5.2排列问题（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

5.2排列问题 题型一：排列的意义理解 1．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 2．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合排列的定义，逐项分析判断即可. 【详解】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题； ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题， 所以属于排列问题的为①④. 故选：A 3．排列 （1）定义：从n个互不相同的元素中，取出个不同元素按照 ，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列； （2）如果两个排列是相同的，不仅组成这两个排列的 ，而且 也是完全相同的.如果所取的元素不完全相同，那么这两个排列是两个不同的排列；如果所取的元素完全相同，但排列顺序不同，那么这两个排列也是不同的排列. 【答案】 一定的顺序排成一列 元素完全相同 而且排列的顺序 【分析】略 【详解】略 4．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”. （1）1，2，3与3，2，1为同一排列．( ) （2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) 【答案】 错误 正确 【分析】根据排列的定义逐一判断即可. 【详解】由排列的意义知，1，2，3与3，2，1是不同排列，（1）错误； 由排列的意义知，在一个排列中，同一个元素不能重复出现，（2）正确. 故答案为：错误；正确 题型二：排列数的计算 1．若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【分析】通过发现当时，可知个位数为0，再求出即可判断． 【详解】当时，， 当时，的个位数字为0， 又， 的个位数字为3． 故选：A． 2．福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 【答案】B 【分析】由排列的定义求解． 【详解】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：， 故选：B 3．的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 4．计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 题型三：用排列数公式证明 1．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 2．（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式． 3．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 4．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数计算公式证明； （2）根据排列数计算公式证明. 【详解】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 题型四：排列数方程和不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 2．（多选）满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】根据排列数公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得， 又，，所以n的值为3，4． 故选：AB. 3．若，则 . 【答案】6 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 4．，则 . 【答案】9 【分析】根据阶乘的性质即可求解. 【详解】 ， 所以，故， 故答案为：9 题型五：全排列问题 1．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 2．5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 种． 【答案】120 【分析】根据全排列即可求解. 【详解】5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有种， 故答案为：120 3．，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有 个． 【答案】24 【分析】根据一元二方程的定义，结合排列的定义进行求解即可. 【详解】因为集合中任意三个元素之间都是互质， 所以所有满足条件的一元二次方程共有个， 故答案为：24 4．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【答案】119 【分析】没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，减去即可求得答案． 【详解】由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种， 而球的编号与盒子编号全相同只有1种， 所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种. 题型六：元素（位置）有限制的排列问题 1．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要分甲丙之间是乙和甲丙之间是是丁两种类型，分别计算排法数，可得所求概率. 【详解】所有的排法有（种）. ①若甲、丙之间恰好为乙，则有种排法； ②若甲、丙之间恰好为丁，则有种排法. 故所求的概率. 故选：C. 3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 【答案】144 【分析】要使其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，只需分步完成，先排奇数位数字，再排偶数位数字即可. 【详解】依题意可分两步完成： 第一步，将四个数在奇数位上全排，有种方法， 第二步，将三个数在偶数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，共有这样的七位数个． 故答案为：144. 4．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为 ． 【答案】 【分析】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，得到多人多足有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置即可. 【详解】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则多人多足有种安排方法， 将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的个位置，有种安排方法， 所以共有种安排方法. 故答案为：. 题型七：相邻问题的排列问题 1．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】A 【分析】利用捆绑法求得正确答案. 【详解】将捆绑在一起，然后进行全排列， 故共有种排法. 故选：A 2．学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据相邻捆绑法和不相邻插空法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目， 不同的排法数为． 故选：B. 3．某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．60种 D．96种 【答案】D 【分析】由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解. 【详解】由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有种. 故选：D 4．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况， 将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况 故共有种方案. 故选：A 题型八：不相邻问题的排列问题 1．若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（   ）种. A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】D 【分析】利用插空法解决不相邻问题. 【详解】将4名男生排成一排，有种排法， 由2名女生不相邻，在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法种数是． 故选：D. 2．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．6种 B．3种 C．20种 D．12种 【答案】A 【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案. 【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座. 要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐， 即有种坐法. 故选：A. 3．（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 、4．有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）根据不相邻问题插空法即可求解， （3）结合捆绑法和插空法即可求解. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有（种）排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插人4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． （3）先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的4人产生：的5个空隙中，共有种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． 题型九：其它排列问题 1．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（    ） A．30种 B．11种 C．15种 D．35种 【答案】A 【分析】根据题意，从6名同学中选出正、副组长各1名是个排列问题，可得答案. 【详解】由题意可得不同的选法种数是种. 故选：A. 2．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 3．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 【答案】60 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 4．用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位数. (1)其中偶数共有多少个？ (2)比2024大的数有多少个？ 【答案】(1)156 (2)238 【分析】（1）分四位数的个位数字是0、不是0讨论可得答案； （2）分别求个位、十位、百位、千位比2024大的数可得答案. 【详解】（1）当四位数的个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个， 当四位数的个位数字是2或4时，千位有4个数字可选，百位十位有种选法， 满足条件的四位数有个， 所以共有个偶数； （2）比2024大的数有2025,共1个， 当2在千位，0在百位，3在十位时，个位可以有1，4，5，共3个， 当2在千位，0在百位，4在十位时，个位可以有1，3，5，共3个， 当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以有1，4，3，共3个， 当2在千位，1在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，3在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，4在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位，十位、个位共有种选法， 当3在千位，百位十位个位共有种， 当4在千位，百位十位个位共有种选法， 当5在千位，百位十位个位共有种选法， 综上所述，比2024大的数共有个. 1．设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】, 故选：D 2．计算的值是（    ） A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】C 【分析】根据排列数的公式即可求解. 【详解】 故选：C 3．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 4．黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 5．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【分析】先用捆绑法排列（女生不需要内部排列），然后利用间接法再分配2个道具． 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 6．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 7．甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出试验的所有可能结果数，再求出甲乙能牵手的结果数，利用古典概率计算即得. 【详解】以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况， 其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手的有种情况， 所以所求概率为. 故选：D 8．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 【答案】B 【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【详解】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B 9．（多选）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【答案】BCD 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题； 对于B：存在顺序问题，是排列问题； 对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． 故选：BCD 10．（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D. 【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确； 对于B，共有种不同的排法，故B错误； 对于C，共有种不同的排法，故C正确； 对于D，共有种不同的排法，故D错误. 故选：AC. 11．（多选）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（    ） A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法 【答案】AC 【分析】先安排数学课再安排其余科目可判断A；利用捆绑法可判断B；利用插空法可判断C；利用倍缩法可判断D. 【详解】对于A，若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选， 其余科目没有要求，有安排方法，则一共有种不同的安排方法，故A正确； 对于B，语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列， 则有种不同的安排方法，故B错误； 对于C，先安排英语、物理、化学3节课，有种不同的安排方法， 把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上， 有种不同的安排方法，则共有种不同的安排方法，故C正确； 对于D，若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有种不同的安排方法，故D错误. 故选：AC. 12．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答） 【答案】60 【分析】直接由排列数即可求解. 【详解】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择， 然后从剩下的五个数中选两个数进行排列， 故所求为. 故答案为：60. 13．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 【答案】72 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是35，24，1，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 14．、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到可以住号房间，分类讨论，结合排列数的公式，即可求解. 【详解】由题意，不住2号房间，且两人不住编号相邻房间，则可以住号房间， 若住在1号房间，则可以住在三个房间，有三种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在3号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在4号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在5号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况， 由分类计数原理得，共有种不同的住法. 故答案为：. 15．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)720 (2)1 【分析】利用排列数公式化简求解即可． 【详解】（1） （2） 16．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480 (2)480 (3)144 【分析】（1）由插空法及分步乘法计数原理计算即可； （2）由插空法及分步计数乘法原理计算即可； （3）由捆绑法，插空法及分步计数乘法原理计算即可． 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型一：排列的意义理解 1．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 2．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 3．排列 （1）定义：从n个互不相同的元素中，取出个不同元素按照 ，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列； （2）如果两个排列是相同的，不仅组成这两个排列的 ，而且 也是完全相同的.如果所取的元素不完全相同，那么这两个排列是两个不同的排列；如果所取的元素完全相同，但排列顺序不同，那么这两个排列也是不同的排列. 4．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”. （1）1，2，3与3，2，1为同一排列．( ) （2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) 题型二：排列数的计算 1．若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 2．福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 3．的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 4．计算： (1)； (2)； (3)已知，求 题型三：用排列数公式证明 1．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（1）证明：； （2）化简：． 3．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 4．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 题型四：排列数方程和不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若，则 . 4．，则 . 题型五：全排列问题 1．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 3．，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有 个． 4．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 题型六：元素（位置）有限制的排列问题 1．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 4．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为 ． 题型七：相邻问题的排列问题 1．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 2．学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 3．某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．60种 D．96种 4．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 题型八：不相邻问题的排列问题 1．若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（   ）种. A．120 B．240 C．360 D．480 2．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．6种 B．3种 C．20种 D．12种 3．（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 4．有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 题型九：其它排列问题 1．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（    ） A．30种 B．11种 C．15种 D．35种 2．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 3．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 4．用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位数. (1)其中偶数共有多少个？(2)比2024大的数有多少个？ 1．设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．计算的值是（    ） A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2 3．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 4．黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 5．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 6．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 7．甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是（    ） A． B． C． D． 8．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 9．（多选）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 10．（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 11．（多选）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（    ） A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法 12．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答） 13．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 14．、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 15．计算： (1)； (2)； 16．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$