的工程问题，利用工作总量＝工作时间×工作效率即可求得。 李叔叔的工作效率＝、王伯伯的工作效率＝，两人合作的工作效率为（＋），这条公路的工程量是工作总量，为单位“1”。甲乙合作完成需要的工作时间＝工作总量÷工作效率，据此解答即可。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝（小时） 故答案为：C 4．D 【分析】小红的体重是，比小丽的重，意思就是小红体重去掉6千克，正好就是小丽体重的。也就是36千克对应着小丽体重的，用除法计算即可。 【详解】（42－6）÷ ＝36÷ ＝36× ＝54（千克） 故答案为：D 【点睛】正确理解“比小丽的重”，其实就是小红体重的42－6＝36（千克）相当于小丽体重的。找出“部分量”对应的分数，用除法计算，使本题得以解答。 5．D 【分析】我们把修这一条公路的长度看作单位“1”，运用剩下的工作总量除以乙的工作效率等于还需要工作时间。 【详解】 （天 答：还需要天完成。 故选：D 【点睛】本题是一道运用字母表示数的工程问题，考查了学生解决问题的能力。 6．D 【分析】由题可知，360册占总册数的，总量＝分量÷分率，已知总册数的几分之几是多少求册数是多少用分数除法计算；360册占5份，可以求出一份是多少再乘总册数的份数，进而求出总册数；设总册数为x列方程求解，等量关系为：总册数×＝360册。 【详解】A．总量＝分量÷分率，则总册数＝360÷，列式正确； B．用360÷5可以求出1份是多少册，总册数有8份，则总册数＝360÷5×8，列式正确； C．设总册数为x，依据等量关系可以列式为：x＝360，列式正确； D．将总册数看成“1” ，则360册占总册数的（1－），求总册数用360÷（1－）即可求解，则360×（1－）列式错误； 故答案为：D 7．7800 【分析】把星期六的门票收入看作单位“1”，星期日的门票收入比星期六的门票收入少，则星期日的门票收入是星期六的门票收入的1－＝，根据除法的意义解答即可。 【详解】7200÷（1－） ＝7200÷ ＝7800（元） 【点睛】本题考查分数除法，明确单位“1”是已知还是未知是解题的关键。 8． 米 吨 【分析】用10乘求出10米的是6米，再根据6米比一个数多，求这个数，用6除以（1＋）即可；用35乘求出35吨的是15吨，再根据15吨是一个数的，求这个数，用15除以即可。 【详解】10×÷（1＋） ＝6÷ ＝（米） 35×÷ ＝15÷ ＝（吨） 则10米的比米多，35吨的是吨的。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，用乘法是解题的关键。 9．35 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，把这个数看作单位“1”，先用60除以，求得这个数是多少；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用这个数再乘，求得这个数的是多少。 【详解】60÷× ＝60×× ＝35 一个数的是60，这个数的是（35）。 【点睛】考查了分数乘除混合运算，需要根据单位“1”已知或未知，确定用乘法还是除法计算。 10． ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据分数除法中商与被除数的关系，以及分数乘法中积与乘数的关系进行解答即可。 【详解】（1）因为＜1，所以＜； （2）因为＜1，所以＞； （3）因为＜，所以＜； （4）因为，而＞，所以＞ 【点睛】本题关键在于分数除法和分数乘法的灵活运用。 11． 5 0 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，1的倒数还是1，0没有倒数。 【详解】0.2×5＝1，则0.2的倒数是5； 0没有倒数； ×＝1，则的倒数是。 【点睛】掌握倒数的意义是解答题目的关键。 12． c b 【分析】此题可采用设数法。设＝1，分别计算出a，b，c的值；再比较大小。 【详解】设＝1。 若a×＝1，则a＝2； 若b÷＝1，则b＝； 若c÷5＝1，则c＝5. 因为5＞2＞，所以c＞a＞b。 所以这三个数中，最大的是c，最小的是b。 【点睛】为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设成一个具体数，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。 13．3000 【分析】开幕式门票的最高价是5000元，比闭幕式门票的最高价贵，即开幕式门票是闭幕式的1＋，根据分数除法的意义可知，闭幕式门票的最高价是5000÷（1＋）。 【详解】5000÷（1＋） ＝5000÷ ＝3000（元） 【点睛】解答本题的关键是找准单位“1”并找出与已知量对应的分率。 14．； 【分析】把这杯果汁看作单位“1”，已经喝了，则还剩下1－＝，用喝掉的除以剩下即可解答；用剩下的除以喝掉的即可。 【详解】1－＝ ÷＝ ÷＝ 【点睛】本题考查分数与分数的除法，明确其计算方法是解题的关键。 15．36 【分析】把这根绳子总长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用8除以，即可求出这根绳子的总长。 【详解】8÷＝8×＝36（m） 即这根绳子总长是36m。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，掌握已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。 16．√ 【解析】略 17．√ 【分析】根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出两队合作的工作效率和甲队的工作效率，乙队的工作效率＝两队合作的工作效率－甲队的工作效率，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙队单独做需要的天数，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 1÷6＝ 1÷10＝ 1÷（－） ＝1÷ ＝1×15 ＝15（天） 所以，乙单独做需要15天完成。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。 18．√ 【详解】略 19．√ 【分析】由题意可知，A×＝B×，假设等式的值为1，分别求出A和B的值，再比较大小，据此解答。 【详解】假设A×＝B×＝1。 A：1÷ ＝1×4 ＝4 B：1÷ ＝1×5 ＝5 因为4＜5，所以A＜B。 故答案为：√ 【点睛】掌握分数乘法的意义并求出A和B的值是解答题目的关键。 20．√ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；据此判断。 【详解】如果A与B的乘积是1，那么A与B互为倒数。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查倒数的意义及应用，注意倒数是对两个数而言，是两个数相互依存的一个概念。 21．× 【分析】设乙是1，甲比乙多，甲是乙的（1＋），用1×（1＋），求出甲，再用甲与乙的差，再除以甲，即可求出乙比甲少几分之几，据此解答。 【详解】设乙是1。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝× ＝ 甲比乙多，乙就比甲少。 原题干说法错误。 故答案为：× 22．；；15；； ；；； 12；49； 【分析】根据除以一个不为0数等于乘这个数的倒数，将分数除法化为乘法，然后按照分数乘法进行计算即可； ，先将除法都化为乘法，然后再从左往右计算即可； ，先计算括号里面的加法，再计算括号外面的除法； ，先计算括号里面的减法，再计算括号外面的除法； ，先计算括号里面的加法，再计算括号外面的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 23．合唱队120人；舞蹈队150人 【详解】解：设舞蹈队有x人，则合唱队有x人 根据题意得：x+x=270 解得x=150 x=×150=120 答：合唱队有120人和舞蹈队有150人. 24．1370人 【分析】把女生人数看作单位“1”，男生人数＝女生人数×＋50，由此计算女生人数，然后计算学校共有学生多少人。 【详解】（650﹣50）÷＋650 ＝600÷＋650 ＝600×＋650 ＝720＋650 ＝1370（人） 答：学校共有学生1370人。 25．96分 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。将满电量看作单位“1”，用60除以，求出该款新能源汽车从电量为“0”到充满电需要多少分即可。 【详解】（分） 答：该款新能源汽车从电量为“0”到充满电需要96分。 26．9天 【分析】假设工作总量是1，根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别计算出甲队的工作效率和乙队的工作效率，再根据合作的天数＝（1－甲队的工作效率×甲队先干的天数）÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）计算即可得出答案。 【详解】（1－×5）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝9（天） 答：剩下的再由甲乙两队合作完成，还需要9天。 【点睛】本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可。 27．天 【分析】将这项工程看作单位“1”，甲队工作效率是，乙队工作效率是，用单位“1”÷两队效率和即可。 【详解】（天） 答：天完成这项工程。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，时间分之一可以看作效率。 28．6天 【分析】将工作总量看作单位“1”，甲队的效率是，乙队的效率是，用工作总量÷效率和即可。 【详解】1÷ ＝1÷ ＝6（天） 答：6天可以修完。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，时间分之一可以看作效率。 29．2.8小时或分数、带分数形式 学科网（北京）股份有限公司 $$