重难点专题：排列组合常见题型处理策略（23大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

重难点专题：排列组合常见题型处理策略 题型一：特殊元素和特殊位置优先策略 1．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 2．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 【答案】180 【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个， 接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排， 此时共有个四位数； 第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个， 再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数. 根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是. 故答案为：180. 题型二：相邻元素捆绑策略 1．男生和女生站成一排照相，男生相邻且女生也相邻的排法有 种． 【答案】 【分析】利用捆绑法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】男生是一个小集团，内部有种排法；女生也是一个小集团，内部也有种排法； 两个小集团排列，有种排法．由分步计数原理得． 故答案为： 2．（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种选法，再派去两地有2种方法，所以有72种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 题型三：不相邻问题插空策略 1．将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”. 【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论: 1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法; 2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法; 3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法; 4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法; 所以满足条件的不同排列方法的总数之和为. 故选：C. 2．、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到可以住号房间，分类讨论，结合排列数的公式，即可求解. 【详解】由题意，不住2号房间，且两人不住编号相邻房间，则可以住号房间， 若住在1号房间，则可以住在三个房间，有三种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在3号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在4号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在5号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况， 由分类计数原理得，共有种不同的住法. 故答案为：. 题型四：定序问题倍缩空位插入策略 1．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【答案】840 【分析】利用排列求出不同的排法总数. 【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同的方法． 故答案为：840. 2．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为 ． 【答案】60 【分析】根据甲站在乙左边和右边的方法数相同易得． 【详解】五名学生站成一排，甲站在乙的左边与丫在右边的相同， 因此方法数． 故答案为：60． 题型五：重排问题求幂策略 1．七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 ． 【答案】 【分析】根据乘法原理可求获得冠军的可能的种数. 【详解】因同一学生可以同时夺得五项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法， 由乘法原理可得，获得冠军的可能的种数为． 故答案为： 2．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 【答案】 【分析】 将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案 【详解】 第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信投入邮筒有4种可能 第九封信投入邮筒有4种可能 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法 【点睛】 本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键. 题型六：环排问题线排策略 1．8人围桌而坐，共有 种坐法. 【答案】5040 【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置，再排其余7人，求出答案． 【详解】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分， 因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有 （种）排法. 故答案为：5040 2．有个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？ 【答案】种 【分析】分析可知，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以就可以了，即可得解. 【详解】将个人进行编号为，按照一定的顺序站成一圈，就形成了一个圆排列， 分别以、、、、、、、、、号作为开头将这个圆排列打开， 就可以得到种排列：、、、、、、、、、；；、、、、、、、、、. 这就是说，这个圆排列对应了个排列，因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以就可以了， 即不同的坐法种数为种. 题型七：多排问题直排策略 1．人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有 排法. 【答案】 【详解】按照前排甲、乙，后排丙，其余5人的顺序考虑，共有种，故填5760. 2．6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演． （1）若每排4人，共有多少种不同的排法？ （2）领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）40320种；（2）5760种. 【分析】（1）从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解； （2）除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解. 【详解】（1）要完成这件事分三步． 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，有＝40320(种)不同的排法． （2）要完成这件事分三步． 第一步，除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法． 有＝5 760(种)不同的排法． 题型八：排列组合混合问题先选后排策略 1．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．将张不同的贺卡分给名同学、每名同学至少张，则不同的分法有 种． 【答案】 【分析】先将张不同的贺卡分为组，每组的贺卡数分别为、、、，再将这组贺卡分配给名同学，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先将张不同的贺卡分为组，每组的贺卡数分别为、、、，再将这组贺卡分配给名同学， 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为. 故答案为：. 题型九：小集团问题先整体局部策略 1．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有 个. 【答案】8 【分析】依据特殊元素优先原则分步去完成即可. 【详解】先把1，2，4，5当作一个小集团与3排列共有种排法， 再排小集团内部共有种排法， 所以满足条件的五位数共有（个）. 故答案为：8 2．甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有 种不同的坐法. 【答案】16 【分析】先排甲乙，再排丙，最后安排丁可得答案. 【详解】先排甲乙，共有种方法，产生3个空位，要求甲、乙两人位于丙的同侧， 故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空位，故丁有4种选择， 所以共有种不同的做法. 故答案为：16. 题型十：元素相同问题隔板策略 1， 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种. 2.把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？ 【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。 题型十一：正难则反总体淘汰策略 1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 ． 【答案】51 【详解】从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有种； 取出1个偶数和2个不同奇数的取法有种． 从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有如下9种不同取法： ；，，；；，，，． 因此，符合题设要求的不同取法有种． 2．甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算汉口江滩没人去的情况数目，分析可得汉口江滩一定要有人去的游览方案数． 【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况， 故选：A． 题型十二：平均分组问题除法策略 1．2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【分析】分配1名医生和2名护士到一所学校即可. 【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了， 所以共有种分配方案， 故选：B 2．某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 【答案】B 【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可. 【详解】 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门， 人数分配为,可得, 若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则可得 故选：B. 题型十三：合理分类与分步策略 1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 题型十四：构造模型策略 1．某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有 种（用数字回答）. 【答案】120 【分析】用插空法，6张空位放在那里，4人插到空位中间可得． 【详解】由题意6张空位放在那里，4人插到空位中间的方法数为． 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列的应用，解题方法是插空法．相当于不相邻问题． 2．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【答案】10 【分析】在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯即可得解. 【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种． 题型十五：实际操作穷举策略 1．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】直接分类列举，再按照分类加法计数原理计算即可. 【详解】设四张贺卡分别记为、、、， 由题意，某人（不妨设卡的供卡人）取卡的情况有种， 据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行， 为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下： ∴共有种不同的分配方式. 故选：C. 2．某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有 A．6种 B．9种 C．12种 D．24种 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意，分2步进行分析：①由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选， ②将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有种情况，则不同的分配方案有2×6=12种； 故选C． 考点： 排列、组合的实际应用． 题型十六：分解与合成策略 1．30030能被 个不同正偶数整除． 【答案】32 【分析】根据题意，先把30030分解成质因数，再结合计数原理即可求解. 【详解】先把30030分解成质因数的形式：； 依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积， 所有的偶因数为个． 故答案为：32. 2．一个集合有5个元素． （1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？ （2）这个集合的子集共有多少个？ 【答案】（1）10，（2）32 【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解 【详解】解：（1）这个集合的含有3个元素的子集有个； （2）这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有个， 题型十七：化归策略 1.全民运动会开幕式上，名运动员需要排列成方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种（用数字作答）. 【答案】 【分析】先从列中选择列，从某一列中任选一个人甲，从另一列中选一个与甲不同行的人，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从列中选择列的选法种数为种， 从某一列中任选一个人甲有种结果，从另一列中选一个与甲不同行的人乙有种结果， 从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙有种结果， 根据分步乘法计数原理可知，共有种. 故答案为：. 2．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为 . 【答案】72 【分析】根据组合的定义，结合题意进行求解即可. 【详解】从16人中选出2人，共有种选法， 若选出的2人既不在同一行又不在同一列， 则共有种选法. 故答案为：72. 题型十八：走楼梯问题 （分类法与插空法相结合） 1．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．21 【答案】D 【分析】 利用组合数可求最短路程不同的走法数. 【详解】 从到共需走7步，其中横步（向右）有2步，竖直向上的有5步， 故最短路程的不同走法数为． 故选：D. 【点睛】 本题考查组合的应用，注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题. 2 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？  【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶： （a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 种 （b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。 4）有3次（不可能） 5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法； 6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。 题型十九：配对型模型 1．新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A､B､C､D上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若全部送错，则每个快递都送到了其他的地方， 即送有3种送错可能，若送到地应该送的地方，则有3种送错可能， 故全部送错的情况有种可能， 而总共有种可能， 所以， 2.柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为. 故答案为： 题型二十：染色问题 1．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 2．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 【答案】72 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是35，24，1，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 题型二十一：代数中的排列组合问题 1．求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先分解质因数，再根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为， 所以的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可， 有种取法，即有个正整数因数． 故选：C． 2．从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 【答案】A 【分析】利用排列与组合的相关知识即可得解. 【详解】由于取出三个数字后大小次序已确定， 只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位， 因此满足条件的三位数的个数为. 故选：A. 题型二十二：几何中的排列组合问题 1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 2．点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？ 【答案】1056 【分析】利用组合数的知识结合图象分析即可. 【详解】总共有种, 如图，三点共线（粗虚线）有8组， 四点共线有9组（图中实线加上5条竖线）， 五点共线有4组， 于是一共能组成种. 故答案为：1056. 题型二十三：x+y+z=n的整数解的个数 1．方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 2．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 1．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 【答案】C 【分析】根据乘法原理，即可得出结论． 【详解】由题意，共有种选法. 故选：C． 2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要分甲丙之间是乙和甲丙之间是是丁两种类型，分别计算排法数，可得所求概率. 【详解】所有的排法有（种）. ①若甲、丙之间恰好为乙，则有种排法； ②若甲、丙之间恰好为丁，则有种排法. 故所求的概率. 故选：C. 3．黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 4．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：和. 把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况， 再把其余3人分组成，有种分组方法， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 综上，不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：C. 5．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 6．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解． 【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种， 其中，2个1不相邻的情况有种， 故所求概率为． 故选：A. 7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 【答案】C 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 故选：C 8．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 9．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 【答案】BC 【分析】利用组合的定义一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误； 对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确； 对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确； 对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误. 故选：BC 10．（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 11．（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 12．一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有 个这样的子集.（要求用数字作答） 【答案】 【分析】符合要求子集可分为三类，结合组合的定义求各类子集的个数，再结合分类加法计数原理求出所有的子集的个数. 【详解】从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，其中至少包含两个“”开头的选法可分为类， 第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有； 第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有； 第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有； 由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个. 故答案为：. 13．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答） 【答案】55 【分析】先求所有方案数，再减去甲和乙都去的情况即可. 【详解】从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教一共有种方案， 其中甲和乙都去的情况有种方案， 所以甲和乙不能都去有种方案， 故答案为：55. 14．某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的概率是 ． 【答案】 【分析】随机变量即取出的3个球的标号之和被3除的余数为2，可分三类：3个取出的球中被3除余数为1的球有2个、1个、0个，利用加法计数原理与古典概型概率公式求解可得. 【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法， 1到12中能被3整除的有；除3余1的有；除3余2的有， 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： ①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有， 则． 故答案为：. 15．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合分组、分配的解法，结合排列组合数的计算公式，即可求解． （1）由平均分组计算； （2）由不平均分组计算； （3）由平均分组分配计算 （4）由不平均分组分配计算 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 16．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480 (2)480 (3)144 【分析】（1）由插空法及分步乘法计数原理计算即可； （2）由插空法及分步计数乘法原理计算即可； （3）由捆绑法，插空法及分步计数乘法原理计算即可． 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题：排列组合常见题型处理策略 题型一：特殊元素和特殊位置优先策略 1．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 2．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 题型二：相邻元素捆绑策略 1．男生和女生站成一排照相，男生相邻且女生也相邻的排法有 种． 2．（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 题型三：不相邻问题插空策略 1．将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 2．、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 题型四：定序问题倍缩空位插入策略 1．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 2．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为 ． 题型五：重排问题求幂策略 1．七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 ． 2．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 题型六：环排问题线排策略 1．8人围桌而坐，共有 种坐法. 2．有个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？ 题型七：多排问题直排策略 1．人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有 排法. 2．6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演． （1）若每排4人，共有多少种不同的排法？ （2）领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 题型八：排列组合混合问题先选后排策略 1．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 2．将张不同的贺卡分给名同学、每名同学至少张，则不同的分法有 种． 题型九：小集团问题先整体局部策略 1．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有 个. 2．甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有 种不同的坐法. 题型十：元素相同问题隔板策略 1， 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 2.把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？ 题型十一：正难则反总体淘汰策略 1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 ． 2．甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 题型十二：平均分组问题除法策略 1．2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 2．某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 题型十三：合理分类与分步策略 1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 题型十四：构造模型策略 1．某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有 种（用数字回答）. 2．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 题型十五：实际操作穷举策略 1．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有 A．6种 B．9种 C．12种 D．24种 题型十六：分解与合成策略 1．30030能被 个不同正偶数整除． 2．一个集合有5个元素． （1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？ （2）这个集合的子集共有多少个？ 题型十七：化归策略 1.全民运动会开幕式上，名运动员需要排列成方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种（用数字作答）. 2．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为 . 题型十八：走楼梯问题 （分类法与插空法相结合） 1．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．21 2. 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 题型十九：配对型模型 1．新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A､B､C､D上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错的概率是（    ） A． B． C． D． 2.柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为 ． 题型二十：染色问题 1．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 2．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 题型二十一：代数中的排列组合问题 1．求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 2．从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 题型二十二：几何中的排列组合问题 1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 2．点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？ 题型二十三：x+y+z=n的整数解的个数 1．方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 2．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 1．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 3．黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 4．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 5．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 6．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 8．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 10．（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 11．（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 12．一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有 个这样的子集.（要求用数字作答） 13．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答） 14．某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的概率是 ． 15．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 16．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$