6.2.2 反比例函数的性质及k的几何意义课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二课时 反比例函数的性质及k的几何意义 6.2 反比例函数的图象与性质 1 1.反比例函数是一个怎样的图象？ 2.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？ 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 反比例函数的图象是双曲线 复习回顾 观察反比例函数 的图象，回答下列问题： （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 第一、三象限内 x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象在第三象限。 在每一个象限内，y随x的增大而减小 （2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时， 图象在第三象限？ （3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？ 探究思考一 如果k=－2, －4，－6，那么 的图象有又什么共同特征？ （1）函数图象分别位于哪个象限内？ x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限 （2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？ 在每一个象限内，y随x的增大而增大 探究思考一 对于反比例函数 ， 下列说法是否正确？ 当k>0时，y的值随x值的增大而减小； 当k<0时，y的值随x值的增大而增大. 在每一象限内 议一议 反比例函数的增减性： 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内, 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小； 反比例函数的图象是双曲线 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内, 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大. 知识小结 1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 ________; 在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有________. (1)(2)(3) (4) 2.若函数 的图象在其象限内， 随x的增大而增大，则m的取值范围是________． m＜-2 牛刀小试 （2）已知点(4，y3)，(6，y4)在反比例函数 的图象上，试比较y3与y4的大小. （3）已知点(-4，y5)，(6，y6)在反比例函数 的图象上，试比较y5与y6的大小. 3.（1）已知点(-6，y1)，(-4，y2)在反比例函数 的图象上，试比较y1与y2的大小. 你是怎么做的？ 牛刀小试 4.（1）已知点A(2,y1)，B(1,y2),，C(-1,y3)，D(-2,y4)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3、y4的大小关系。 习题6.3 解：∵k=1>0 ∴图象在第一、三象限内， 且每一象限内y随x的增大而减小 ∵ 0＜ x2＜x1, x4＜x3＜0, ∴点A(2,y1)，点B(1,y2)在第一象限， 点C(-1,y3)，D(-2,y4)在第三象限。 ∴ 0< y1 <y2，y3 < y4< 0, 即y3 < y4＜0< y1 <y2. 牛刀小试 习题6.3 牛刀小试 解：当k>0时, y2 < y1 < 0< y4< y3. 当k＜0时, y3 < y4< 0 < y1 < y2. （2）如果点A（-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)，D(4,y4)都在反比例函数 的图象上，那么y1、 y2 、y3 、y4的大小关系又如何呢？ 在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2. 请问：S1与S2有什么关系？为什么？ 探究思考二 P Q S2 S1 R S3 在一个反比例函数 的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积始终等于常量|k| 1.如图，点P是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ） A．不变 B.增大 C. 减小 D.无法确定 A 牛刀小试 2.如图，点P是反比例函数 的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接PO，三角形OAP的面积为 ． 2 牛刀小试 在一个反比例函数图象任取两点P，Q，过点P作x轴的垂线，连接PO（点O为原点），与坐标轴围成的三角形面积为S1；过点Q作x轴的垂线，连接QO，与坐标轴围成的三角形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？ S1=S2= |k| 变式训练 3.已知点P(3,2)、点Q(-2,a)都在反比例函数 的图象上.过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S1；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S2.求S1、S2、a 的值. 牛刀小试 牛刀小试 4．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_________． 函数 正比例函数 反比例函数 表达式 图象形状 k>0 k<0 位置 增减性 位置 增减性 y=kx ( k≠0 ) ( k是常数,k≠0 ) y = x k 直线 双曲线 一三象限 y随x的增大而增大 一三象限 每个象限内， y随x的增大而减小 二四象限 二四象限 y随x的增大而减小 每个象限内， y随x的增大而增大 填表分析正比例函数和反比例函数的区别 1. 已知函数 ，在每一象限内，y随x的增大而减小，求a的值和表达式. 当函数为反比例函数时 当函数为正比例函数时…… 能力提升 O x y A C O x y D x y o O x y B D 能力提升 反比例函数 的图象性质: 1.当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小； 当k<0时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x的增大而增大。 2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交。 3.既是轴对称图形又是中心对称图形；有两条对称轴，分别是y=x与y=-x；对称中心是原点. 4.图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的 S矩形=｜K｜ 课堂小结 $$